北师大版（2024）八年级下册等腰三角形综合训练题

这是一份北师大版（2024）八年级下册等腰三角形综合训练题，共8页。试卷主要包含了 已知，定义等内容，欢迎下载使用。

（1）证明：△BDE是等腰三角形；
（2）若AB＝2，求DE的长度．
2．如图，在边长为2cm的等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D．求：
（1）AD的长．
（2）△ABC的面积．
3．如图所示，点E为正方形ABCD内部的一点，且△ABE为等边三角形，试求∠ADE的度数．
4．如图，在边长为2cm 的等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D.求：
（1）AD 的长.
（2）△ABC的面积.
5．在直线ABC的同侧取点D，E，使得△ABD，△BCE为正三角形，线段AE与CD交于点s．证明∠ASD=60°．
6．如图所示，A、C、B三点共线，△DAC与△EBC都是等边三角形，AE、BD相交于点P，且分别与CD、CE交于点M，N．
（1）求证：△ACE≌△DCB
（2）求∠APD的度数
7．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
（2）你能否也从中取出若干根摆出等边“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．
8．如图，O是等边△ABC内一点，∠OCB=∠ABO，求∠BOC的度数．
9．如图，△ABC和△DEC均为等边三角形．
（1）找出与△DAC全等的三角形（不需要说明理由）；
（2）若∠ADB=82°，求∠DBE的度数．
10．如图1，等边△ABC中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE．
（1）求证：AE∥BC；
（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．
11．△ABD和△AEC都是等边三角形，连CD、BE，若BE=6，求DC的长．
12．如图，ΔABC是边长为x的等边三角形.
（1）求BC边上的高ℎ与x之间的函数关系式．ℎ是x的一次函数吗？如果是一次函数，请指出相应的k与b的值.
（2）当ℎ=3时，求x的值.
（3）求ΔABC的面积S与x之间的函数关系式.S是x的一次函数吗？
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠DCB=60°
∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵∠DCB=∠CED+∠CDE=60°，
∴∠CED=∠CDE=30°，
∵BD为中线
∴∠DBC=30°，
∴∠DBC=∠CED，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵BD为中线，
∴AD=12AC=1，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=AB2−AD2=22−12=3，
∴DE=BD=3．
2．【答案】（1）AD的长是3cm
（2）3cm2
3．【答案】75°
4．【答案】（1）解：在等边△ABC中， AD⊥BC ，
∴BD=12AB=1cm，
∴AD=AB2−BD2=22−12=3cm，
∴AD的长是3cm.
（2）解：S△ABC=12BC×AD=12×2×3=3cm².
∴△ABC的面积为3cm².
5．【答案】证明：由已知得∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD= 120°．
又∵AB=DB，BE=BC，
∴△ABE≌△DBC，
∴∠EAB=∠CDB．
∴∠ASD= 180°-∠SDA-∠DAS
= 180°-(60°+∠CDB) -∠DAS
= 120°-∠EAB-∠DAS
=120°-60°=60°．
6．【答案】（1）证明：∵△DAC与△EBC都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°，
∵∠ACE=180°−∠ECB=120°，∠DCB=180°−∠ACD=120°，
∴∠ACE=∠DCB
在△ACE和△DCB中
AC=CD∠ACE=∠DCBCE=BC
∴△ACE≌△DCB(SAS)
（2）解：∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDP，
在△DMP和△AMC中，
∠MDP+∠DMP+∠APD=∠CAM+∠AMC+∠ACM=180°，
又∵∠CAM=∠CDP,∠DMP=∠AMC，
∴∠APD=∠ACM=60°
7．【答案】（1）解：小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：
小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：
（2）解：不能摆出等边“整数三角形”．
理由如下：设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为34a2．
因为，若边长a为整数，那么面积34a2一定非整数．
所以不存在等边“整数三角形”．
8．【答案】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60° ．
∵∠OCB=∠ABO ，
∴∠OBC+∠OCB=∠OBC+∠ABO=∠ABC=60° ，
∴在 △OBC 中， ∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120°
9．【答案】（1）△EBC≌△DAC
（2）142°
10．【答案】（1）证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，
在△BDC与△ACE中，
BC=AC∠BCD=∠ACEDC=EC ，
∴△DBC≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠CAE，
∴∠B=∠CAE=∠BAC=60°，
∴∠CAE+∠BAC=∠BAE=120°，
∴∠B+∠BAE=180，
∴AE∥BC
（2）成立，证明如下：
∵△DBC≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
在△DMC和△AME中，
∵∠BDC=∠AEC（已证），
∴∠DMC=∠EMA，
∴△DMC∽△EMA，
∴∠EAM=∠DCM=60°，
∴∠EAC=120°，
又∵∠DCA+∠CAE=∠DCE+∠ECA+CEA=180°+∠ECA，
∴AE∥BC
11．【答案】解：∵△ABD和△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ADC和△BAE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEDC=BE ，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE，
∵BE=6，
∴DC=6
12．【答案】（1）ℎ=32x，ℎ是x的一次函数，k=32x，b=0；（2）x=2；（3）S=34x2，S不是x的一次函数.