福建省上杭县2024-2025学年高二下学期期中数学检测试题（含答案）

这是一份福建省上杭县2024-2025学年高二下学期期中数学检测试题（含答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．以，分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现停水的事件，据记载知，，，则两个区同时发生停水事件的概率为（ ）
A．0.6B．0.65C．0.45D．0.045
3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知四面体如图所示，点为线段的中点，点为的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
6．设在上存在导数，满足，且有的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设，，（e为自然对数底数），则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．下列说法命题正确的是（ ）
A．在空间直角坐标系中，已知点，，，则三点共线
B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．已知，，则在上的投影向量为
D．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则
10．现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（ ）
A． B． C． D．
11．函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的极小值为0
B．若有3个零点，，，则
C．若，则为奇函数
D．当时，在区间上单调递增
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．现有10道四选一的单选题，学生李华对其中8道有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，李华从10道题中随机选择1题，他做对该题的概率为 ．
13．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为 .
14．已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是 ．
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15．（13分）已知函数在处取得极值.
(1)求实数，的值. (2)求函数在区间上的最大值和最小值.
16．（15分）如图，在空间四边形中，已知、分别是线段、的中点．
(1)设，试用向量、、表示和；
(2)若空间四边形是棱长为2的正四面体，求直线和夹角的余弦值．
17．（15分）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球.
(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
(2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；
(3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.
18．（17分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
19．（17分）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)令，当时，求的极值点个数；
(3)令，当有且仅有两个零点时，求的取值范围.答案
1．C
【分析】利用导数的运算求解即可.
【详解】，
则.
故选：C
2．D
【分析】由可求两个区同时发生停止供水事件的概率.
【详解】由题意可得.
故选：D.
3．C
【分析】利用向量垂直的坐标表示计算可得结果.
【详解】根据题意可得，即，
可得，解得.
故选：C
4．D
【分析】结合重心的性质，利用向量的线性运算和基本定理直接求解即可.
【详解】由题知，
.
故选：D
5．B
【分析】利用导数研究函数的单调性即可确定函数图象.
【详解】因为，所以，
当时，，单调递减，
当时，令，得，令得，
所以在单调递减，在单调递增，当时，有最小值1，
只有选项B图象符合.
故选：B
6．D
【分析】根据题目中已知和，以及不等式结构特征可构造函数，再由函数的特殊值和单调性性质即可求解.
【详解】令，
则，
所以函数在上单调递增，又由题，
所以，即，即的解集为，
故选：D.
7．D
【分析】根据题意转化为导函数有解，参变分离有解，设，则实数，求导计算可得解；
【详解】函数的定义域为,
求导得，函数存在单调递减区间，
所以有解，即有解，
设，则实数，
则，令，得，
当时，在上递增；
当时，在上递减；
所以函数有最大值，
因此.
故选：D.
8．B
【分析】由，，，且，构造利用导数研究单调性比较大小，即可得结果.
【详解】由题设，，，显然，
对于，的大小，只需比较大小，
令且，则，即在上递减，
所以，故，
综上，，故.
故选：B
9．CD
【分析】根据空间向量共线的充要条件计算可判定A，利用空间向量研究线面关系可判定B，根据数量积的几何意义计算投影向量可判定C，利用四点共面的推论可判定D.
【详解】对于A，易知，显然，所以不共线，即A错误；
对于B，由题意可知，所以不垂直，即B错误；
对于C，在上的投影向量为，即C正确；
对于D，由于四点共面，则，所以，即D正确.
故选：CD
10．BCD
【分析】对于A：利用全概率求；对于B：利用对立事件概率公式求；对于CD：根据条件概率公式运算求解.
【详解】由题意可得：，，
对于A：由全概率公式可得
，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于CD：，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD.
11．BD
【分析】利用导数求出的极小值，即可判断A；利用韦达定理求出的零点之和判断B；利用奇函数的定义判断C；利用的导函数在区间上的正负判断D.
【详解】对于A，当时，，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以为的极小值，故A错误；
对于B，由可知是其一个零点，令，
令，设是的两个根，由韦达定理得，
所以，若函数的3个零点为，，，
则，故B正确；
对于C，令，当时，
，
所以函数不是奇函数，故C错误；
对于D，，
因为当时，，当时，，
所以，
所以，当时，在区间上单调递增，故D正确.
故选：BD.
12．0.77/
【分析】直接由全概率公式即可求解.
【详解】由全概率公式可知，他做对该题的概率为.
故0.77.
13．
【分析】运用空间中点到面的距离公式计算即可.
【详解】由题意知，，则，，
所以点P到平面的距离为.
故答案为.
14．
【分析】构造函数，利用单调性得到，分离参数，求出，，的最大值即可
【详解】由条件得，
构造函数，对其求导得，令得，
于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．
因为，，所以，，根据，得到，
分离参数得对恒成立，
只需
构造函数，，对其求导得，
令得，于是当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以，于是，因此k的取值范围是
故
15．(1)，
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）先求导，根据已知列方程组即可求解；
（2）由（1）知，根据导函数判断函数的单调性和极值，再求解区间端点处的函数值与极值比较即可求解最值.
【详解】（1）因为，所以，
因为在处取得极值，
所以，所以，
解得，经检验，符合题意，
所以，；
（2）由（1）知，所以，
令，得或，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以函数的极小值为，极大值为，
又，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
16．(1)，，
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可.
（2）根据平面向量夹角公式求解即可.
【详解】（1），
，
（2）
，
又△和△均为等边三角形，∴．
设向量与的夹角为，则
∴直线和夹角的余弦值为．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设出事件，运用条件概率公式求解即可；
（2）设出事件，运用全概率公式求解即可；
（3）设出事件，运用贝叶斯概率公式求解即可.
【详解】（1）记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”，
则，故
（2）设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，
则，
可得
（3）在（2）的条件下.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用中位线得出线线平行，可得出面面平行，由面面平行的性质证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦即可；
（3）设，利用向量法求直线与直线所成角即可得解.
【详解】（1）取中点，连接，如图所示：
因为为中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为为中点，为中点，所以，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
（2）平面PAC平面，平面平面AC，
平面，平面.
平面，，又，
则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面一个法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设，且，
所以，
所以，解得，
所以.
19．(1)答案见解析
(2)两个极值点.
(3)或
【分析】（1）求导，利用一次型含参讨论求得单调性；
（2）求导，求的极值点个数即为求的变号零点个数；
（3）求导，整理得，易知，为一个零点，
分和分类讨论.
【详解】（1）的定义域为，
当时，在上单调递增
当时，由，得，
由，得，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2），
令
当时，时单调递减，
时，单调递增，，
又时，，
所以分别在和上存在唯一的变号零点，
即有两个极值点.
（3），
又为一个零点，
①若，则在定义域内单调递增，又，所以只有一个零点.
②若，令
又，则，即单调递增，
i.当时，即，当时，单调递减；
当时，单调递增，的最小值为，函数只有一个零点.
ii.当时，即，当时，，
所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减，
当时，单调递增.
又时，，所以有两个零点.
iii.当时，即，当时，，
所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
又时，，所以有两个零点.
所以，有且仅有两个零点时，或.
思路点睛：研究函数的零点问题，可以通过转换、求导研究函数的单调性、最值，借助零点存在定理求解.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
D
B
D
D
B
CD
BCD
题号
11









答案
BD