四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l的倾斜角为60∘，且经过点(0,1)，则直线l的方程为( )
A. y= 3xB. y= 3x−2C. y= 3x+1D. y= 3x+3
2.已知事件A，B相互独立，且P(A−)=13，P(B)=14，则P(AB)=( )
A. 16B. 112C. 13D. 23
3.设曲线C1:x2a2+y2=1(a>1)，C2:x2−y24=1的离心率分别为e1，e2，若e2= 6e1，则a=( )
A. 6B. 3C. 2D. 2
4.已知四面体O−ABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，D为BC的中点，E为OD的中点，则AE用向量a，b，c可表示为( )
A. −a+14b+14cB. a−14b−14c
C. −a+12b+12cD. a−12b−12c
5.如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米.现将其截面图放置在直角坐标系xOy中，以地面所在的直线为x轴，过圆心的竖直直线为y轴，则门的轮廓所在圆的方程为( )
A. x2+(y−32)2=254
B. x2+(y+32)2=254
C. x2+(y−52)2=94
D. x2+(y+52)2=94
6.已知椭圆C:x216+y212=1的上顶点为A，左焦点为F1，线段AF1的中垂线与椭圆C交于M，N两点，则△F1MN的周长为( )
A. 8B. 12C. 16D. 24
7.2025蛇年央视春晚中，四川大凉山妞妞合唱团带来节目《玉盘》唱出了对月亮的呼唤，舞台的“月亮”元素惟妙惟肖，若将其中的一个“月亮”元素看作圆C，当动点P(m,n)在圆C上运动时，OP斜率nm的取值范围[− 3, 33]，则直线OC的斜率为( )
A. − 33B. −1C. 1− 3D. 3−2
8.已知圆台O1O的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为45∘，AB为下底面的一条直径，点P为圆台侧面上的一个动点，若|PA|2+|PB|2=13，则P的轨迹长度为( )
A. πB. 2πC. 3πD. 4π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某人连续投篮三次，每次投一球，记事件A为“三次都投中”，事件B为“三次都没投中”，事件C为“恰有二次投中”，事件D为“至少有二次投中”，则( )
A. A⊆DB. B∩D≠⌀C. A∪C=DD. BD−=B
10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，则( )
A. 直线BE与CD所成角的余弦值为 53
B. BC1//平面ACD1
C. 点F到直线BE的距离为1
D. DC1在DA1上的投影向量为 22DA1
11.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，双曲线C2:x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)的顶点与椭圆C1的焦点重合，一条渐近线与椭圆C1的一个交点为A( 3, 32)，则( )
A. 椭圆C1的方程为x24+y23=1
B. 双曲线C2的离心率为 5
C. 过椭圆C1右顶点且垂直于x轴的直线被双曲线C2截得的弦长为 3
D. 椭圆C1上到直线OA(O为原点)距离最大的点有2个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量a=(6,2,1)，b=(2,x,−3)，若a⊥b，则x=______.
13.已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2−8x+6y+m=0外切，此时直线1：3x+4y+5=0被圆C2所截的弦长为______.
14.2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点F1(−a,0)，F2(a,0)(a>0)的距离之积为定值.当a=3时，C上第一象限内的点P满足△PF1F2的面积为92，则|PF1|2−|PF2|2=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C的圆心为C(3,0)，且过点A(1, 5).
(1)求圆C的半径及标准方程；
(3)若O为坐标原点，点P(x,y)满足|PO|=2|PC|，求点P的轨迹方程.
16.(本小题15分)
骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5，6.
(1)先后抛掷骰子两次，记A=“两次点数之和为4”，求事件A的概率；
(2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由.
17.(本小题15分)
已知抛物线C：y2=2px(00)过点(0, 3)，离心率为 22.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点M( 2,1)的直线l与椭圆交于A，B两点；
(i)若点M为线段AB的中点，求直线l的方程；
(ii)若原点O总在以AB为直径的圆外，求直线l斜率的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意知：直线l的斜率为 3，则直线l的方程为y= 3x+1.
故选：C.
先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可．
本题考查直线方程的求法，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：已知事件A，B相互独立，且P(A−)=13，P(B)=14，
得P(A)=1−P(A−)=23，
则P(AB)=P(A)P(B)=16.
故选：A.
根据A，B是相互独立事件，结合对立事件和相互独立事件概率运算的性质，直接进行计算即可．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：已知曲线C1:x2a2+y2=1(a>1)，C2:x2−y24=1的离心率分别为e1，e2，
则e1= a2−1a,e2= 51= 5，
又e2= 6e1，
所以 a2−1a= 5 6且a>1，
则1−1a2=56，
即a= 6.
故选：A.
由曲线方程求出离心率，结合e2= 6e1求参数即可．
本题考查了双曲线的性质，属基础题．
4.【答案】A
【解析】解：D为BC的中点，E为OD的中点，
则AE=12(AD+AO)=12AD+12AO=12×12(AB+AC)−12OA=14(OB−OA+OC−OA)−12OA=−OA+14OB+14OC，
设OA=a，OB=b，OC=c，
则AE用向量a，b，c可表示为−a+14c+14b.
故选：A.
根据已知条件，结合空间向量的运算法则，即可求解．
本题主要考查空间向量的运算法则，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：设该圆的半径为r，如图，
由该门的最高点到地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米知：|OD|=4−r，|BD|=r，|OB|=2，
由勾股定理得：|BD|2=|OD|2+|OB|2，即r2=(4−r)2+4，解得：r=52，
∴|OD|=4−r=32，即圆的圆心为(0,32)，则圆的方程为x2+(y−32)2=254.
故选：A.
利用勾股定理可构造方程求得半径r，进而得到圆心坐标，由此可得圆的方程．
本题主要考查圆的方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：已知C:x216+y212=1，
则a=4,b=2 3，c=2，
于是A(0,2 3),F1(−2,0)，
则线段AF1的中垂线MN的方程为y− 3=−−2−00−2 3(x+1)，
即y− 3=− 33(x+1)，
取y=0，
解得x=2，
即直线MN经过椭圆的右焦点F2(2,0)，
连接MF1，NF2，
则|MF1|=|MA|，|NF1|=|NA|，
于是△AMN的周长为|MA|+|AN|+|MN|=|MF1|+|NF1|+|MF2|+|NF2|
=(|MF1|+|MF2|)+(|NF1|+|NF2|)=2a+2a=4a=16.
故选：C.
先求出线段AF1的中垂线MN的方程，判断其经过椭圆右焦点，再利用线段中垂线的性质和椭圆的定义即可求得．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：如图所示：
kOP=nm，
∵nm的取值范围[− 3, 33]，
∴直线OP的倾斜角的取值范围是[0,π6]∪(2π3,π],
由题意可知，直线y=− 3x、y= 33x为圆C的两条切线，
即直线 3x+y=0，x− 3y=0为圆C的两条切线，
由图可知，直线OC的斜率为负数，则ba