福建省龙岩市上杭县某校2024-2025学年高二下学期3月质量检查 数学试题

这是一份福建省龙岩市上杭县某校2024-2025学年高二下学期3月质量检查 数学试题，共16页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上.，若，则等于，下列求导正确的是，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．B．C．2D．
2．函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．若，则等于（ ）
A．B．3C．D．6
4．已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
6．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在内是增函数 B．在内是增函数
C．在时取得极大值 D．在时取得极小值
7．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数在区间内任取两个实数p、q，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9．下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．当时，有两个极值点
B．当时，有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．当时，过点可作曲线的三条切线
11．已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．方程有唯一实数根
B．在区间上单调递增
C．
D．若且，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知函数，则 ．
13．过点作曲线的切线的斜率为 ．
14．若对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（15分）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)．
16．（13分）已知函数．
(1)求的极值；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
17．（15分）设函数．
（1）求该函数的单调区间；
（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
18．（17分）已知函数.
(1)当时，求经过点且与曲线相切的切线方程；
(2)若存在实数，使得，则称为函数的不动点.已知函数有3个不动点，求的取值范围.
19．（17分）
已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，证明：；
(3)函数有两个零点、，求证：．
2024～2025学年第二学期3月份质量检查
高二年级数学试题参考答案
1．C
【分析】利用平均变化率的意义，直接计算作答.
【详解】函数在区间上的平均变化率为.
故选：C
2．D
【分析】根据初等函数的导数公式和导数的运算法则求解即可
【详解】因为，
所以，
故选：D.
3．D
【详解】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：D．
4．A
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
【详解】函数，求导得：，则，而，
因此，即，
所以的图象在处的切线方程为：.
故选：A
5．C
【分析】求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，从而求出、的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.
【详解】因为，所以，
由已知得 ，解得，
所以，所以，
由，解得，所以函数的单调递增区间是.
故选：C．
6．B
【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.
【详解】由图可知，在区间上,单调递减；
在区间上,单调递增.
所以不是的极值点，是的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选：B
7．B
【分析】分情况讨论，当时直接代入可得函数递减；当时，求导，构造函数，，再由得到抽象函数，求出，最后再讨论时的情况，综合得出结果.
【详解】当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以，
由题可知恒成立，即.令，
则，所以在上单调递增，由，
可得，即，所以，所以，
当时，，不符合题意，故的取值范围是.
故选：B
8．B
【分析】首先，由的几何意义，得到直线的斜率，然后得到函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，从而得到在内恒成立，分离参数后，转化成在内恒成立，从而求解得到a的取值范围.
【详解】因为的几何意义为：
表示点与点连线的斜率，
因为实数，在区间，故在区间内，
不等式恒成立，
所以函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在内恒成立，
由函数的定义域，
所以在内恒成立，
即在内恒成立，
由于二次函数在上是单调增函数，
故时，在上取最大值为15，
故实数a的取值范围为.
故选：B
【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为.
9．BD
【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BD选项；利用复合函数的求导法则可判断C选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D对.
故选：BD.
10．BD
【分析】由题得出，求得，令得出极值点，极值，单调区间即可得出判断．
【详解】定义域为，
，令，得或（舍去），
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以是的极小值点，极小值为，故B正确，A错误，C错误；
，即函数无零点，故D正确；
故选：BD．
11．BCD
【分析】先求出，然后讨论的单调性，即可判断A，B，C选项；对于D选项，使用基本不等式并结合的最小值即可验证.
【详解】设，则，所以恒为常数.
又由于，故.
所以，即.
对于A，由于，故对有，对有.
从而在上递减，在上递增，故，所以方程没有实数根，故A错误；
对于B，前面已经证明在上递增，故B正确；
对于C，前面已经证明，所以，故C正确；
对于D，若，，则，
故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造合适的新函数，从而求出已知函数的表达式.
12．6
【分析】利用瞬时变化率和极限思想求得，再结合函数解析式求得即可.
【详解】因，
由可得，
故.
故答案为：6.
13．2
【分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入即可求解；
【详解】，设切点横坐标为，
故曲线在处的切线方程为l：，
将，代入，得，
解得，∴，
故答案为：2
14．
【分析】整理可得，同构结合的单调性分析可得，换元令，可得，构建，利用导数求其最值，即可得结果.
【详解】因为，且，
可得，整理可得，
构建
又因为在内单调递增，可得在内单调递增，
可得，且，整理可得，
令，可得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，则内单调递减，则，
可得，即，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
1.分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
2.函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
15．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4），则
（5）
16．(1)极大值是，极小值是
(2)最大值为2，最小值为
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（2）根据函数的单调性以及极值，结合，的值，求出函数的最值即可.
【详解】（1）∵，
∴，
故的极大值是，极小值是；
（2）由（1）知：
即函数在区间,上的最大值为2，最小值为.
17．（1）单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；
（2）m＞2e2．
【分析】（1）求出导函数f′（x），令导函数f′（x）＞0，求解即可求得单调增区间，令f′（x）＜0，求解即可求得单调减区间，从而求得答案；
（2）将恒成立问题转化成求函数f（x）最大值，利用导数求出函数f（x）的最大值，即可求得实数m的取值范围．
【详解】（1）∵，
∴f′（x）＝xexx2exexx（x+2），
令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，
令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；
（2）∵当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，
∴m＞f（x）max，
由（1）可知，f′（x）＝xexx2exexx（x+2），
令f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，
∵f（﹣2），f（0）＝0，f（2）＝2e2，
∴f（x）max＝2e2，
∴m＞2e2，
∴实数m的取值范围为m＞2e2．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数在闭区间上的最值，,考查了函数的恒成立问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解，本题采用了直接求最值的方法，属于中档题．
18．(1)
(2).
【分析】（1）求出函数的导函数，设切点为，，利用导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到方程，求出，从而求出切线方程；
（2）依题意方程有个不同实数根，令，则函数有个零点，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，结合函数的单调性，得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）当时，，则，
设切点为，，所以切线斜率，
解得，即，
所以切线方程为，即为所求切线方程.
（2）由题意得，方程有个不同实数根，
令，则函数有3个零点，
，
当时，，在R上单调递增，所以只有1个零点，不符合题意：
当时，令，得，
则，随着的变化情况如下表，
由函数有3个零点，根据上表可得，
解得，
综上可得，的取值范围.
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间；
（2）当时，即证不等式，令，即证不等式，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证得结论成立；
（3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
当时，对任意的，，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，由可得，由可得或，
此时函数的减区间为，增区间为、；
当时，对任意的，，
此时函数的增区间为；
当时，由可得，由可得或，
此时，函数的减区间为，增区间为、.
综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、；
当时，的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（2）当时，，
即证，
令，即证，即证，
因为，则函数在上单调递增，
当时，；当时，，
所以函数的值域为，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，则，
故，即，故原不等式得证.
（3），
因为函数有两个零点、，不妨设，
则，所以，，
整理可得，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
A
C
B
B
B
BD
ABD
题号
11









答案
BCD









x
1
3
+
0
-
0
+
单调递增
极大值2
单调递减
极小值
单调递增
x
1
2
+
0
-
单调递增
极大值2
单调递减
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增