湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
一、单选题（每小题5分，总分40分）
1. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 已知向量，，且，则与的方向相同或相反
B. 若，则
C. 若，，则
D. 对任一非零向量，是一个单位向量
【答案】D
【解析】
【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断.
【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误；
对B，，且，方向相同才可判断，故B错误；
对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误；
对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确.
故选：D
2. 如图，已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出．
【详解】由，得，而，
所以.
故选：B
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解；
【详解】由于，
则，
则；
故选：B
4. 在中，角的对边分别为，若，则
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理可求得，根据的范围可求得结果.
【详解】由正弦定理可得：
且 或
本题正确结果：
【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.
5. 已知向量，且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用数量积的运算律可得，再利用向量垂直的坐标运算，可得，进而可得，，即可求解.
【详解】因为，得到，化简得，所以，
又，所以，得到，
所以，则，，
所以的面积为，
故选：A.
6. 平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据,先求得，再由，即可求解.
【详解】∵三个力平衡，
∴，
∴.
设与的夹角为，则，
即，
解得
故选：A
7. 已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（ ）.
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】建立坐标系，写出点的坐标，设，，得到，求出最大值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，，
则，
故当时，取得最大值，最大值为.
故选：D.
8. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两角差的正弦及平方关系求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围．
【详解】解：中，，
即，得，
又，，
所以，
化简得，
解得，或（不合题意，舍去），则，
所以，
由，且，，解得，
所以，所以，
所以，
设，其中，
所以，
由对勾函数在上单调递减，
可得：在单调递减；
，，
所以．
故选：A．
二、多选题（每小题6分，总分18分）
9. 下列说法中错误的有（ ）
A. 两个非零向量，若，则与共线且反向
B. 已知不能作为平面内所有向量一个基底
C. 已知向量，向量在向量上的投影向量是
D. 若非零向量满足，则与的夹角是
【答案】CD
【解析】
【分析】根据向量共线的性质即可求解A，根据共线以及基底的定义即可求解B，根据投影向量的计算公式即可求解C，根据模长以及夹角公式即可求解的D.
【详解】对于A, 两个非零向量，若，则与共线且反向,正确，
对于B，由于，故，
则与共线，故不能作为基底，B正确，
对于C, 在向量上的投影向量是，故C错误，
对于D, 非零向量满足：
，
故，
故与的夹角是，D错误，
故选：CD
10. 在△中，内角所对边分别为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦定理将边化角，即可判断A；利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，即可判断C，利用完全平方公式判断D.
【详解】因为，由正弦定理可得，
所以，即，故A正确；
由余弦定理，即，
又，所以，即，故B错误；
因为，由正弦定理可得，
所以，故C正确；
因为，，所以
，故D正确.
故选：ACD
11. 已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，且，则
B. 若，则
C. 若，则动点的轨迹经过的内心
D. 若，则动点的轨迹经过的外心
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据得到，同理得到，故；B选项，取的中点，故，故⊥，取的中点，同理可得⊥，点P是的外心，故；C选项，由正弦定理得到，故，点P在的中线上，C错误；D选项，作出辅助线，结合向量数量积运算法则得到，从而得到，点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心.
【详解】A选项，因为，所以，
所以，同理可得，
故点是的垂心，
故，故A正确；
B选项，取的中点，则，故，故⊥，
取的中点，则，故，故⊥，
故点P是的外心，故，B正确；
C选项，由正弦定理得，故，
故，
取的中点，则，
故点P在的中线上，重心在其上，故C错误；
D选项，
，
设的中点，，
所以，
，
所以，
故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，
点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，
点为所在平面内的点，且，则点为的外心，
点为所在平面内的点，且，则点为的内心，
三、填空题（每小题5分，总分15分）
12. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.
【详解】由向量与的夹角为锐角，得，且不共线，
因此，解得且，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
13. 如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于_____.

【答案】
【解析】
【分析】先利用三角形的面积公式求出的大小，再根据等腰三角形得到的大小，最后在中利用正弦定理即可求解.
【详解】因为中，，且的面积为，
所以，解得，
所以或，
当时，因为，所以，
又，所以，不符合题意；
当时，因为，所以，
又，所以在中，由正弦定理可得，
即.
故答案为：
14. 已知在中，，，则的最大值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦定理表示出，再利用向量数量积的定义将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质得到最值即可.
【详解】在中，由正弦定理得，
所以，所以，
因为，
所以，
，
，因为，所以，
故当时，即时，取得最大值，且最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是利用正弦定理结合数量积定义将目标式用三角函数表示，然后利用三角函数的性质得到所要求的最值即可．
四、解答题（第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分）
15 已知向量与，，．
（1）设与的夹角为，求的值；
（2）若向量与互相平行，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的数乘与加法的坐标公式计算可得，根据向量的夹角的坐标公式即可求解；
（2）根据向量的平行的坐标表示列方程求的值．
【小问1详解】
因为，，
所以，
所以，.
则，，
．
小问2详解】
，
，
由向量与互相平行可得，，
整理可得，，解得，．
16. 在中，角、、所对的边为、、，已知.
（1）求角的值；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值，即可求得该三角形的周长.
【小问1详解】
由余弦定理可得，且，故.
【小问2详解】
由三角形的面积公式可得，可得，
由余弦定理可得，故，
因此，的周长为.
17. 如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕．
（1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
（2）试确定缉毒船的行驶方向．
【答案】（1）缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕
（2）缉毒船的行驶方向为北偏东
【解析】
【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解；
（2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果.
【小问1详解】
设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，
由题意可知：，
由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得，
所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕.
【小问2详解】
由（1）可知：，
由正弦定理可得，
且为锐角，则，可得，
所以缉毒船的行驶方向为北偏东.
18. 已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得，再由正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得到，在根据三角形内角和定理得到，根据三角形为锐角三角形求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：
，
∴，此时，，即，；
【小问2详解】
解：由，
∴，由正弦定理及已知可得，
整理得，即，
由，则，所以，
则，因为，所以，，∴
由
；
由，即，所以，所以，所以，
则，则，
∴，
∴的取值范围为．
19. 如图，设、是平面内相交成两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；
（2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可；
（3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值.
【小问1详解】
由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，.
则，所以.
【小问2详解】
由，，得，，
且，
所以，，
，则，
，
因为与的夹角为，则，解得.
【小问3详解】
依题意设、，
且，，，
因为为的中点，则，
因为为中点，同理可得，
所以，，
由题意可知，，，
则，
在中依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理，
设，则，且，
所以，，，
，
为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．