河南省实验中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份河南省实验中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了 函数的零点所在的区间是， 已知，则， 已知函数的图象大致为， 下列说法正确的是， 已知，，则等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）
1. 已知，点在函数的图象上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得且，进而有，结合二次函数的性质求最大值.
【详解】由，且点在函数图象上，
所以，且，则，
所以，
当且仅当时取等号，故的最大值为.
故选：C
2. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数零点存在性定理求解即可.
【详解】，
，函数在区间上有零点，
故选：B.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先将所求的式子利用诱导公式化简，再分子分母都除以就转化为求的式子的值，代入的值即可得解.
【详解】.
故选：C.
4. 已知函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，再由函数值的特征，利用排除法判断即可.
【详解】函数的定义域为，
又，
所以为偶函数，则函数图象关于轴对称，故排除D；
当时，则
因为当时，，，所以；
当时，，，所以，故排除A、C.
故选：B
5. “幂函数在上是减函数”是“”的一个（ ）
A. 必要不充分条件B. 充要条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的单调性求解或，再根据必要不充分条件的定义即可得解.
【详解】由幂函数的定义得，解得或，此时，；
所以当幂函数在上是减函数时，或，充分性不成立；
当时，在上是减函数，必要性成立；
所以幂函数在上是减函数”是“”的一个必要不充分条件.
故选：
6. 设，则关于两个方程与的根的叙述正确的是（ ）
A. 有两个相同的根B. 有三个相同的根
C. 有四个相同的根D. 所有根全部相同
【答案】B
【解析】
【分析】由，得或，再由，得或，根据，进而得到结论.
【详解】由，得或，
当时，，，，，，，．
由，得或，
当时，，，，，，
两个方程有三个相同的根，
故选：B．
7. 已知函数，曲线和恰有一个交点，则（ ）
A. 1B. -1C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】将转化为，构造函数，利用偶函数的对称性即可确定方程只有一个根时的值.
【详解】由可得，
整理得，
设，则函数的定义域为，
所以，则在上为偶函数，
若方程只有一个根，根据偶函数的对称性可得.
故选：C.
8. 已知函数，若函数有四个不同零点从小到大依次为，，，且不等式恒成立，则实数k的最小值（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数的图象，可得，且，进而可得恒成立，求出的最大值，进而得到实数k的最小值．
【详解】函数的图象如图所示：

当方程有四个不等实根时，
，即，
，即，
且，
若不等式恒成立，
则恒成立，
由
，当且仅当时等号成立
故，
故实数k最小值为，
故选：C．
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若终边上一点的坐标为，则
B. 若角为锐角，则是第一象限角
C. 若，且，则
D. 若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】由终边上一点即可求其余弦值，即可对A判断；由角为锐角，则可对B判断；若，则，再结合题意求得，从而可对C判断；利用弧长及扇形面积公式即可求解D.
【详解】A：若终边上一点的坐标为，则，故A错误；
B：若角为锐角，则是第一象限角，故B正确；
C：若，则，又因为且，所以，
解得，则，故C正确；
D：圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为，故D错误.
故选：BC.
10. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由得，由得.对于A，利用作差法判断；对于B，由对数运算法则计算判断；对于C，由基本不等式可得，结合对数运算法则计算判断；对于D，解法一：利用基本不等式“1”的妙用，计算判断，解法二：用权方和不等式计算判断.
【详解】由得，由得.
对于A，，所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由，，则，当且仅当时等号成立，
因为，故等号不成立，即，
则，故C正确；
对于D，解法一：易知，，
当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以，
解法二：若用权方和不等式，则有，当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以，故D正确.
故选：BCD
11. 已知函数则下列结论正确的有（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的表达式可改写为
D. 若其中 ，则 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用检验法将，代入，即可验证A错误和B正确，由诱导公式结合余弦函数的周期性得，所以C正确，根据求出对应的的通解，找相邻解的最小差值，即可判断D正确.
【详解】A选项，将代入可得，所以函数的图象关于点对称，故A选项错误；
B选项，由于，故函数的图象关于对称，B选项正确；
C选项，利用诱导公式得，
再结合余弦周期性得，
因此，所以选项C正确；
D选项，由得，，解得或，
即或,则,，D错误.
故答案为：BC.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数（且）的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先由指数型函数过定点的性质求得的坐标，再利用三角函数的定义即可求得，从而得解.
【详解】因为函数（且）的图象经过定点P，
令，则，所以，
于是，，
所以．
故答案为：.
13. 已知是关于的方程的两根，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先通过根与系数的关系得到的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.
【详解】由题意：，所以，
所以，即，解得.
故答案为：.
14. 定义在上的奇函数满足:任意,且,若,则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，根据条件求证其奇偶性和单调性，求解不等式即可.
【详解】因，则，
则在上单调递增，
因为奇函数，则，
则，即为奇函数，
则在上单调递增，
因，则，
则的解集，即的解集为.
故答案为：
四､解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知（，且）.
（1）求定义域并判断的奇偶性；
（2）若在区间内的最大值为2，求.
【答案】（1），偶函数
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数解析式，建立不等式组，求得其定义域，根据奇偶性的定义，可得答案；
（2）由对数运算整理函数解析式，根据二次函数与对数函数单调性，结合复合函数的单调性，利用分类讨论，建立方程，可得答案.
小问1详解】
由函数，则，解得，故函数的定义域为.
由，所以函数为偶函数.
【小问2详解】
由函数，且函数在上单调递减，
则当时，函数在上单调递增，故在上的最大值为，
由题意可得，解得，符合题意；
当时，函数在上单调递减，故在上的最大值为，
由题意可得，解得，不符合题意.
综上所述，.
16. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的值域；
（3）求在上的解集.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由求出，即可得解；
（2）令，则.利用函数在上的单调性，得到，即可得解；
（3）令，则.由解得或，再求出，即可得解；
【小问1详解】
由
解得.
所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
令，则.
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以，即，
所以函数在上的值域为；
【小问3详解】
令，则.
由，即，
解得或，
即或，
解得或.
所以在上的解集为.
17. 两社区和相距2km，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为对社区和社区的噪音影响度之和.记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度为.统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05.
（1）将表示成的函数；
（2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，当该点到社区的距离时，袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小.
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理即可得出，再根据反比例函数定义和已知条件可解得，即可写出关于的函数；（2）利用整体代换和基本不等式确定的最小值，验证等号成立时的取值是否符合题意，即可判断得出结论并确定位置.
【小问1详解】
由为直径可得，所以
由题意可知，
又当口袋公园建在半圆弧中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05，
即时，，代入得，
所以，
即关于的函数为
【小问2详解】
口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小，即的取值最小，
由（1）知
令，则可得
，当且仅当时，等号成立；
且，所以，
即，此时，即，解得.
因此，半圆弧上存在一点，且该点到社区的距离满足时，建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小.
18. 设函数.
（1）已知是偶函数，求整数的值；
（2）若，使得成立，求实数的取值范围；
（3）设函数，若方程在有唯一实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的性质列方程，得到对恒成立，即可求参数值；
（2）问题化为在上，应用换元法、指数函数的区间值域，结合二次函数的性质求右侧的最大值，即可得参数范围；
（3）由，设并结合指数函数的单调性求的范围，问题化为在上有唯一实数解，分析右侧的单调性，进而求出其范围，即可得参数范围.
【小问1详解】
因为函数是偶函数，，
整理得对恒成立，故，故；
【小问2详解】
存在，使得成立，即，
则在上能成立，即，
设，则图象开口向上，且对称轴为，
在单调递减，故，即；
【小问3详解】
由题意得，
设，又函数在上单调递增，则，
若方程在有唯一实数解，即
在上有唯一实数解，
即有唯一实数解，
在上连续且单调递减，在上连续且单调递增，
又时，时，所以的取值范围为.
19. 对于定义域为的函数．，如果存在区间 同时满足: ①在上是单调函数; ②当定义域是时， 的值域也是．则称是该函数的“保值区间”．
（1）求证: 是函数 的一个“保值区间”；
（2）求证：函数 不存在“保值区间”；
（3）已知函数 有“保值区间”，当取得最大值时，求的值．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）先判断函数的单调性再求值域即可得解；
（2）假设存在保值区间，由的单调性知，而方程组无解，故不存在保值区间；
（3）根据函数的单调性和“保值区间”定义得到是方程的两个不等的同号实根，再根据求解即可.
【小问1详解】
函数在[0，2]上单调递增，又,
因此函数在[0，2]上的值域为[0，2],
所以[0，2]是函数的一个“保值区间”.
【小问2详解】
假设存在保值区间，函数中则或，
则函数在上单调递增，
若是的“保值区间”，则，
即是方程的两个不等的同号实根，
方程，而方程无解，
所以函数不存“保值区间”.
【小问3详解】
函数中，则或；
函数在上单调递增，
而是函数的“保值区间”，所以.
则是方程的两个不等的同号实根，
方程，
所以解得或又
所以，
当且仅当时取等号，所以当取得最大值时.