四川省眉山市彭山区第一中学2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份四川省眉山市彭山区第一中学2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知数列，根据该数列的规律，则是该数列的（ ）．
A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项
2．设函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
3．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．10B．16C．±4D．4
4．下列求导运算不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A．1678B．1666C．1472D．1460
8．已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共2小题）
9．设是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．若等差数列的项数为，为所有奇数项的和，为所有偶数项的和，则
B．若是等差数列，则是与的等差中项
C．若是等比数列，则是与的等比中项
D．若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知为等差数列，若（其中），则
B．若等比数列的公比为q，则其前n项和为
C．若，，，则数列的通项公式为
D．若数列的首项为1，其前n项和为，且，则
三、单选题（本大题共1小题）
11．已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数可能取值为（ ）
A．1B．C．D．
四、填空题（本大题共3小题）
12．．如图函数F(x)＝f(x)＋x2的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝ .
13．函数(x>0)的图像在点处的切线与x轴交点的横坐标为，且，则 .
14．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 .
五、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程
(2)若，求函数的最大值与最小值.
16．在等差数列中，的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值；
(3)设，求．
17．已知等差数列和正项等比数列满足：，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)记，数列的前项和为，求.
18．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.
19．拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得.已知函数，数列满足，且.
(1)求，；
(2)证明：数列为等比数列；
(3)若数列的前n和为，且设，问：是否存在实数p，q，使得对任意，总有成立？
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，所以根据该数列的规律可知，是该数列的第项，
故选C.
2．【答案】A
【详解】由导数值的定义，，根据导数的几何意义，，即.
故选A
3．【答案】D
【详解】由题意可得：，
且数列为等比数列，则，可得，
注意到，可知，
则，所以.
故选D.
4．【答案】C
【详解】A：，对；
B：，对；
C：，错；
D：，对.
故选C
5．【答案】B
【详解】因为，
所以，
因为，所以，
所以公差，
故当时，，当时，，
所以当时，取得最小值，
即中最小的项是.
故选B.
6．【答案】B
【详解】设的零点分别为，其中，
当时，，当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
只有选项B符合条件.
故选B.
7．【答案】B
【详解】第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，
故新数列的公差是4和6的最小公倍数12，
则新数列的公差为12，首项为2，
其通项公式为，
令，得，
故，
则，
故选B.
8．【答案】B
【解析】先求导可得,则可转化问题为在上有解,进而求解即可
【详解】由题得,,
因为,则若函数在区间存在单调递减区间,
即在上有解,
即存在,使得成立,
设,则,
当时,,
所以,即,
故选B.
9．【答案】ABD
【详解】A选项，奇数项有项，首项为，末项为，所以，
偶数项有项，首项为，末项为，所以，
所以，A选项正确；
B选项，设等差数列的首项为，公差为，则，，
因为，所以数列为等差数列，因为，所以是与的等差中项，故B正确；
C选项，因为是等比数列，设其公比为q，当时，，等比数列中的项不能为0，此时不是与的等比中项，故C错误；
D选项，，当时，
，
满足上式，所以，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】AC
【详解】对于A，设等差数列的为公差，由，
得
，A正确；
对于B，等比数列的公比为q，当时，，此时无意义，B错误；
对于C，由，，
得
，因此数列的通项公式为，C正确；
对于D，由，得当时，，
两式相减得，即，则当时，，而，因此，D错误.
故选AC.
11．【答案】BD
【详解】因为，则，
令，可得，
原题意等价于与在内有2个不同的交点，
构建，则．
当时，，当时，，
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且当趋近于时，趋近于，
其图象如下：
可得，解得，
结合选项可知：AC错误；BD正确.
故选BD．
12．【答案】-5
【详解】因为F（5）=f（5）+5=-5+8=3，所以f（5）=-2．
又F′（x）=f′（x）+x，
所以F′（5）=f′（5）+×5=-1，
解得f′（5）=-3，f（5）+f′（5）=-5．
13．【答案】21
【详解】函数，求导得，于是函数的图像在点处的切线斜率为，
切线方程为，而，令，得，又，
因此数列是等比数列，公比为，，
所以.
14．【答案】
【详解】当时，，所以，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
且，，，
当时，，当时，，
当时，与一次函数相比，函数增长速度更快，
从而，
当时，，所以，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
且，，
当时，，当时，，
当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快，
从而，
当，且时，，
根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：
函数的零点个数与方程的解的个数一致，
方程，可化为，
所以或，
由图象可得没有解，
所以方程的解的个数与方程解的个数相等，
而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，
由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.
15．【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为.
【详解】（1）由题，则切线的斜率为，
故曲线在点处的切线方程为，即为；
（2）∵，令，解得：或，
令，解得：，
∴在单调递增，在单调递减，在单调递增；
∴，，
又，，，，
所以在上的最大值为，最小值为.
16．【答案】(1)
(2)36
(3)
【详解】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为，
则，解得，则，
故，
∴通项公式为；
（2）由（1）可得前项和，
∴当时，取最大值；
（3）∵，
∴当时，得，
即时有，时有，
当时，，
当时，
，
综上所述.
17．【答案】(1)，；
(2)
(3)
【详解】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为；
由，，可得，
解得或（舍），则；
所以，；
可得数列的通项公式为，的通项公式为；
（2）由（1）可得，
所以
，
即可得；
（3）易知，
则，
；
两式相减可得
；
所以数列的前项和为.
18．【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，
且，，
①当时，令得；令得；
可知在内单调递增；在内单调递减；
②当时，令得；令得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减；
当时，在内单调递增，在内单调递减.
（2）当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减，
即当时，函数取得极小值，同时也是最小值.
若对任意，存在，使，
等价于为，即，整理可得，
构建，则，
由，得，或（舍），
当时，；当时，；
可知函数在内单调递增，函数在内单调递减，
则当时，取得极大值同时也是最大值，
且，，
可知，则函数的最小值为，
可得，所以实数的取值范围为.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【详解】（1）根据题意，函数，则，
由，可得，
即，
化简为，
由，所以；
（2）由，可得，
即，所以数列为首项为3，公比为3的等比数列；
（3）由（2）可得，则，
所以，
则
，
所以存在实数，满足题意.