四川省眉山市彭山区第一中学2024−2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省眉山市彭山区第一中学2024−2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知事件A，B相互独立，且，，则（ ）
A．B．C．D．23
3．设曲线，的离心率分别为，若，则a＝（ ）
A．B．C．D．2
4．已知四面体中，设，，，为的中点，为的中点，则用向量可表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．24
7．2025蛇年央视春晚中，四川大凉山妞妞合唱团带来节目《玉盘》唱出了对月亮的呼唤，舞台的“月亮”元素惟妙惟肖，若将其中的一个“月亮”元素看作圆C，当动点在圆C上运动时，OP斜率的取值范围，则直线OC的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆台的上、下底面半径分别为母线与底面所成角为为下底面的一条直径，点为侧面上的一个动点，若，则的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（ ）
A．直线与所成角的余弦值为
B．平面
C．点到直线的距离为1
D．在上的投影向量为
11．已知椭圆的离心率为，双曲线的顶点与椭圆的焦点重合，一条渐近线与椭圆的一个交点为，则（ ）
A．椭圆的方程为
B．双曲线的离心率为
C．过椭圆右顶点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为
D．椭圆上到直线（为原点）距离最大的点有2个
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知空间向量，若，则 .
13．已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为 .
14．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点的距离之积为定值.当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆C的圆心为，且过点
(1)求圆C的半径及标准方程；
(2)若O为坐标原点，点满足，求点P的轨迹方程.
16．骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5，
(1)先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率；
(2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由.
17．已知抛物线（）的焦点为，直线与交于，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与交于，两点，求的面积．
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，N分别为AB，PC的中点.
(1)求证：平面PAD；
(2)平面PAD与平面MND夹角的余弦值；
(3)在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面PBC所成角为若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由.
19．已知椭圆：过点，离心率为
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点；
（i）若点M为线段AB的中点，求直线l的方程；
（ii）若原点O总在以AB为直径的圆外，求直线l斜率的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.
故选：C.
2．【答案】A
【详解】解：由，得，
则.
故选：A.
3．【答案】A
【详解】由题设，，又，
所以且，则.
故选：A
4．【答案】A
【详解】
如图，，
故选：A
5．【答案】A
【详解】设该圆的半径为，如图，
由题意知：，，，
由勾股定理得：，即，解得：，
，即圆的圆心为，则圆的方程为.
故选：A.
6．【答案】C
【详解】如图：

由椭圆方程可知，，.
所以，
所以为等边三角形，
因此的中垂线过，
结合椭圆的定义，可得周长.
故选：C
7．【答案】D
【详解】如图所示：
，
因为的取值范围，
所以直线的倾斜角的取值范围是，
由题意可知，直线、为圆的两条切线，
即直线，为圆的两条切线，
由图可知，直线的斜率为负数，
设圆心，则，，
整理可得，
即，
可得，
，解得，
因此，圆心一定在直线上，
即直线的斜率为
故选：D
8．【答案】C
【详解】圆台的母线记为，，
如图所示建系，设点，且，
则，
如图，母线，而，故，点为侧面上的一点，且，
则由勾股定理得:，故为的中点，
故点的轨迹是半径为的圆，其轨迹长度为.
故选：C.
9．【答案】ACD
【详解】设为三次投篮命中次，
则，可得，
所以，，，，
故ACD正确，B错误.
故选ACD.
10．【答案】BC
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
且，分别为棱，的中点，可知，，
可得，，，，
对于选项A：因为，
所以直线与所成角的余弦值为，故A错误；
对于选项B：，，设平面的法向量为，
则，令，解得，
所以，，因为，所以平面，B选项正确；
对于选项C：因为在方向上的投影向量的模长为，且，
点到直线的距离为，故C正确；
对于选项D：在上的投影向量为，D错误.
故选：BC.
11．【答案】ACD
【详解】解：
如图所示：
由，得，
则椭圆的方程为：，故A项正确；
双曲线的渐近线方程为：，
则，得，
则双曲线的方程为：，
得双曲线的离心率为：，故B项错误；
对于C项，的右顶点为，
由，得，
得被双曲线截得的弦长为：，故C项正确；
对于D项，直线的方程为：，
设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为：，
由，消去得，，
由，
得，故D项正确．
故选：ACD
12．【答案】/-4.5
【详解】空间向量，
则，解得
故答案为：
13．【答案】
【详解】：的圆心和半径分别为，，
：圆心和半径分别为，，
由于两圆外切，故，解得，
故直线的距离为，
故弦长为，
故答案为：
14．【答案】
【详解】因为原点在上，
所以上的点到的距离之积为，
设为C上任意一点，
此时，
整理得，
因为的面积，
所以，
所以点是曲线C：与以为直径的圆在第一象限内的交点，
联立，
解得，
所以
故答案为：
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意，圆心为，过点，
则半径，
所以圆C的标准方程为；
（2）设，则由题意可得，
化简可得
16．【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析
【详解】（1）先后抛掷骰子两次，基本事件总数，
事件包含的基本事件有：共3个，
事件的概率为；
（2）抛掷1次骰子有共6种结果，
出现的点数不小于2的情况有共5种，则挑战第一关通过的概率为；
抛掷骰子两次，基本事件总数，
抛掷2次出现的点数之和不小于7的情况有
共21种，
则挑战第2关通过的概率为，
则连续挑战2关并过关的概率为，
所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
因为，所以这种游戏不公平．
17．【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由题意可设点，则，得①，
因为，所以，得②，
将②代入①中，得，解得或8（舍去），
故抛物线的方程为．
（2）设Mx1,y1，Nx2,y2，将直线与消元得：，
所以，，，
则，
由（1）知，又点到直线的距离为，
所以，即的面积为，
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，点E为PA中点
【详解】（1）在四棱锥中，取的中点，连接，，由，分别为，的中点，
，又四边形是正方形，则，
于是四边形是平行四边形，，而平面，平面，
所以平面
（2）以为原点，直线，，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，平面的一个法向量为，
设平面的法向量，
所以，令则，所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为
（3），
假定在棱上存在一点，满足条件，令，
，
设平面的一个法向量，则，取，得，
则直线与平面所成角正弦值为，
解得，所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，点为中点．
19．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）因为椭圆过点，离心率为，
所以，
解得，
则椭圆的方程为；
（2）（i）易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得
，
由韦达定理得，
若点为线段的中点，此时，
解得，
则直线的方程为，即；
（ii）由题可知，
因为原点总在以为直径的圆外，
所以，
即，
解得
则直线l斜率的取值范围为