2024-2025学年河南省实验中学高一（下）月考数学试卷（一）（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省实验中学高一（下）月考数学试卷（一）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量OA=(3,2)，OB=(2,4)，OC=(−1,−3)，则AB⋅AC=( )
A. 6B. 4C. −6D. −4
2.已知a=(1, 3)，b=(2,0)，则a在b上的投影向量为( )
A. (1,0)B. ( 3,0)C. (12, 32)D. ( 32,32)
3.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=4，a⋅b=5，则向量a与a−b的夹角的余弦值为( )
A. − 1020B. 1020C. −3 3020D. 3 3020
4.在三角形ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且AB=2AM，AC=4AN，D在边BC上(不包含端点).若AD=xAM+yAN，则1x+2y的最小值是( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA⋅PB的取值范围是( )
A. [−5,3]B. [−3,5]C. [−6,4]D. [−4,6]
6.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若asinA+C2=bsinA,6S= 3AB⋅AC，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形
7.如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，在B处测得C对于山坡的斜度为45°.若CD=50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则csθ等于( )
A. 32B. 22C. 3−1D. 2−1
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2asinA−bsinB=3csinC，若S表示△ABC的面积，则Sb2的最大值为( )
A. 74B. 106C. 2 33D. 52
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若平面向量a=(n,2)，b=(1,m−1)，其中n，m∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若2a+b=(2,6)，则a/​/b
B. 若a=−2b，则与b同向的单位向量为( 22,− 22)
C. 若n=1，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为(12,+∞)
D. 若a⊥b，则z=2n+4m的最小值为4
10.已知P为△ABC所在的平面内一点，则下列命题正确的是( )
A. 若AP=λ(AB+AC)，λ∈[0,+∞)，则动点P的轨迹经过△ABC的内心
B. 若O为平面内任意一点，OP=13(OA+OB+OC)，则点P为△ABC的重心
C. 若P为△ABC的垂心，AB⋅AC=2，则AP⋅AB=2
D. 若P为锐角△ABC的外心，AP=xAB+yAC且x+2y=1，则AB=BC
11.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AB=2BC=2CD=2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点( )
A. AN=35AB+25AD
B. 向量AD与CN共线
C. S△BCN：S△ACN：S△ABN=1：2：2
D. 若AP=λAB+μAD，则λ+μ最大值为32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，已知AB=x,BC=2 2,C=π4，若存在两个这样的三角形ABC，则x的取值范围是______．
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcsC+ccsB=2acsA，若△ABC的中线AD= 3，且b+c=4，则△ABC的面积为______．
14.在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若PA=mPB+32−mPC(m为常数)，则CD的长度是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)．
(Ⅰ)若c=(2,λ)，且c//a，求|c|；
(Ⅱ)若b=(1,1)，且ma−b与2a−b垂直，求实数m的值
16.(本小题15分)
已知△ABC中，∠C是直角，CA=CB，点D是CB的中点，E为AB上一点．
(1)设CA=a，CD=b，当AE=23AB，请用a，b来表示AB，CE．
(2)当AE=3EB时，判断AD是否垂直CE.若成立，给出证明，若不成立，说明理由．
17.(本小题15分)
设向量m=( 3sinx,sinx+csx)，n=(2csx,sinx−csx)，f(x)=m⋅n．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=1，a=2，sinB+sinC= 62，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，csinB+ 3b⋅csC= 3a，b= 3．
(1)求角B；
(2)若a+c=2，求边AC上的角平分线BD长；
(3)若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，(a−2c)csB+bcsA=0．
(1)求角B的大小；
(2)若a=2,b= 19，且BA，CA边上的两条中线CM，BN相交于点G，求∠MGN的余弦值；
(3)若△ABC为锐角三角形，且c>a，记△ABC的外心和垂心分别为O，H，连接OH的直线与线段AB，BC都相交，求证：线段OH的长度为c−a．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.A
5.D
6.B
7.C
8.D
9.BD
10.BCD
11.ACD
12.(2,2 2)
13. 3
14.0/185
15.解：(Ⅰ)∵c//a；
∴4−λ=0；
∴λ=4；
∴c=(2,4)；
∴|c|= 4+16=2 5；
(Ⅱ)ma−b=(m−1,2m−1)，2a−b=(1,3)；
∵ma−b与2a−b垂直；
∴(ma−b)⋅(2a−b)=m−1+3(2m−1)=0；
解得m=47．
16.解：(1)由题意可得，AB=CB−CA=2CD−CA=2b−a，
因为AE=23AB，
所以CE−CA=23(CB−CA)，
故CE=13CA+23CB=13a+43b；
(2)AD与CE不垂直．证明如下：
由AE=3EB，可得CE−CA=3(CB−CE)，
所以CE=14CA+34CB=14a+32b，
AD=b−a，AD⋅CE=(b−a)⋅(14a+32b)=32b2−14a2，
又因为CA=CB，
所以|a|=2|b|，
则AD⋅CE=32b2−14a2=32b2−b2=12b2≠0，
所以AD与CE不垂直．
17.

18.解：(1)因为csinB+ 3bcsC= 3a，
由正弦定理得：sinBsinC+ 3sinBcsC= 3sinA
因为 3sinA= 3sin(B+C)= 3sinBcsC+ 3csBsinC，
所以sinBsinC= 3csBsinC，
又C∈(0,π)，所以sinC≠0，所以tanB= 3，
又B∈(0,π)，所以B=π3．
(2)因为B=π3，b= 3，所以由余弦定理得3=c2+a2−ac=(c+a)2−3ac，
又a+c=2，解得ac=13，
由S△ABC=S△ABD+S△BDC，得12acsinB=12c⋅BD⋅sinB2+12a⋅BD⋅sinB2，
即acsinπ3=BD⋅(c+a)sinπ6，则13× 32=BD×2×12，所以BD= 36．
(3)因为△ABC为锐角三角形，所以0