河北省邯郸市涉县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省邯郸市涉县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了 已知函数，则， 若，则下列选项正确的有等内容，欢迎下载使用。
试题内容与范围：选必2和选必3第六章
时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在数列中，，且，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据数列的递推公式，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可.
【详解】；
则;
;
数列为周期数列，周期为3.
当时，当时.
.
故选：A.
2. 王大爷养了3只鸡和2只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则2只兔子相邻走出房子的不同方法数有（ ）
A. 120种B. 72种C. 48种D. 36种
【答案】C
【解析】
【分析】由捆绑法结合全排列知识可得答案.
【详解】将两只兔子捆绑，则2只兔子相邻走出房子共有种不同方法．
故选：C.
3. 若1，m，9三个数成等比数列，则圆锥曲线离心率是（ ）．
A. 或B. 或2
C. 或D. 或2
【答案】D
【解析】
分析】运用等比数列的性质可得，再讨论，，求出曲线的，，由离心率公式计算即可得到．
【详解】三个数1，，9成等比数列，
则，解得，，
当时，曲线为椭圆，
则；
当时，曲线为为双曲线，
则离心率．
故选：．
4. 已知函数，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】其中为常数，求出函数导函数，代入求解，从而可以求解.
【详解】由于函数，则其导函数为：，
代入，可得：，解得：，所以，
所以.
故选：D
5. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学､复旦大学､武汉大学､中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则同学选择浙江大学的不同方法共有（ ）
A. 24种B. 60种C. 96种D. 240种
【答案】B
【解析】
【分析】依题意，有两位同学选择了同一所学校，分有两位同学选择了浙江大学和只有A同学选择了浙江大学这两种情况讨论，结合排列组合的原理计算.
【详解】5位同学选择4所学校，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，已知同学选择浙江大学，
当有两位同学选择了浙江大学时，则这4 位同学在4所大学中分别选了一所，共种选法；
当只有A同学选择了浙江大学时，则这4 位同学在其余3所大学中选择，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，共种选法；
所以同学选择浙江大学的不同方法共有种.
故选：B
6. 已知等比数列的各项都为正数， 且， ， 成等差数列，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差中项的性质列方程，由此求得，进而求得的值.
【详解】由题意，等比数列的各项都为正数， 且成等差数列，则
（负舍），
.
故选：A
【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，属于中档题.
7. 某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图象的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.
【详解】A：，即在定义域上递增，故A不符合题意；
B：，
在上，在上，在上，
所以在、上递减，上递增，故B符合题意；
C：由且定义域为，
为偶函数，所以题图不可能在y轴两侧，
研究上性质：，故递增，故C不符合题意；
D：由且定义域为R，为奇函数，
研究上性质：，
当时，；
当时，，所以，
故，，在递增，
所以在R上递增，故D不符合题意；
故选：B
8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据新定义，结合二项式定理可知，再确定中被7整除余3的数，即可得解.
【详解】由二项式定理，得
，
因为能够被7整除，
被7除余3，则，
又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3，
所以.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 在区间上单调递增
B. 极大值点仅有一个
C. 无最大值，有最小值
D. 当时，关于的方程共有3个实根
【答案】BC
【解析】
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C选项；数形结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，故A错误；
对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点，
当时，，则，此时函数单调递增，
当时，，此时函数有极小值点，无极大值点，
综上所述，函数仅有1个极大值点，故B正确；
对于C选项，当时，，
当时，，
所以，函数的最小值为，函数无最大值，故C正确；
对于D选项，如下图所示：
由图可知，当时，关于的方程共有4个实根，故D错误.
故选：BC.
10. 若，则下列选项正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值判断AC，去绝对值后，赋值判断B，两边求导后，再赋值，判断D.
【详解】A.令，得，故A正确；
B.，令
令展开式中的，得，故B错误；
C.令展开式中的，得，
所以，故C正确；
D.展开式的两边求导，得，
令，得，故D正确.
故选：ACD
11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 1225既是三角形数，又是正方形数
C.
D. ，总存在，使得成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】用累加法求出、，再用裂项相消法可判断A；
分别令和，看有无正整数解即可判断B；
将放缩后用裂项相消求和即可判断C；
取即可判断D.
【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，
则有，
利用累加法，得，得到，n=1时也成立；
正方形数构成数列：1，4，9，16，…，
则有，
利用累加法，得，得到，n=1时也成立.
对于A，，利用裂项求和法：，故A错误；
对于B，令，解得；
令，解得；故B正确；
对于C，，则
，
整理得，，故C正确；
对于D，取，且，则令，
则有，故，总存在，使得成立，
故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 用 “行”、“知”、“中”、“学”、“顶”、“呱”、“呱”这七个字可以组成_____种不同的七字短语. (不考虑短语的含义)
【答案】
【解析】
【分析】先将七个字全排列，再除以2即可.
【详解】先将七个字进行排列，有种选择，
由于七个字中有两个相同的“呱”，故均重复计算了一次，
所以共有种不同的七字短语(不考虑短语的含义).
故答案为：
13. 在如图的表格中，若每格内填上一个数后，每一横行的三个数成等差数列，每一纵列的三个数成等比数列，则表格中的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出第二行中间的空应该为﹣1，第三行第三个空应该为，再设出其它三个数，结合题中的条件列出方程，进而得到答案．
【详解】根据题中已知条件和等差和等比数列的基本性质可知：第二行中间的空应该为﹣1，
第三行第三个空应该为，设第三行的第一个数为，第一行的前两个数分别为，
所以，所以可得：，又因为，解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的性质，结合题意列出方程是解题的关键，属于基础题．
14. 已知函数.
①在上单调递减，在上单调递增；
②在上仅有一个零点；
③若关于的方程有两个实数解，则；
④在上有最大值，无最小值.
上述说法正确的是___________.
【答案】②④
【解析】
【分析】求出函数的导数，根据导数研究函数的单调性和极值，即可根据选项逐一求解.
【详解】函数的导数，令得，，
由得，由得，故在上单调递增，在上单调递减，故①错误，
由①知当时，函数取得极大值，
当时，恒成立，当时，恒成立，
即在上仅有一个零点，故②正确，
由②知若关于的方程有两个实数解，则，故③错误，
由①②知在上有最大值，无最小值，故④正确，
故答案为：②④
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中共有9项.
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数；
（3）求二项式系数最大的项.
【答案】（1）
（2）112 （3）
【解析】
【分析】（1）利用二项式展开式中共有可求得的值；
（2）求出二项展开式的通项，令的指数为4，求出参数的值，代入通项即可得出结果；
（3）根据二项式系数的性质可得二项式系数最大的项的项数，再由二项式定理得结论.
【小问1详解】
由题意得，解得.
【小问2详解】
由（1）可知展开式的通项为.
令，解得，则
故展开式中的系数为112.
【小问3详解】
根据题意可得二项式系数最大的项为.
16. 已知数列满足：，．
（1）若数列是等差数列，求的通项公式以及前n项和；
（2）若数列是等比数列，求的通项公式．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的性质和公式求首项和公差，即可求通项公式和前项和公式，即可求解；
（2）根据等比数列的公式和性质求首项和公比，即可求通项公式.
【小问1详解】
因为数列是等差数列，
所以．
所以．
所以，
即，
解得．
所以数列的通项公式，
即，
所以数列的前n项和，
即．
【小问2详解】
因为数列是等比数列，
所以．
由，
得，
即，
解得．
所以．
数列的通项公式为．
17. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线斜率，再结合切点，利用点斜式写出切线方程.
（2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调性.
【小问1详解】
当时，，则，
从而，，
故所求切线方程为，即（或）.
【小问2详解】
由题意可得.
当，即时.由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
18. 已知等差数列与正项等比数列满足，且是和的等差中项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设，记的前项和，求．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出等差数列的公差，然后再根据是与的等差中项求出等比数列的公比，即可求得数列和数列的通项公式；
（2）裂项相消法即可求得数列的前项和；
（3）错位相减法即可求得数列的前项和.
【小问1详解】
设等差数列的公差，等比数列的公比为，
由可知：，所以，，，
又因为是与的等差中项，
所以，即，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以.
【小问3详解】
，
①，
②，
②-①得：.
19. 已知函数
（1）若，求在区间上的最大值和最小值；
（2）设，求证：恰有个极值点；
（3）若，不等式恒成立，求的最小值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）e
【解析】
【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间，结合极值的概念与计算，即可求解；
（2）求得，结合，得到方程有两个不同的根，结合极值点的定义，即可求解；
（3）根据题意转化为，不等式恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【小问1详解】
由函数 ，可得 ，
令 ，可得 ，
则 的关系，如图下表：
综上可得，函数 ．
【小问2详解】
由函数 ，
可得 ，
因为 ，
所以方程 有两个不同的根，设为 且 ，则有
综上可得，函数 恰有个极值点．
【小问3详解】
因 ，所以 ，不等式 恒成立，
设 ，可得 ，
所以 的关系，如图下表：
， ， ，
所以 ，所以实数 的最小值为．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3
x
2


极大值

极小值
极大值
2
极大值