河北省邯郸市涉县第一中学2024−2025学年高二下学期期中模拟 数学考试（4月月考）试卷（含解析）

这是一份河北省邯郸市涉县第一中学2024−2025学年高二下学期期中模拟 数学考试（4月月考）试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（ ）
A．56B．15C．28D．30
2．的值为（ ）
A．60B．40C．35D．20
3．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ）
A．B．C．D．
4．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
5．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一､创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港､澳门.访问期间，甲､乙､丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲､乙､丙互不相邻，则不同的排法有（ ）
A．2880种B．1440种C．720种D．360种
6．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
7．已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．在数列中，，数列的前项和为，若，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则满足不等式的的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
11．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则 ．
13．某班组织一次认识大自然的活动，有6名同学参加，其中有3名男生，3名女生，现要从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽取的3名同学中既有男生又有女生的抽取方法共有 种．
14．某大学为提高学生的文化艺术素养，特开设了6门公共必修课程，要求每位同学每学年至少选1门，至多选3门，大二到大四这三学年必须将6门公共必修课程全部选完，则每位同学的不同选择方式有 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为3的等比数列，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．已知函数．
(1)求曲线在点处切线的方程；
(2)求函数的极值．
17．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
18．已知函数．
(1)当时，求的极值点个数
(2)当时，恒成立，求实数的最小值．
19．若数列满足，则称数列具有性质．
(1)若数列具有性质，且，求的值；
(2)若，求证：数列具有性质；
(3)设各项都为正数的数列的前项和为，且，数列具有性质，其中，若，求正整数的最小值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】不同的选择种数为.
故选B.
2．【答案】B
【详解】.
故选B.
3．【答案】B
【详解】因为，所以，
故当时，，
即时，“高原版”复兴号动车的加速度为，
故选B.
4．【答案】B
【详解】由题意，函数的定义域为，则，
令，解得，
所以，函数的单调递增区间为.
故选B.
5．【答案】B
【详解】第一步先排4名青少年共有种排法，第二步把甲､乙､丙插在4名青少年中间有种排法，
所以根据分步乘法计数原理共有种排法，
故选B.
6．【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，
由，显然，
则，即，
所以，
所以.
故选C.
7．【答案】A
【详解】令，因为，所以，
所以在上单调递减；
又，所以，
因此不等式可化为，
所以，解得，
即不等式的解集为.
故选A.
8．【答案】D
【详解】因为，
所以，
所以数列的前项和.
故选D.
9．【答案】AB
【详解】因为，
所以，
即，又，
所以或4.
故选AB.
10．【答案】AD
【详解】对于A选项，令，得，故A正确；
对于B选项，令，得，故B错误；
对于C选项，令，得，故C错误；
对于D选项，将，两式相加，
得，即，故D正确.
故选AD.
11．【答案】ABC
【详解】A.定义域为，，，故A正确.
B.定义域为，，，故B正确.
C.定义域为，，，故C正确.
D.定义域为，，，
当时，，故D错误.
故选ABC.
12．【答案】
【详解】∵，∴，
∴.
13．【答案】18
【详解】抽取的3名同学中既有男生又有女生包含2种情况：1名男生，2名女生；2名男生，1名女生.
所以满足要求的抽取方法共有（种）.
14．【答案】450
【详解】已知三学年修完6门课程，且每学年至少选1门，至多选3门，则每位同学每年所修课程数可以分为或.
若按选择6门课程，则先将6门必修课分成三组，有种不同方式，再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选择方式；
若按选择6门课程，则先将6门必修课分成三组，有种不同方式，再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选择方式.
综上所述，每位同学的不同选择方式有种.
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，因为，
所以，解得，
因此，，.
（2）
16．【答案】(1)
(2)极小值为，极大值为13
【详解】（1）由，
得，
因为，所以，
所以曲线在点处切线的方程为，
即．
（2）令，得或，
当变化时，的变化情况如下表：
又，所以函数的极小值为，极大值为13．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以该二项式为，
则通项公式为：．
令，解得，
所以该二项式的展开式中的常数项为．
（2）因为，
易知：展开式第四项二项式系数最大，
即,
所以展开式中二项式系数最大的项.
18．【答案】(1)极值点个数为
(2)
【详解】（1）当时，，定义域为，
．
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即，
所以在上单调递减，
故的极值点个数为．
（2）当时，，不等式可化为在上恒成立，
令，则，
由（1）可知，，即（当且仅当时取等号），则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，
故实数的最小值为．
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)9
【详解】（1）由得，
根据题意，数列具有性质，
由，所以，故.
（2），故
(常数)
故数列具有性质.
（3）因为，
所以当时，，
两式相减得，，
即，
由数列各项都为正数，可得，
即，
又，解得，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，
所以，
得，
因为数列具有性质，所以成等比数列，
故，
于是，即，其中
，即，
，由知 ，
①若为偶数，则，即；
②若为奇数，则，即；
综上①②可得，的最小值为.3
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减