2023-2024学年河南省实验中学高一（下）月考数学试卷2023-2024学年河南省实验中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年河南省实验中学高一（下）月考数学试卷2023-2024学年河南省实验中学高一（下）月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a=(2,−1)，b=(1,−1)，则(a+2b)⋅(a−3b)等于( )
A. 10B. −10C. 3D. −3
2.设i是虚数单位，则复数i−12+i在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.在△ABC中角A、B、C所对边a、b、c满足a=c−2acsB，c=5，3a=2b，则b=( )
A. 4B. 5C. 6D. 6或152
4.在△ABC中，AD为BC边上的中线，2AE=ED，则BE=( )
A. −56AB+16ACB. −16AB−56ACC. −56AB−16ACD. −16AB+56AC
5.在△ABC中，若asinB= 3bcsA，且sinC=2sinAcsB，那么△ABC一定是( )
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形
6.在复数范围内方程x2+4x+5=0的根为( )
A. −5和1B. −1和5C. 2±iD. −2±i
7.为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻．某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行了40 2海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程(单位：海里)分别为( )
A. 北偏东80°，20( 6+ 2)B. 北偏东65°，20( 3+2)
C. 北偏东65°，20( 6+ 2)D. 北偏东80°，20( 3+2)
8.在△ABC中，点D为AC边上的中点，点E满足EC=3BE，点P是直线BD，AE的交点，过点P作一条直线交线段AC于点M，交线段BC于点N(其中点M，N均不与端点重合)设CM=mCA，CN=nCB，则m+n的最小值为( )
A. 4+ 35B. 4+2 35C. 75D. 165
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，一定能推出a/​/b的是( )
A. a=−3e，b=2e
B. a=−13e，b=23e
C. a=e1−e2，b=e1+e22−e1
D. a=e1−e2，b=e1+e2+e1+e22
10.点O在△ABC所在的平面内，( )
A. 若动点P满足OP=OA+λ(AB|AB|sinB+AC|AC|sinC)(λ>0)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的垂心
B. 若动点P满足OP=OA+λ(AB|AB|csB+AC|AC|csC)(λ>0)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的重心
C. 若2OA+OB+3OC=0，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC=1：6
D. 已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0，则点O为△ABC的内心(内切圆圆心)
11.已知锐角△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C=π3，c=2.则下列结论正确的是( )
A. △ABC的面积最大值为2B. AC⋅AB的取值范围为(0,4)
C. bcsA+acsB=2D. csBcsA的取值范围为(0,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，sinA：sinB：sinC= 3：4： 31，则A+B−C= ______．
13.已知|a|=6，|b|=3，a⋅b=−12，则a在b方向上的投影向量是______．
14.已知复数z满足|z|=1，则|z+3−4i|(i为虚数单位)的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=1，|b|= 3，a+b=( 3,1)，求：
(1)|a−b|；
(2)a+b与a−b的夹角．
16.(本小题15分)
设复数z1=1−ai(a∈R)，z2=3−4i．
(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；
(2)若z1z2是纯虚数，求z1．
17.(本小题15分)
已知a=(−1,0)，b=(2,1)．
(1)若AB=2a−b，BC=a+mb且A、B、C三点共线，求m的值．
(2)当实数k为何值时，ka−b与a+2b垂直？
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 3c+bsinA= 3acsB．
(1)求A；
(2)若点D是BC上的点，AD平分∠BAC，且AD=2，求△ABC面积的最小值．
19.(本小题17分)
设O为坐标原点，定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcsx(x∈R)，向量OM=(a,b)称为函数f(x)=asinx+bcsx的“相伴向量”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
(1)设函数ℎ(x)=2sin(π3−x)−cs(π6+x)，求证：ℎ(x)=S；
(2)记OM=(0,2)的“相伴函数”为f(x)，若函数g(x)=f(x)+2 3|sinx|−1，x∈[0,2π]与直线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
(3)已知点M(a,b)满足a2−4ab+3b2<0，向量OM的“相伴函数”f(x)在x=x0处取得最大值.当点M运动时，求tan2x0的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.A
5.D
6.D
7.C
8.B
9.ABC
10.CD
11.BCD
12.−2π3
13.−43b
14.6
15.解：(1)由已知a+b=( 3,1)，所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a⋅b=4，所以a⋅b=0，
所以|a−b|2=|a|2+|b|2−2a⋅b=4，所以|a−b|=2；
(2)a+b与a−b的夹角的余弦值为(a+b)⋅(a−b)|a+b||a−b|=a2−b22×2=1−34=−12，
所以a+b与a−b的夹角为120°．
16.解：(1)由z1=1−ai，z2=3−4i，得z1+z2=4−(4+a)i，而z1+z2是实数，
于是4+a=0，解得a=−4，
所以z1⋅z2=(1+4i)(3−4i)=19+8i；
(2)依题意，z1z2=1−ai3−4i=(1−ai)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3+4a+(4−3a)i25是纯虚数，
因此3+4a=04−3a≠0，解得a=−34，
所以z1=1+34i．
17.(1)a=(−1,0)，b=(2,1)，AB=2a−b，BC=a+mb，
则AB=(−4,−1)，BC=(2m−1,m)，且A、B、C三点共线，
则可得AB//BC，
即−4m−(2m−1)(−1)=0，解得m=−12；
(2)a=(−1,0)，b=(2,1)，AB=2a−b，BC=a+mb，
则ka−b=(−k−2,−1)，a+2b=(3,2)，
因为ka−b与a+2b垂直，
则可得3(−k−2)+2×(−1)=0，解得k=−83．
18.解：(1)因为 3c+bsinA= 3acsB，
所以由正弦定理得： 3sinC+sinBsinA= 3sinAcsB，
即 3sin(A+B)+sinBsinA= 3sinAcsB，
即 3(sinAcsB+csAsinB)+sinBsinA= 3sinAcsB，
所以 3csAsinB+sinBsinA=0，
因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，
所以 3csA+sinA=0，即tanA=− 3，
又因为A∈(0,π)，所以A=2π3；
(2)因为点D是BC上的点，AD平分∠BAC，且AD=2，
所以∠BAD=∠CAD=12∠BAC=π3，
因为S△ABC=S△ABD+S△ADC，
所以12bcsin2π3=12×2×c×sinπ3+12×2×b×sinπ3，
化简得：bc=2(c+b)，所以bc=2(c+b)≥4 bc，当且仅当b=c时取等号，
解得：bc≥16，当且仅当b=c=4时取等号，
所以S△ABC=12bcsinA= 34bc≥4 3，
所以△ABC面积的最小值为4 3．
19.解：(1)ℎ(x)=2( 32csx−12sinx)−( 32csx−12sinx)= 32csx−12sinx，
∴取OM=(−12, 32)满足条件，∴ℎ(x)∈S
(2)由题知：f(x)=0⋅sinx+2⋅csx=2csx，
g(x)=2csx+2 3|sinx|−1=4sin(x+π6)−1,0≤x≤π4cs(x+π3)−1,π可求得g(x)在(0,π3)单调递增，(π3,π)单调递减，(π,53π)单调递增，(53π,2π)单调递减且g(0)=1,g(π3)=3,g(π)=−3,g(53π)=3,g(2π)=1，
∵g(x)图象与y=k有且仅有四个不同的交点，
∴1⩽k<3．
(3)f(x)=asinx+bcsx= a2+b2sin(x+φ)，
∵x∈R，∴当x+φ=π2+2kπ,k∈Z即x0=π2−φ+2kπ时，f(x)取得最大值，
此时tan2x0=tan(π−2φ)=−tan2φ=−2tanφ1−tan2ϕ，
令tanφ=ba=m，
则由a2−4ab+3b2<0知，3m2−4m+1<0，
解之得13tan2x0=−2m1−m2=2m−1m，
因为y=m−1m在m∈(13,1)上单调递增，
所以tan2x0=−2m1−m2=2m−1m在m∈(13,1)上单调递减，
从而tan2x0∈(−∞,−34)．