河北省邢台市第一中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省邢台市第一中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列求导运算结果不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．曲线y=sinx 在原点处的切线斜率为（ ）
A．-1 B．0C．cs1 D．1
4．已知函数 的图象如图所示，f'x 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
5．若，则（ ）
A．B．6C．3D．-3
6．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是定义在R上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．判断下列命题正确的是（ ）
A．函数的极小值一定比极大值小．
B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点．
C．函数在内单调，则函数在内一定没有极值．
D．三次函数在R上可能不存在极值．
10．函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A．是函数的极值点B．在区间上单调递增
C．是函数的最小值点D．在处切线的斜率小于零
11．函数 ，则下列说法正确的是 （ ）
A．当 时， 的极小值为
B． 为奇函数
C．当 时， 一定有三个零点
D．若直线 与 有三个交点 ，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ．
13．若函数，则 .
14．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数在x＝1处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在区间[－4，4]上的最大值和最小值．
16．已知函数.
(1)若函数的图象在点处的切线方程是，求和；
(2)求函数的单调区间.
17．2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元.
(1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？
(2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？
18．设函数．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，当时，函数的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
19．已知函数，
(1)若，求的单调区间；
(2)当时，求证；
(3)若函数有两个极值点，（）且恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选A.
2．【答案】D
【详解】根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数，
且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大在变小，
结合选项，可得选项D复合题意.
故选D.
3．【答案】D
【详解】因为y′=sinx′=csx ，则k=y′|x=0=cs0=1 ，
故选D.
4．【答案】A
【分析】根据图象判断函数增长速度即可得解.
【详解】由图可知，的增长速度越来越慢，所以，
表示在上的平均变化率，
由图可知.
故选A.
5．【答案】C
【详解】.
故选C.
6．【答案】D
【详解】由，可得，
因为函数在区间上单调递增，
所以对恒成立，即对恒成立，
即对恒成立，
令，则，因为，所以，
所以，所以，
所以实数k的取值范围是.
故选D.
7．【答案】A
【详解】令，可得，
构建，
若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点，
因为，
令，解得；令，解得或；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，极大值，
且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0，
可得图象，如图所示：

由函数图象可得.
故选A.
8．【答案】B
【详解】设，则，
又上，，则，
即函数在上单调递减，
又是定义在R上的奇函数，则函数为R上的奇函数，
故在R上单调递减，又，
即，可得，解得．
故选B.
9．【答案】CD
【详解】对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，则A选项错误；
对于B选项，若或恒成立，则无极值点，此时导函数的零点为函数拐点，则B选项错误；
对于C选项，在内单调，因为区间为开区间，所以取不到极值，则C选项正确；
对于D选项，三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确；
故选CD.
10．【答案】AB
【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
则是函数的极小值点，故A正确；
在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；
函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确．
故选AB.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，当时，，求导得，
当时，，当时，，为极大值，A错误；
对于B，令，则，
函数是奇函数，B正确；
对于C，，当时，令的二根，
，当或时，；当时，，
函数在上递增，在上递减，，
由三次函数的图象特征知，函数的图象与轴有3个交点，C正确；
对于D，由选项B知，函数的图象关于点对称，而直线关于点对称，
因此函数的图象与直线的3个交点关于点对称，
其交点的横坐标满足，D正确.
故选：BCD
12．【答案】2
【详解】由已知得，，
.
13．【答案】
【详解】因为，所以，
得到，解得.
14．【答案】
【详解】∵，∴，
∵在区间内存在单调递增区间，
∴在上有解，故在上有解，
令，则，
∵，∴，即在上为减函数，
∴，故．
15．【答案】（1）9；（2）最大值为76，最小值为－5.
【详解】解：（1）因为，
所以．
因为在x＝1处取得极值，
所以，即，解得
经检验，符合题意．
（2）由（1）得．
所以．
令，得或；
令，得．
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
所以的极大值为，极小值为
又， ，
所以
所以的最大值为76，最小值为
16．【答案】(1)
(2)递增区间为，递减区间为.
【详解】（1）解：由函数，可得，则且，
因为函数的图象在点处的切线方程是，
可得 解得.
（2）解：由函数的定义域为，且，
令，即，即，可得；
令，即，即，可得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
17．【答案】(1)
(2)150元.
【详解】（1）由
有，令，得或（舍），
当时，,单调递减，
当时，,单调递增，
所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低；
（2）设司机的工资为元，则行车的总费用为
，由题意知时，，
得，即司机每小时的工资为150元.
18．【答案】(1)；
(2)存在，.
【详解】（1）函数的定义域为，不等式，
令，依题意，恒成立，，
当时，；当时，，
函数在上递增，在上递减，，则，
所以实数a的取值范围是.
（2）由函数，求导得，由，得，
当时，，函数在上单调递减，
，解得，无解；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，解得，符合题意，
所以存在实数a，当时，函数的最小值是2，.
19．【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为；
(2)证明见解析；
(3)
【详解】（1）由题意，当时，，定义域为，
则，
令，得，解得
所以，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）当时，则，即.
令函数，则，
令函数
易知为增函数，令则，
，根据零点存在定理，则有.
又时，，即，则在上单调递减；
时，，即，则在上单调递增.
.
故，即.
（3）由题意，的定义域为，，
有两个极值点，（）即方程有两个不相等正数根，
则有，解得
因为恒成立，所以对恒成立，
分离参数可得对恒成立，
令，则
令则解得或（舍去）.
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故即，是减函数.
所以，
故实数的取值范围是