初中数学等腰三角形课时练习

这是一份初中数学等腰三角形课时练习，共8页。
2．如图，在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西36°方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向B港口运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
（1）货船从A港口航行到B港口需要多少时间：
（2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1.2小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
3．如图，某小区有一块四边形空地ABCD，连AC，经过测量可得△ABC是等腰三角形AB=AC=15m，BC=18m，CD=8m，AD=17m．
（1）判断△ACD的形状；
（2）求这块空地的面积．
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝32，CD＝8，AD＝10，
（1）求∠BCD的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
5．已知，如图，AB=AC,BC=AB+CD，BD平分∠ABC交AC于D，求∠A的度数．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，求∠C的度数．
7．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，BC=20cm，D是边AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm.
（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高.
8． 等腰三角形一条腰上的中线将三角形的周长分成15和21两部分，求该三角形的腰长和底边的长.
9．如图，在△ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D，求AD的长．
10．如图，在△ABC中，AB=AC,BD是∠ABC的平分线，且BD=BE,∠A=100°，试求∠DEC的度数．
11．如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，求CD的长．
12． 已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．
（2）如图1，求证：EF＝2AD．
（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】解：∵AD=BD，∠BAD=34°，
∴∠B=∠BAD=34°，
∵∠ADC是△ABC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=34°+34°=68°，
∵AC=AD，
∴∠C=∠ADC=68°，
∴在△ABC中，∠CAB=180°−∠B−∠C=180°−68°−34°=78°．
答：∠CAB的度数为78°.
2．【答案】（1）解：由已知得：∠BCA=36°+54°=90°，
AB=AC2+BC2=100海里，t=1002=5（小时），
答：货船从A港口到B港口需要5小时；
（2）解：这艘船在本次运输中是否符合航行安全标准，理由如下：
如图：过C作CD⊥AB交AB于D，
在AB上取两点M，N，使得CM=CN=50海里，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=80×60100=48（海里），∴DM=CM2−CD2=14（海里），
∵CM=CN且CD⊥AB，∴MN=2DM=28海里，∴t1=MN20=1.4小时，
∵1.4>1.2，∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准．
3．【答案】（1）直角三角形
（2）168m2
4．【答案】（1）135°
（2）33
5．【答案】∠A=108°
6．【答案】72°
7．【答案】（1）解：∵BC=20cm，且CD=16cm，BD=12cm，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，
设AD=xcm，则AC=AB=(x+12)cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即x2+162=(x+12)2，
解得：x=143，
即AD=143cm；
（2）解：AB=AC=143+12=503(cm)，
过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，
∵AB=AC，BC=20cm，
∴BE=CE=10(cm)，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE=AB2−BE2=(503)2−102=403(cm)，
即△ABC中BC边上的高是403cm.
8．【答案】解：如图，设AD=CD=x，则AB=2x，
∴AB+AD=3x，BC+CD=BC+x.
若AB+AD=15，则BC+CD=21，可得x=5，
∴腰长AB=10，底边BC=16；
若AB+AD=21，则BC+CD=15，可得x=7，
∴腰长AB=14，底边BC=8.
∴该三角形的腰长和底边的长分别为10，16或14，8.
9．【答案】12cm
10．【答案】100°
11．【答案】解：∵∠BAC=100°，∠B=40°，
∴∠BCA=40°=∠B．
∴AB=AC=3．
∵∠BCA=∠D＋∠CAD，∠D=20°，
∴∠CAD=20°=∠D．
∴CD=AC=3．
12．【答案】（1）解：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝65°，
∴∠EAB＝50°，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC＝75°，
∴∠CAF＝30°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，
∴50°+2∠BAC+30°＝180°，
∴∠BAC＝50°．
（2）证明：证明：如图，延长AD至点H，使DH=AD，连接BH
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴BH=AC，∠BHD=∠DAC，
∴BH=AF，
∵∠BHD=∠DAC，
∴BH∥AC，
∴∠BAC+∠ABH=180°，
又∵∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠ABH=∠EAF，
又∵AB=AE，BH=AF，
∴△AEF≌△BAH（SAS），
∴EF=AH=2AD，
∴EF＝2AD；
（3）解：结论：∠GAF﹣12∠CAF＝60°．
理由：由（2）得，AD＝12EF，又点G为EF中点，
∴EG＝AD，
由（2）△AEF≌△BAH，
∴∠AEG=∠BAD，
在△EAG和△ABD中，
AE=AB∠AEG=∠BADEG=AD，
∴△EAG≌△ABD，
∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD，
∴△AEB是等边三角形，AG=CD，
∴∠ABE＝60°，
∴∠CBM＝60°，
在△ACD和△FAG中，
AD=FGAG=CDAF=AC，
∴△ACD≌△FAG，
∴∠ACD＝∠FAG，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，
∴60°+2∠BCF＝360°，
∴∠BCF＝150°，
∴∠BCA+∠ACF＝150°，
∴∠GAF+12（180°﹣∠CAF）＝150°，
∴∠GAF﹣12∠CAF＝60°．