2024-2025学年苏科版（2024）第二学期七年级数学期中复习卷（16） (含答案）

这是一份2024-2025学年苏科版（2024）第二学期七年级数学期中复习卷（16） (含答案），共28页。试卷主要包含了a2﹣1等内容，欢迎下载使用。
选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）计算﹣0.1252025×[（﹣2）2025]3的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．2025D．142025
3．（2分）当a＞1时，比较两个代数式的大小关系：（a﹣1）2（ ）a2﹣1
A．小于B．等于C．大于D．无法确定
4．（2分）如图所示的图形由一个大正方形ABEF、一个小正方形ADGH和一个长方形ABCD不重合无缝隙得拼接在一起，已知长方形ABCD的面积是6，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为69，那么长方形ABCD的周长是（ ）
A．12B．18C．16D．14
5．（2分）若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝1，n＝﹣6B．m＝5，n＝6C．m＝1，n＝6D．m＝5，n＝﹣6
6．（2分）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形ABO绕某点逆时针旋转到三角形DCO的位置，下列说法正确的是（ ）
A．旋转中心是O，旋转角是90°
B．旋转中心是O，旋转角是45°
C．旋转中心是C，旋转角是90°
D．旋转中心是C，旋转角是45°
7．（2分）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为2的小正方形，若将图1中的阴影部分沿虚线剪拼成一个长方形如图2，上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2+4a＝a（a+4）B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
C．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）D．（a+2）2＝a2+4a+4
8．（2分）已知9x＝a，3y＝b，27z＝ab那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A．2x+y＝zB．xy＝3zC．2x+y＝3zD．2xy＝z
9．（2分）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．3B．19C．21D．28
10．（2分）如图，未拼完的木盘，现欲用平移方式移动拼木拼满木盘，应该选择的拼木是（ ）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．（2分）已知2×4x+1×16＝223，则x的值为 ．
12．（2分）如图，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积是 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝50°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC（点D、E分别与点A、B对应），如果∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，当旋转角大于0°且小于180°时，旋转角的度数为 ．
14．（2分）如图，一副三角板（△ABC与△DBE）的直角顶点B重合，已知∠A＝60°，∠D＝45°，若△ABC固定不动，绕点B顺时针转动△DBE，旋转角的度数小于130度，则△DBE的三边依次与AC平行时，∠ABE的度数为 ．
15．（2分）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为10，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为 ．
16．（2分）对于整数a，b，我们定义：a▲b＝10a×10b，a△b＝10a÷10b．例如：5▲3＝105×103＝108，5△3＝105÷103＝102，则（2▲1）﹣（6△3）的值为 ．
17．（2分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝ ，并说出第7排的第三个数是 ．
18．（2分）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与A′C边重合，∠BA'C＝45°，∠DAC＝30°．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板A′BC绕着点C按逆时针旋转90°后停止．在此旋转过程中，当A′B与三角板ACD的一条边恰好平行时，∠ACA′＝ ．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19．（6分）用简便方法计算：
（1）9992+1999； （2）13142﹣1316×1312．
20．（6分）幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an；am﹣n＝am÷an；amn＝（am）n等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）若3m×9m×27m＝312，求m的值．
（2）比较大小：若a＝255，b＝344，c＝533，则a，b，c的大小关系是什么？
21．（8分）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）画出△A′B′C′；
（2）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是 ；
（3）在AB的左侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有 个（不包括C点）．
22．（8分）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用a、b的代数式表示出来）
图1表示： ；
图2表示： ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，则（x﹣y）2＝ ；xy＝ ；
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积．
23．（8分）规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（4，64）＝ ，（﹣2，﹣32）＝ ；
②若(x，116)=-4，则x＝ ；
若（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，探究a、b、c之间的数量关系并说明理由．
24．（8分）我们学完完全平方公式后，知道完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：
若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，
解决下列问题：
（1）若x+y＝5，x2+y2＝11，求xy的值；
（2）若（2025﹣x）（2023﹣x）＝3，求（2025﹣x）2+（2023﹣x）2的值．
25．（10分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝ ．
（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图上作出线段CP．
26．（10分）已知，如图1，直线AB∥CD，E为直线AB上方一点，连接ED、BE，ED与AB交于P点．
（1）若∠ABE＝110°，∠CDE＝70°，则∠E＝ ；
（2）如图1所示，作∠CDE的平分线交AB于点F，点M为CD上一点，∠BFM的平分线交CD于点H，过点H作HG⊥FH交FM的延长线于点G，GF∥BE，且2∠E＝3∠DFH+20°，求∠EDF+∠G的度数．
（3）如图2，在（2）的条件下，∠FDC＝25°，将△FHG绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟3°，记旋转中的△FHG为△FH′G′，同时∠FDE绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟5°，记旋转中的∠FDE为∠F′DE′，当∠FDE旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当△FH′G′其中一条边与∠F′DE′的其中一条边互相垂直时，直接写出t的值．
答案与解析
第Ⅰ卷
选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【思路引导】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【规范解答】解：A．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【考点点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（2分）计算﹣0.1252025×[（﹣2）2025]3的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．2025D．142025
【思路引导】首先把﹣0.1252025×[（﹣2）2025]3化成﹣0.1252025×（﹣8）2025；然后根据积的乘方的运算方法，求出计算﹣0.1252025×[（﹣2）2025]3的结果即可．
【规范解答】解：﹣0.1252025×[（﹣2）2025]3
＝﹣0.1252025×[（﹣2）3]2025
＝﹣0.1252025×（﹣8）2025
＝[﹣0.125×（﹣8）]2025
＝12025
＝1．
故选：A．
【考点点拨】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．
3．（2分）当a＞1时，比较两个代数式的大小关系：（a﹣1）2（ ）a2﹣1
A．小于B．等于C．大于D．无法确定
【思路引导】利用作差法求出（a﹣1）2﹣（a2﹣1）的结果，再判断出计算结果的符号即可得到结论．
【规范解答】解；原式＝a2﹣2a+1﹣a2+1
＝﹣2a+2
＝﹣2（a﹣1），
由条件可知﹣2（a﹣1）＜0，
∴（a﹣1）2﹣（a2﹣1）＜0，
∴（a﹣1）2＜（a2﹣1），
故选：A．
【考点点拨】本题主要考查了完全平方公式，整式的加减计算，熟练掌握以上知识点是关键．
4．（2分）如图所示的图形由一个大正方形ABEF、一个小正方形ADGH和一个长方形ABCD不重合无缝隙得拼接在一起，已知长方形ABCD的面积是6，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为69，那么长方形ABCD的周长是（ ）
A．12B．18C．16D．14
【思路引导】设AB＝a，AD＝b，则ab＝6，a2+b2＝69，然后利用完全平方公式求得a+b的值后再乘2即可．
【规范解答】解：设AB＝a，AD＝b，
则ab＝6，a2+b2＝69，
那么（a+b）2＝a2+b2+2ab＝69+12＝81，
∵a+b＞0，
∴a+b＝9，
∴长方形ABCD的周长是2×9＝18，
故选：B．
【考点点拨】本题考查完全平方公式，设AB＝a，AD＝b，根据已知条件求得a+b的值是解题的关键．
5．（2分）若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝1，n＝﹣6B．m＝5，n＝6C．m＝1，n＝6D．m＝5，n＝﹣6
【思路引导】先根据多项式乘以多项式的法则计算（y+3）（y﹣2），再根据多项式相等的条件即可求出m、n的值．
【规范解答】解：∵（y+3）（y﹣2）＝y2﹣2y+3y﹣6＝y2+y﹣6，
∵（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，
∴y2+my+n＝y2+y﹣6，
∴m＝1，n＝﹣6．
故选：A．
【考点点拨】本题主要考查多项式乘以多项式的法则：（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
6．（2分）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形ABO绕某点逆时针旋转到三角形DCO的位置，下列说法正确的是（ ）
A．旋转中心是O，旋转角是90°
B．旋转中心是O，旋转角是45°
C．旋转中心是C，旋转角是90°
D．旋转中心是C，旋转角是45°
【思路引导】观察图形，根据网格的特征可得答案．
【规范解答】解：由图可知，B绕O逆时针旋转90°可得C，A绕O逆时针旋转90°可得D，
∴旋转中心是O，旋转角是90°；
故选：A．
【考点点拨】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．
7．（2分）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为2的小正方形，若将图1中的阴影部分沿虚线剪拼成一个长方形如图2，上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2+4a＝a（a+4）B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
C．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）D．（a+2）2＝a2+4a+4
【思路引导】分别表示出图1和图2中阴影部分的面积，然后可得等式．
【规范解答】解：图1中阴影部分的面积为a2﹣22＝a2﹣4，图2中阴影部分的面积为（a+2）（a﹣2），
所以能验证的等式是a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），
故选：C．
【考点点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出阴影部分的面积是解题关键．
8．（2分）已知9x＝a，3y＝b，27z＝ab那么x，y，z满足的等量关系是（ ）
A．2x+y＝zB．xy＝3zC．2x+y＝3zD．2xy＝z
【思路引导】可得32x＝a，3y＝b，33z＝ab，从而可得32x+y＝33z，即可求解．
【规范解答】解：∵9x＝a，3y＝b，27z＝ab，
∴32x＝a，3y＝b，33z＝ab，
∴32x•3y＝33z，
∴32x+y＝33z，
∴2x+y＝3z；
故选：C．
【考点点拨】本题考查了幂的乘方公式逆用和同底数幂的乘法公式，掌握公式是解题的关键．
9．（2分）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．3B．19C．21D．28
【思路引导】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意分别得到（x+y）2＝64，（x﹣y）2＝6，两式相加可得x2+y2＝35，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积．
【规范解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+y2+2xy＝64，
∵点H为AE的中点，
∴AH＝EH＝4，
∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6，
∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6，
∴x2+y2＝35，
∴图1的阴影部分面积＝x2+y2-12×4•x-12×4•y
＝x2+y2﹣2（x+y）
＝35﹣2×8
＝19，
故选：B．
【考点点拨】本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．
10．（2分）如图，未拼完的木盘，现欲用平移方式移动拼木拼满木盘，应该选择的拼木是（ ）
A．B．
C．D．
【思路引导】根据平移前后，图形的大小，形状和方向都不反生改变，进行判断即可．
【规范解答】解：由图可知，应该选择的拼木是：
故选：D．
【考点点拨】本题考查图形的平移．熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
第Ⅱ卷
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．（2分）已知2×4x+1×16＝223，则x的值为 8 ．
【思路引导】根据幂的乘方运算法则将4和16分别化为以2为底的幂，再根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【规范解答】解：∵2×4x+1×16
＝2×22x+2×24
＝22x+7
＝223，
∴2x+7＝23，
∴x＝8．
故答案为：8．
【考点点拨】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．
12．（2分）如图，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积是 18 ．
【思路引导】由题意得AB2﹣BE2＝36，根据S阴影＝S△ACE+S△AED=12AE⋅BC+12AE⋅BD=12AE(BC+BD)，BC＝AB，BD＝BE，即可求解．
【规范解答】解析：∵大正方形的面积为：AB2，小正方形的面积为：BE2，
∴AB2﹣BE2＝36，
∵BC＝AB，BD＝BE，
∴S阴影＝S△ACE+S△AED
=12AE⋅BC+12AE⋅BD
=12AE(BC+BD)
=12(AB-BE)(AB+BE)
=12(AB2-BE2)
=12×36
＝18．
故答案为：18．
【考点点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的定义是关键．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝50°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC（点D、E分别与点A、B对应），如果∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，当旋转角大于0°且小于180°时，旋转角的度数为 30°或150° ．
【思路引导】分两种情况：当旋转角小于50°时和当旋转角大于50°时，分别画出图形，由∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，求出∠ACE，即可得到旋转角度数．
【规范解答】解：当旋转角小于50°时，如图：
∵∠ACB＝50°，△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴∠DCE＝50°，
∵∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，
∴∠ACE=23+2×50°＝20°，
∴旋转角∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°，
当旋转角大于50°时，如图：
∵∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，∠DCE＝∠ACB＝50°，
∴∠ACE＝2∠DCE＝100°，
∴旋转角∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝150°，
故答案为：30°或150°．
【考点点拨】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质及旋转角的定义．
14．（2分）如图，一副三角板（△ABC与△DBE）的直角顶点B重合，已知∠A＝60°，∠D＝45°，若△ABC固定不动，绕点B顺时针转动△DBE，旋转角的度数小于130度，则△DBE的三边依次与AC平行时，∠ABE的度数为 30°或75°或120° ．
【思路引导】分三种情况讨论：当DE∥AC时，当BE∥AC时，当BD∥AC时，当DB∥AC时，利用平行线的性质以及角的关系即可解答．
【规范解答】解：当DE∥AC时，如图1：
∵∠A＝∠BFE＝60°，∠D＝∠BEF＝45°，
∴∠ABE＝180°﹣∠BEF﹣∠BFE＝180°﹣60°﹣45°＝75°；
当BE∥AC时，如图2：
∴∠CBE＝∠C＝90°﹣∠A＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°+30°＝120°；
当BD∥AC时，如图3：
∴∠CBD＝∠C＝90°﹣∠A＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠DBC+∠DBE＝90°+30°+90°＝210° （不合题意，舍去），
当DB∥AC时，∠ABE＝30°，
∵DB∥AC，
∴∠D＝∠EPO＝45°，
∵∠E＝45°，
∴∠AOE＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABE＝30°，
故答案为：30°或75°或120°．
【考点点拨】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想进行分类求解，同 时不要忘记范围限制．
15．（2分）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为10，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为 27 ．
【思路引导】设正方形ABCD的边长为a，正方形乙的边长为b，由题意得a+b＝10，（a﹣b）2＝4，进而求出a＝6，b＝4，再利用a、b的代数式表示图中阴影部分的面积代入计算即可．
【规范解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形乙的边长为b，
由题意可得，a+b＝10，（a﹣b）2＝4，
解得：a＝6，b＝4，
∴S阴影部分＝S正方形甲+S正方形乙﹣S△EFH﹣S△ADH
＝a2+b2-12AD•AH-12EF．HE
＝a2+b2-12×a+b2×a-12×a+b2×b
＝36+16﹣15﹣10
＝27．
故答案为：27．
【考点点拨】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
16．（2分）对于整数a，b，我们定义：a▲b＝10a×10b，a△b＝10a÷10b．例如：5▲3＝105×103＝108，5△3＝105÷103＝102，则（2▲1）﹣（6△3）的值为 0 ．
【思路引导】根据题干中新定义进行转化，再计算同底数幂的乘法和除法，然后合并同类项，即可计算求值．
【规范解答】解：（2▲1）﹣（6△3）
＝（102×10）﹣（106÷103）
＝103﹣103
＝0．
故答案为：0．
【考点点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
17．（2分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝ a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ，并说出第7排的第三个数是 15 ．
【思路引导】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
【规范解答】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
第7排的第三个数是15，
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15；
【考点点拨】考查了完全平方公式问题，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
18．（2分）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与A′C边重合，∠BA'C＝45°，∠DAC＝30°．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板A′BC绕着点C按逆时针旋转90°后停止．在此旋转过程中，当A′B与三角板ACD的一条边恰好平行时，∠ACA′＝ 45°或75° ．
【思路引导】分三种情况，根据平行线的性质解答即可．
【规范解答】解：分三种情况：
①当A'B∥AC时，如图：
∴∠ACA'＝∠BA'C＝45°；
②如图，
当A'B∥AD时，作FC∥A'B∥AD，
∴∠FCA＝∠A，FCA'＝∠A'，
∴∠ACA'＝∠FCA+∠FCA'＝45°+30°＝75°；
③当A'B'∥CD时，旋转角∠ACA′＞90°，不合题意，舍去．
综上所述，∠ACA′＝45°或75°．
故答案为：45°或75°．
【考点点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19．（6分）用简便方法计算：
（1）9992+1999；
（2）13142﹣1316×1312．
【思路引导】（1）原式变形后，利用完全平方公式计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
【规范解答】解：（1）9992+1999
＝（1000﹣1）2+2000﹣1
＝10002﹣2000+1+2000﹣1
＝1000000；
（2）13142﹣1316×1312
＝13142﹣（1314+2）×（1314﹣2）
＝13142﹣（13142﹣4）
＝4．
【考点点拨】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式及完全平方公式的应用是解题的关键．
20．（6分）幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an；am﹣n＝am÷an；amn＝（am）n等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）若3m×9m×27m＝312，求m的值．
（2）比较大小：若a＝255，b＝344，c＝533，则a，b，c的大小关系是什么？
【思路引导】（1）利用幂的乘方及同底数幂的乘法的逆运算求解；
（2）将a、b、c化简为相同的指数进行比较大小．
【规范解答】解：（1）∵3m×9m×27m＝312，
∴3m×（32）m×（33）m＝312，
∴3m×32m×33m＝312，
∴m+2m+3m＝12，
∴6m＝12，
解得：m＝2；
（2）∵a＝255＝（25）11＝3211，
b＝344＝（34）11＝8111，
c＝533＝（53）11＝12511，
∵32＜81＜125，
∴3211＜8111＜12511，
∴a＜b＜c．
【考点点拨】本题考查了幂的计算法则及拓展应用，掌握幂的计算法则及逆运算是关键．
21．（8分）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）画出△A′B′C′；
（2）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是 平行且相等 ；
（3）在AB的左侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有 5 个（不包括C点）．
【思路引导】（1）由题意知，△ABC向右平移6个单位长度，向下平移1个单位长度得到△A′B′C′，根据平移的性质作图即可．
（2）根据平移的性质可得答案．
（3）过点C作AB的平行线，则所经过的格点（除点C外）均为满足题意的点Q，即可得出答案．
【规范解答】解：（1）由题意知，△ABC向右平移6个单位长度，向下平移1个单位长度得到△A′B′C′，
如图，△A′B′C′即为所求．
（2）由平移得，AA′与CC′的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
（3）过点C作AB的平行线，所经过的格点（除点C外）分别记为Q1，Q2，Q3，Q4，Q5，
则点Q1，Q2，Q3，Q4，Q5均满足题意，
∴这样的Q点有5个．
故答案为：5．
【考点点拨】本题考查作图﹣平移变换、平行线的性质、平移的性质，熟练掌握平行线的性质、平移的性质是解答本题的关键．
22．（8分）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用a、b的代数式表示出来）
图1表示： （a+b）2＝a2+b2+2ab ；
图2表示： （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，则（x﹣y）2＝ 16 ；xy＝ 12 ；
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积．
【思路引导】（1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为（a+b）正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
（2）根据x+y＝8，x2+y2＝40，求出xy的值，然后根据完全平方公式的变形进行计算即可；
（3）AB＝AC+BC，S1=AC2，S2=BC2，S阴影＝BC⋅CD＝BC⋅AC，可以利用（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC⋅BC代入求值即可．
【规范解答】解：（1）图1中，由图可知S大正方形=(a+b)2，
S组成大正方形的四部分的面积之和=a2+b2+2ab，
由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和，
即（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
图2中，由图可知S大正方形=(a+b)2，S小正方形=(a-b)2，S四个长方形＝4ab，
由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∴xy=12[(x+y)2-(x2+y2)]
∵x+y＝8，x2+y2＝40，
∴xy=12(82-40)=12，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝40﹣2×12＝16．
故答案为：16；12．
（3）由题意得AB＝AC+CB，
∵AB＝7，
∴AC+CB＝7，
∵S1+S2＝16，
∴AC2+CB2＝16，
∵（AC+BC）2＝AC2+CB2+2AC⋅CB，
∴AC⋅CB=12[(AC+CB)2-(AC2+CB2)]
=12(72-16)
=332，
∴S阴影=CD⋅CB=AC⋅CB=332．
即图中阴影部分的面积为332．
【考点点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用．
23．（8分）规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（4，64）＝ 3 ，（﹣2，﹣32）＝ 5 ；
②若(x，116)=-4，则x＝ ±2 ；
（2）若（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，探究a、b、c之间的数量关系并说明理由．
【思路引导】（1）①由题意知，4c＝64，可求c＝3，即（4，64）＝3，同理（﹣2，﹣32）＝5；②由(x，116)=-4，可得x-4=116，即1x4=116，计算求解即可；
（2）由（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，可得3a＝5，3b＝6，3c＝30，由5×6＝30，可得3a•3b＝3a+b＝3c，进而可得a+b＝c．
【规范解答】解：（1）①由题意知，4c＝64，
解得，c＝3，
∴（4，64）＝3，
同理（﹣2，﹣32）＝5，
故答案为：3，5；
②∵(x，116)=-4，
∴x-4=116，即1x4=116，
解得，x＝±2，
故答案为：±2；
（2）a+b＝c，理由如下；
∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∵5×6＝30，
∴3a•3b＝3a+b＝3c，
∴a+b＝c．
【考点点拨】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂．同底数幂的乘法运算．理解题意，熟练掌握有理数的乘方，负整数指数幂．同底数幂的乘法运算是解题的关键．
24．（8分）我们学完完全平方公式后，知道完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：
若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，
解决下列问题：
（1）若x+y＝5，x2+y2＝11，求xy的值；
（2）若（2025﹣x）（2023﹣x）＝3，求（2025﹣x）2+（2023﹣x）2的值．
【思路引导】（1）根据完全平方公式变形即可求解；
（2）根据完全平方公式得出[（2025﹣x）﹣（2023﹣x）]2的值，根据完全平方公式变形得出（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝4+2（2025﹣x）（2023﹣x），将（2025﹣x）（2023﹣x）＝3代入即可求解．
【规范解答】解：（1）若x+y＝5，则（x+y）2＝25，即x2+2xy+y2＝25，
∵x2+y2＝11，
∴xy=25-112=7；
（2）由（2025﹣x）2﹣2（2025﹣x）（2023﹣x）+（2023﹣x）2
＝[（2025﹣x）﹣（2023﹣x）]2
＝4，
即（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝4+2（2025﹣x）（2023﹣x），
若（2025﹣x）（2023﹣x）＝3，
∴（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝4+2×3＝10．
【考点点拨】本题考查了完全平方公式变形求值，正确完全平方公式是解题的关键．
25．（10分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝ 7 ．
（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是 平行且相等 ；
（3）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图上作出线段CP．
【思路引导】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEF，再求出其面积即可；
（2）根据图形平移的性质可直接得出结论；
（3）找出线段AB的中点P，连接PC即可．
【规范解答】解：（1）如图所示，S△DEF＝4×4-12×4×1-12×2×4-12×2×3
＝16﹣2﹣4﹣3
＝7．
故答案为：7；
（2）∵A、C的对应点分别是D、F，
∴连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等；
（3）如图，线段PC即为所求．
【考点点拨】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
26．（10分）已知，如图1，直线AB∥CD，E为直线AB上方一点，连接ED、BE，ED与AB交于P点．
（1）若∠ABE＝110°，∠CDE＝70°，则∠E＝ 40° ；
（2）如图1所示，作∠CDE的平分线交AB于点F，点M为CD上一点，∠BFM的平分线交CD于点H，过点H作HG⊥FH交FM的延长线于点G，GF∥BE，且2∠E＝3∠DFH+20°，求∠EDF+∠G的度数．
（3）如图2，在（2）的条件下，∠FDC＝25°，将△FHG绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟3°，记旋转中的△FHG为△FH′G′，同时∠FDE绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟5°，记旋转中的∠FDE为∠F′DE′，当∠FDE旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当△FH′G′其中一条边与∠F′DE′的其中一条边互相垂直时，直接写出t的值．
【思路引导】（1）根据平行线的性质求得∠EPB＝∠CDE＝70°，根据∠ABE是△BEP的外角求得∠E＝∠ABE﹣∠EPB＝110°﹣70°＝40°；
（2）根据GF∥BE得到∠GFB＝∠FBE，∠HDF＝∠PFD，根据FH平分∠BFM得到∠GFH＝∠HFP，可得∠GFB＝2∠HFB＝2∠HFD+2∠DFP，根据DF平分∠CDE得出∠FDH＝∠FDE＝∠PFD，可得∠EPB＝∠PDH＝2∠PDF＝2∠PFD，根据∠EBF为△EBP的外角可证∠E＝2∠DFH，根据2∠E＝3∠DFH+20°列出方程，然后解方程得到∠DFH＝20°，根据HG⊥FH得到∠G+∠GFH＝90°，从而得到∠G+∠PFD＝90°﹣∠HFD＝90°﹣20°＝70°；
（3）△FH′G′有三条边，∠F′DE′有两条边，所以可以分6种情况进行讨论．
【规范解答】解：（1）∵AB∥CD，∠CDE＝70°，
∴∠EPB＝∠CDE＝70°，
∵∠ABE是△BEP的外角，∠ABE＝110°，
∴∠E＝∠ABE﹣∠EPB＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
（2）∵GF∥BE，
∴∠GFB＝∠FBE，∠HDF＝∠PFD，
∵FH平分∠BFM，
∴∠GFH＝∠HFP，
∴∠GFB＝2∠HFB＝2∠HFD+2∠DFP，
∵DF平分∠CDE，
∴∠FDH＝∠FDE＝∠PFD，
∴∠EPB＝∠PDH＝2∠PDF＝2∠PFD，
∵∠EBF为△EBP的外角，
∴∠EBF＝∠E+∠EPB＝∠E+2∠PFD，
∴2∠HFD+2∠DFP＝∠E+2∠PFD，
∴∠E＝2∠DFH，
∵2∠E＝3∠DFH+20°，
∴4∠DFH＝3∠DFH+20°，
∴∠DFH＝20°，
∵HG⊥FH，
∴∠FHG＝90°，
∴∠G+∠GFH＝90°，
∴∠G+∠PFH＝∠G+∠HFD+∠PFD＝90°，
∴∠G+∠PFD＝90°﹣∠HFD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠EDF+∠G＝70°．
（3）∵∠FDE旋转一周时，整个运动停止，
∴0＜t≤72．
①F'D⊥FH'，此时20°+90°5-3=55s；
②F'D⊥G'H'，此时110°-90°5-3=10s；
③F'D⊥FG′，此时65°+90°5-3=77.5s（舍去）；
④DE'⊥FH'，此时180°-(25°-20°)-90°5-3=42.5s；
⑤DE'⊥G'H'，85°+90°5-3=87.5s（舍）；
⑥DE'⊥FG'，85°-45°+90°5-3=65s．
综上，t的值为55s或10s或42.5s或65s．
【考点点拨】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的有关计算、解一元一次方程、余角性质、垂直的定义、图形旋转的性质，掌握平行线的性质、三角形外角性质列出方程是解题的关键