福建省龙岩市上杭县某校2024-2025学年高二下学期3月质量检查数学试卷（解析版）

这是一份福建省龙岩市上杭县某校2024-2025学年高二下学期3月质量检查数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上.等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1. 函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】函数在区间上的平均变化率为.
故选：C
2. 函数，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，
故选：D.
3. 若，则等于（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：D．
4. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数，求导得：，
则，而，
因此，即，
所以的图象在处的切线方程为：.
故选：A
5. 若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
由已知得 ，解得，
所以，所以，
由，解得，所以函数的单调递增区间是.
故选：C．
6. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A. 在内是增函数
B. 在内是增函数
C. 时取得极大值
D. 在时取得极小值
【答案】B
【解析】由图可知，在区间上,单调递减；
在区间上,单调递增.
所以不是的极值点，是的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选：B
7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以，
由题可知恒成立，即.令，
则，所以在上单调递增，由，
可得，即，所以，所以，
当时，，不符合题意，故的取值范围是.
故选：B
8. 已知函数在区间内任取两个实数p、q，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为的几何意义为：
表示点与点连线的斜率，
因为实数，在区间，
故在区间内，
不等式恒成立，
所以函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在内恒成立，
由函数的定义域，
所以在内恒成立，
即在内恒成立，
由于二次函数在上是单调增函数，
故时，在上取最大值为15，
故实数a的取值范围为.
故选：B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D对.
故选：BD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，有两个极值点
B. 当时，有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 当时，过点可作曲线的三条切线
【答案】ABD
【解析】对于A，由题知，定义域为，则，
当时，令，得或，
令，得或，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
所以为极大值点，为极小值点，故A正确；
对于B，当时，当时，；当时，，
且，
，
因为，所以，，
所以，，
所以有三个零点，B正确；
对于C，若点是曲线的对称中心，则满足恒成立，
因为，
，
所以，其值不恒为0，C错误；
对于D，设过点的直线与相切的切点为，
则，且切线斜率为，
故切线的方程为，即，
因为切线过，则，
整理得，即，
构造函数与，
对于函数，，
令，得，
令，得或，即该函数在和上单调递增，
令，得，即该函数在上单调递减，
时，函数有极小值；时，函数有极大值，
当时，；当时，，
作出函数与的图象，如图，
因为，所以，
所以函数与图象有三个交点，
即方程有三个解，
即过点可作曲线的三条切线，D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. 方程有唯一实数根
B. 在区间上单调递增
C.
D. 若且，则
【答案】BCD
【解析】设，则，所以恒为常数.
又由于，故.
所以，即.
对于A，由于，故对有，对有.
从而在上递减，在上递增，故，所以方程没有实数根，故A错误；
对于B，前面已经证明在上递增，故B正确；
对于C，前面已经证明，所以，故C正确；
对于D，若，，则，
故D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数，则_______．
【答案】6
【解析】因，
由可得，
故.
故答案为：6.
13. 过点作曲线的切线的斜率为______．
【答案】2
【解析】，设切点横坐标为，
故曲线在处的切线方程为l：，
将，代入，得，
解得，∴，
故答案：2
14. 若对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为，且，
可得，整理可得，
构建
又因为在内单调递增，可得在内单调递增，
可得，且，
整理可得，
令，可得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，则内单调递减，则，
可得，即，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）．
解：（1）
（2）
（3）
（4），则
（5）
16. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
解：（1）∵，
∴，
故的极大值是，极小值是；
（2）由（1）知：
即函数在区间,上的最大值为2，最小值为.
17. 设函数．
（1）求该函数的单调区间；
（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）∵，
∴f′（x）＝xexx2exexx（x+2），
令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，
令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；
（2）∵当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，
∴m＞f（x）max，
由（1）可知，f′（x）＝xexx2exexx（x+2），
令f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，
∵f（﹣2），f（0）＝0，f（2）＝2e2，
∴f（x）max＝2e2，
∴m＞2e2，
∴实数m的取值范围为m＞2e2．
18. 已知函数.
（1）当时，求经过点且与曲线相切的切线方程；
（2）若存在实数，使得，则称为函数的不动点.已知函数有3个不动点，求的取值范围.
解：（1）当时，，则，
设切点为，，所以切线斜率，
解得，即，
所以切线方程为，即为所求切线方程.
（2）由题意得，方程有个不同实数根，
令，则函数有3个零点，
，
当时，，在R上单调递增，所以只有1个零点，不符合题意：
当时，令，得，
则，随着的变化情况如下表，
由函数有3个零点，根据上表可得，
解得，
综上可得，的取值范围.
19. 已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，证明：；
（3）函数有两个零点、，求证：．
解：（1）函数的定义域为，
，
当时，对任意的，，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，由可得，由可得或，
此时函数的减区间为，增区间为、；
当时，对任意的，，
此时函数的增区间为；
当时，由可得，由可得或，
此时，函数的减区间为，增区间为、.
综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、；
当时，的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（2）当时，，
即证，
令，即证，即证，
因为，则函数在上单调递增，
当时，；当时，，
所以函数的值域为，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，则，
故，即，故原不等式得证.
（3），
因为函数有两个零点、，不妨设，
则，所以，，
整理可得，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证.x
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