2024-2025学年湖南省平江县颐华高级中学高二下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省平江县颐华高级中学高二下学期第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=−1,1,2,4,B=x∣0≤x≤2，则A∩B=( )
A. {−1,2}B. {1,4}C. {1,2}D. {−1,4}
2.若z=1+i，则z=( )
A. 0B. 1C. 2D. 2
3.已知向量a=1,2，b=−4,x，a⊥b，则x=( )
A. −8B. −2C. 2D. 8
4.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a5+a6+a7=15，则S11=( )
A. 30B. 55C. 80D. 110
5.已知x∈R，则“x=1”是“x+1(x−1)=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 必要条件D. 既不充分也不必要
6.已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用A1表示事件“从甲罐出的球是红球”，A2表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是( )
A. PB=922B. PB|A1=711
C. PB|A1+PB|A2=711D. PA1A2=14
7.小明、小红等5人报名学校的三类选修课(球类、武术类、田径类)，规定每个人只能报其中的一类选修课，且每类选修课至少一人报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有( )
A. 132种B. 114种C. 96种D. 84种
8.已知点P为椭圆C:x216+y212=1上任意一点，直线l过⊙M:x2+y2−4x+3=0的圆心且与⊙M交于A,B两点，则PA⋅PB的取值范围是( )
A. 3,35B. 2,34C. 2,36D. 4,36
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题是真命题的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//n；B. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β
C. 若m⊥α，n//α，则m⊥nD. 若α//β，β//γ，m⊥α，则m⊥γ
10.已知函数fx=x3−3x2−3−m，则( )
A. fx只有1个极小值点
B. 曲线y=fx在点3,f3处的切线斜率为9
C. 当fx有3个零点时，m的取值范围为−3,1
D. 当fx只有1个零点时，m的取值范围为−∞,3∪1,+∞
11.数学中有许多形状优美、寓意美好的 曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为x2+y23=x2y2，则( )
A. 曲线C有两条对称轴
B. 曲线C上的点到原点的最大距离为12
C. 曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为18
D. 四叶草面积小于π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若an是公比为3的等比数列，且a1+a3=5，则a5= ．
13.曲线y=lnx在点(1,0)处的切线的倾斜角为 ．
14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，Q为圆M:(x−4)2+(y−1)2=4上的动点，P为C上的动点，则|PF|+|PQ|的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记▵ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，c=4 5，sinC=45．
(1)求sinA的值．
(2)若▵ABC是锐角三角形，求▵ABC的面积．
16.(本小题12分)
已知数列an是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=n⋅a2n，求数列bn的前n项和Sn．
17.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AC=4，点O是AC的中点，PO=2 3，且PO⊥面ABC．
(1)证明：AC⊥面POB；
(2)若M为BC的中点，求平面PAB与平面POM的夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−ax−a3．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知A，B分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点，点P2 2,n是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=|AB|=4．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点(4,0)的直线l:x=my+4，交C的左，右两支于D，E两点(异于A，B).
(i)求m的取值范围；
(ii)设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.B
5.A
6.C
7.B
8.A
9.CD
10.BC
11.BCD
12.812
13.π4
14.3
15.解：(1)因为▵ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=5，c=4 5，sinC=45，
由正弦定理的asinA=csinC得sinA=asinCc=5×454 5= 55．
(2)解法一：因为▵ABC为锐角三角形，由sinA= 55得csA= 1−sin2A=2 55，
同理可得csC= 1−sin2C=35，
所以，sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC= 55⋅35+2 55⋅45=11 525，
所以，S△ABC=12acsinB=12×5×4 5×11 525=22．
解法二：因为▵ABC为锐角三角形，由sinC=45可得csC= 1−sin2C=35，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC，即25+b2−10b×35=80，整理可得b2−6b−55=0，
因为b>0，解得b=11，故S▵ABC=12absinC=12×5×11×45=22．

16.解：(1)设等差数列an是公差为d，且d≠0，且a1=1，
∴a3=a1+2d=1+2d，a9=a1+8d=1+8d，
又a1,a3,a9成等比数列，则a32=a1a9，
∴1+2d2=1×1+8d，即d2−d=0，
即d(d−1)=0，解得d=1或d=0(舍)，
∴an=a1+(n−1)d=1+(n−1)=n．
(2)由(1)得an=n，则a2n=2n，又bn=n⋅a2n，则bn=n⋅2n，
又Sn=b1+b2+b3+⋅⋅⋅+bn−1+bn，
所以Sn=1×2+2×22+3×23+⋅⋅⋅+n−12n−1+n⋅2n①，
2Sn=1×22+2×23+3×24+⋅⋅⋅+n−12n+n⋅2n+1②，
②得：−Sn=2+22+23+⋅⋅⋅+2n−n⋅2n+1=21−2n1−2−n⋅2n+1=1−n⋅2n+1−2，
所以Sn=n−1⋅2n+1+2．

17.解：(1)连接BO，因为BO是等腰直角三角形ABC斜边AC的中线，所以，AC⊥OB，
因为PO⊥面ABC，AC⊂面ABC，则PO⊥AC，
因为PO∩OB=O，PO、OB⊂平面POB，所以，AC⊥平面POB．
(2)因为PO⊥面ABC，OB⊥AC，
以O为原点，OB、OC、OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，O−xyz．
则A0,−2,0、B2,0,0、P0,0,2 3、O0,0,0、M1,1,0，
AB=2,2,0，AP=0,2,2 3，OP=0,0,2 3，OM=1,1,0，
设平面PAB的一个法向量为m=x1,y1,z1，
则m⋅AB=2x1+2y1=0m⋅AP=2y1+2 3z1=0，取x1= 3，可得m= 3,− 3,1，
设平面POM的一个法向量为n=x2,y2,z2，
则n⋅OP=2 3z2=0n⋅OM=x2+y2=0，取x2=1，可得n=1,−1,0，
所以，csm,n=m⋅nm⋅n=2 3 7× 2= 427．
因此，平面PAB与平面POM的夹角的余弦值为 427．

18.解：(1)当a=1时，fx=ex−x−1，则f′(x)=ex−1，
则f′(1)=e−1，f(1)=e−2，
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程y−e+2=e−1x−1，
即为y=e−1x−1;
(2)f′(x)=ex−a，
当a⩽0时，f′(x)>0恒成立，f(x)无极值;
当a>0时，当x>lna时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；
当x0，得a>1，
故a的取值范围是(1,+∞)．
19.解：(1)由题意可知A(−a,0)，B(a,0)，因为|AB|=2a=4，所以a=2．
因为P(2 2,n)，k1k2=n2 2+2⋅n2 2−2=n2(2 2)2−4=n24=4，得n2=16，
又因为P(2 2,n)在双曲线上，则(2 2)24−16b2=1，
所以b2=16．
所以双曲线C的方程为x24−y216=1．
(2)(i)由题意知直线l的方程为x=my+4，Dx1,y1，Ex2,y2．
联立x24−y216=1x=my+4,
化简得4m2−1y2+32my+48=0，
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以y1y2>0，
即m满足：{m2−1≠0(32m)2−192(4m2−1)>0y1y2=484m2−1>0,
所以m12 ，
即m的取值范围为(−∞,−12)∪(12,+∞).
(ii)y1+y2=−32m4m2−1，y1y2=484m2−1，则y1y2=−3y1+y22m，
直线AD的方程为y=y1x1+2(x+2)，直线BE的方程为y=y2x2−2(x−2)．
联立直线AD与BE的方程，得y1x1+2(x+2)=y2x2−2(x−2)，
所以y2my2+2−y1my1+6x=2y1my1+6+2y2my2+2，
所以6y2−2y1x=4my1y2+4y1+12y2，
所以x=2my1y2+2y1+6y23y2−y1=−3y1−3y2+2y1+6y23y2−y1=3y2−y13y2−y1=1，
所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线x=1上.