四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式得出集合和，然后再根据交集的定义即可得出答案.
【详解】由题意可知，，所以.
故选：C
2. 已知函数，则下列区间中含有的零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析出函数在上单调递增，再根据零点存在性定理即可求解.
【详解】∵函数在上单调递增，
∴函数在上至多有一个零点.
又，，
，∴由零点存在性定理可知：函数在上有一个零点.
故选：B.
3. 下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】对于A,B,C利用特殊值即可排除，对于D，借助幂函数的性质可以判断.
【详解】对于A，若，不妨取，则，故A错误；
对于B，若，不妨取，此时，故B错误；
对于C，若，不妨取，此时，故C错误；
对于D，因为幂函数在R上单调递增，若，即，则，故D正确；
故选：D
4. 已知幂函数在区间上单调递减，则函数（且的图像过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据幂函数的定义和性质求出，再根据指数函数的性质即可得解.
【详解】由题意得且，解得，
，令得，此时，
故的图像过定点．
故选：A.
5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数函数、对数函数的单调性可得，即可得解.
【详解】由题意，，，，
所以.
故选：B.
6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒后以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（ ）小时才能驾驶？（结果精确到0.1h）
A. 3小时B. 小时C. 小时D. 7小时
【答案】B
【解析】
【分析】设经过小时后才能驾驶，根据指数函数的性质列出不等式，取对数求解．
【详解】设经过小时后才能驾驶，则，
化简得，由是增函数得，即，
所以，
故选：B．
7. 已知，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的单调性，作出函数的图象，判断和的范围，代入解析式，求得的值，验证后即可求出的值.
【详解】由，可知当时，函数是增函数，
当时，函数也是增函数，且，作出其图象如图：

因，且，则，
故得，解得或，
由知，故，则.
故选：B.
8. 设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出的取值范围.
【详解】当时，，
则，
即当时，，
同理当时，；
当时，.
以此类推，当时，都有.
函数和函数在上的图象如下图所示：
由图可知，，，解得，
即对任意，都有，即的取值范围是.
故选：D.
二､多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全对得部分分，有选错的得0分.
9. 设正实数a，b满足，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最大值为2D. 的最小值为8
【答案】CD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用均值不等式逐项计算判断作答.
【详解】对于A，∵，，且，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立，
∴的最小值为，故A错误；
对于B，∵，，且，∴，当且仅当时，等号成立，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，故B错误；
对于C，∵，，且，∴，当且仅当时，等号成立，即的最大值为2，故C正确；
对于D，∵，，且，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为8，故D正确.
故选：CD.
10. 已知，则（ ）
A. 为第二象限角B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角函数的基本关系式，结合完全平方公式得到，进而求得，从而得解.
【详解】对于B，因为①，
所以，
则，故B正确；
对于A，又，所以，则，故为第一象限角，故A错误；
对于C，所以，
则②，
由①②可得，，则，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：BCD.
11. 定义在上的函数，对，都有，且当时，恒成立，则（ ）
A. 是偶函数B. 在上单调递增
C. D. 任意实数都满足
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用赋值法计算可得C正确；根据奇偶性定义以及函数单调性定义可判断为奇函数，且在上单调递增，可判断A错误B正确；易知，再由奇函数性质以及单调性计算可得D正确.
【详解】对于C，令，则，所以，故C正确；
对于A，令得，所以，
即，又不恒为0，所以只能为奇函数，故A错误；
对于B，令，且，故，
因为时，，所以，
即，所以，所以在上单调递增，故B正确；
对于D，由上成立，得，
由为增函数，所以，
又为奇函数，所以，所以，故D正确，
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数性质得出奇偶性以及单调性，再根据不等式性质判断得出结论.
三､填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. ______.
【答案】
【解析】
【分析】由指数，根式，对数的运算化简即可；
【详解】原式，
故答案为：.
13. 若函数是上的增函数．则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性结合指数函数与一次函数单调性列不等式求解即可.
【详解】函数是上增函数．
则可得解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
14. 设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先作出图象，利用换元法，结合题意得到方程在内有两个不同的实数根，再利用二次函数根的分布得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】作出函数的图象，如图，

令，则方程化为，
要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程有个不同的实数解，结合图象可知，此时，
则方程在内有两个不同的实数根，
令，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、解答题；本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）若不等式的解集为，求实数，的值；
（2）若函数区间不是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若不等式的解集为R，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）依题可得方程的两个根为和，用待定系数法求解即可；
（2）依题意可知二次函数的对称轴在区间里面（不含端点）；
（3）分和两种情况讨论即可.
【小问1详解】
因为不等式的解集为,
所以和是方程的两个根，
所以，解得.
【小问2详解】
因为函数在区间上不是单调函数,
所以,解得.
【小问3详解】
不等式的解集为R,
即的解集为R,
当时，原不等式恒成立，满足题意;
当时，由题意得，解得,
综上所述：.
16. 已知集合.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式及分式不等式求集合，再应用集合的交并运算求集合；
（2）根据集合并集的结果有，即可求参数范围.
【小问1详解】
由，则，可得或，
由，可得，
所以或，，则.
【小问2详解】
由（1）及题设，知，则.
17. 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过点
（1）求的值和；
（2）化简求值
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数定义求得m的值，然后根据正切函数的定义直接计算得到答案.
（2）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简化简整理为齐次式，然后切化弦得到原式等于，计算得到答案.
【小问1详解】
终边经过点，故，解得，.
【小问2详解】
.
18. 海尔学校为更好的繁荣校园文化，展示阳光少年风采，举办了创意shw展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，并且随着活动的推进，也有越来越多的同学参与其中，已知前3周参与活动的同学人数如下表所示：
（1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的同学人数（人），并求出你选择模型的解析式：①，②且，③且；
（2）已知海尔学校现有学生300名，请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中（参考数据：）.
【答案】（1），
（2）8周后，全校将有超过一半的学生参与其中
【解析】
【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；
（2）根据（1）中结论可得不等式,结合题中数据分析求解即可.
【小问1详解】
从表格数据可以得知，函数一个增函数，故不可能是①，
且函数增长的速度越来越快，所以选择③（且）
代入表格中的三个点可得：，解得：
所以，.
【小问2详解】
由（1）可知：，，
令，
整理得，
且，则，
所以8周后，全校将有超过一半的学生参与其中.
19. 已知函数是偶函数，且，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）设，，求函数的最小值；
（3）设，对于（2）中的，是否存在实数，使得函数在时有且只有一个零点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】(1)由条件求出，由此求出，利用单调性求其在时的值域；(2) 利用换元法，考虑轴与区间的位置关系求，(3)令，由已知可得函数，，在上有且仅有一个交点，由此列不等式求的取值范围.
【小问1详解】
因为函数是偶函数，故
而，可得，则，故
易知在上单调递增，故，；
故
【小问2详解】
令，故；
则，对称轴为
①当时，在上单增，故；
②当时，在上单减，在上单增，
故；③当时，在上单减，故；
故函数的最小值
【小问3详解】
由（2）知当时，；
则，即
令，，
问题等价于两个函数与的图象在上有且只有一个交点；
由，函数的图象开口向下，对称轴为，
在上单调递减，在上单调递增，

可图知；
故
【点睛】函数的零点个数与函数和的图象的交点个数相等，故可通过函数图象研究形如函数的零点问题.
活动举办第周
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参与活动同学人数（人）
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