2023-2024学年广东省惠州市惠阳一中高一（下）第一次质检数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市惠阳一中高一（下）第一次质检数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有下列命题：
①若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；
④底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥．
其中，正确命题的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.已知向量a=(4,x)，b=(x,1)，那么“x=2”是“a/​/b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.设复数z满足1+z1−z=i，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
4.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，b=4 3，∠A=30°，那么∠B=( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 60°或120°
5.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为( )
A. 217B. 22C. 32D. 5 714
6.已知△ABC的边BC上有一点D满足BD=3DC，则AD可表示为( )
A. AD→=−2AB→+3AC→B. AD→=34AB→+14AC→
C. AD→=14AB→+34AC→D. AD→=23AB→+13AC→
7.已知复数z满足|z+i|=|z−i|，则|z+1+2i|的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
8.已知AB⊥AC，|AB|=t，|AC|=1t.若点P是△ABC所在平面内一点，且AP=AB|AB|+2AC|AC|，则PB⋅PC的最大值为( )．
A. 13B. 5−2 2C. 5−2 6D. 10+2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A. i+i2+i3+i4=0B. 复数−2−i的虚部为−i
C. 若复数z为纯虚数，则|z|2=z2D. |z1⋅z2|=|z1||z2|
10.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是( )
A. 若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC是钝角三角形
B. 若sinA>sinB，则a>b
C. 若AC⋅AB>0，则△ABC是锐角三角形
D. 若A=45°，a=2，b=2 2，则△ABC只有一解
11.已知锐角△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C=π3，c=2.则下列结论正确的是( )
A. △ABC的面积最大值为2B. AC⋅AB的取值范围为(0,4)
C. bcsA+acsB=2D. csBcsA的取值范围为(0,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______cm．
13.设x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,−4)且a⊥c，b/​/c，则|a+b|= ______．
14.在△ABC中，sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC，点D在线段BC上，且BC=3BD，AD=2，则∠BAC=______；△ABC面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设复数z1=1−ai(a∈R)，z2=3−4i．
(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；
(2)若z1z2是纯虚数，求z1．
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2)，b=(2,−2)，
(1)设c=4a+b，求(b⋅c)a．
(2)若a+λb与a垂直，求λ的值．
(3)求向量a在b方向上的投影．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 3a= 3bcsC+csinB．
(1)求角B的值；
(2)若b=2，且△ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量p=(2b−c,csC)，q=(2a,1)，且p/​/q．
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)求函数f(C)=1−2cs2C1+tanC的值域．
19.(本小题17分)
在△ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且|AO|=2|OC|，设AB=a，AC=b．
(1)试用a，b表示AR；
(2)若|a|=2,|b|=1,=60°，求∠ARB的余弦值；
(3)若H在BC上，且RH⊥BC，设|a|=2,|b|=1,θ=，若θ∈[π3,2π3]，求|CH||CB|的取值范围．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.D
5.A
6.C
7.B
8.B
9.AD
10.ABD
11.BCD
12.8
13. 10
14.π3 3 32
15.解：(1)由z1=1−ai，z2=3−4i，得z1+z2=4−(4+a)i，而z1+z2是实数，
于是4+a=0，解得a=−4，
所以z1⋅z2=(1+4i)(3−4i)=19+8i；
(2)依题意，z1z2=1−ai3−4i=(1−ai)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3+4a+(4−3a)i25是纯虚数，
因此3+4a=04−3a≠0，解得a=−34，
所以z1=1+34i．
16.解：(1)∵a=(1,2)，b=(2,−2)，
∴c=4a+b=(4,8)+(2,−2)=(6,6)．
∴b⋅c=2×6−2×6=0，
∴(b⋅c)a=0a=0．
(2)a+λb=(1,2)+λ(2,−2)=(2λ+1,2−2λ)，
由于a+λb与a垂直，
∴2λ+1+2(2−2λ)=0，
∴λ=52．
(3)设向量a与b的夹角为θ，
向量a在b方向上的投影为|a|csθ．
∴|a|csθ=a⋅b|b|=1×2+2×(−2) 22+(−2)2=−22 2=− 22．
17.解：(1)由正弦定理及已知，化边为角得 3sinA= 3sinBcsC+sinCsinB．
∵A+B+C=π，∴sinA=sin(B+C)，代入得 3sinBcsC+ 3csBsinC= 3sinBcsC+sinCsinB，
∴ 3csBsinC=sinCsinB．
∵0又∵0(2)∵S△ABC=12acsinB= 34ac= 3，∴ac=4．
由余弦定理，得b2=a2+c2−2accsB=(a+c)2−3ac，
∴(a+c)2=b2+3ac=16，∴a+c=4，
∴△ABC的周长为6．
18.解：(Ⅰ)∵p=(2b−c，csC)，q=(2a,1)，p/​/q，∴(2b−c)csA−acsC=0，
由正弦定理可得：2csAsinB=csAsinC+sinAcsC，
即2csAsinB=sin(A+C)，∴csA=12，
∵0(II)1−2cs2C1+tanC=1−2(cs2C−sin2C)1+sinCcsC=2csC(sinC−csC)+1=sin2C−cs2C，
∴f(C)=1−2cs2C1+tanC= 2sin(2C−π4)，
∵A=π3，得C∈(0,2π3)，
∴2C−π4∈(−π4,13π12)，可得− 22∴−1< 2sin(2C−π4)≤ 2，
即三角函数式f(C)=1−2cs2C1+tanC的取值范围是(−1, 2].
19.解：(1)由P、R、C共线，则存在λ使PR=λPC，
∴AR−AP=λ(AC−AP)，整理得：AR=(1−λ)AP+λAC=1−λ2a+λb，
由B、R、O共线，则存在μ使BR=μBO，
∴AR−AB=μ(AO−AB)，整理得：AR=(1−μ)AB+μAO=(1−μ)a+2μ3b，
∴根据平面向量基本定理：1−λ2=1−μλ=2μ3，解得λ=12，
∴AR=14a+12b；
(2)AR=14a+12b，BR=12b−34a，
AR⋅BR=−34，|AR|= 32，|BR|= 72，
∴cs=AR⋅BR|AR||BR|=− 217，
故∠ARB的余弦值是− 217；
(3)由(1)知：PR=12PC，则RC=12PC=12(b−12a)=12b−14a，
由CH，CB共线，设CH=kCB=ka−kb,k>0，
而RH⊥BC，有RH⋅BC=(RC+CH)⋅BC=[(12−k)b+(k−14)a]⋅(b−a)=0，
∴−5k+32+2(k−34)csθ=0，
可得csθ=5k−334k−32，
∵θ∈[π3,2π3]，∴−12≤csθ≤12，即−12≤5k−324k−32≤12，
解得14≤k≤928，
∴|CH||CB|的取值范围为[14,928]．