初中数学北师大版（2024）八年级下册等腰三角形课时练习

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册等腰三角形课时练习，共8页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。

（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高．
2．在等腰△ABC中，三边长分别是a，b，c，并且满足a2−10a+25+(b−3)2=0，求△ABC的周长．
3．已知：如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC， BC、DE交于点O.
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）请判断OB与OE的大小关系并证明 .
4．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是边BC上的一点，连接AD．
（1）若△ABC的周长是32，CD=6，点D是BC的中点，求AD的长；
（2）若BD=9，AD=12，AB=15，求△ABC的面积．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且∠1=∠2，BE=CF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=36°时，求∠DEF的度数．
6．如图，△ABC中，∠C=90°,AB=10cm,BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动． 当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
（3）直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
7．如图，四边形ABCD中，AB=BC=4，CD=6，DA=2，且∠B=90°，求：
（1）AC的长；
（2）∠DAB的度数．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，将△ABC沿AM折叠，使点B落在AC边上点D的位置．
（1）若AM=MC，求∠C的度数．
（2）若AB=12,BC=16．则△AMC的面积为__________．
9．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BCA=90°，点D在CA上，点E在BC的延长线上，且BD=AE．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）若∠BAE=67°，求∠DBA的度数．
10．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长．
11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，将△ABC沿AM折叠，使点B落在AC边上点D的位置．
（1）若AM=MC，求∠C的度数；
（2）若AB=12，BC=16；
①求BM的长；
②△AMC的面积为______．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）若P为BC上的中点，求证：AB2−AP2=PB⋅PC；
（2）若P为线段BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】（1）143cm
（2）403cm
2．【答案】解：∵a2−10a+25+(b−3)2=0，
∴(a−5)2+|b−3|=0，
又∵(a−5)2≥0，|b−3|≥0，
∴a−5=0，b−3=0，
∴a=5，b=3，
又∵a，b，c分别是等腰△ABC的边，
①当a=c=5时，5+3>5，符合三角形的三边关系，
∴△ABC的周长是：a+b+c=5+2+5=12，
②当b=c=3时，3+3>5，符合三角形的三边关系，
∴△ABC的周长是：a+b+c=3+2+3=8，
综上分析可知，△ABC的周长是12或8．
3．【答案】（1）证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，即∠BAC=∠EAD，
在△BAC和△EAD中，
AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD，
∴△ABC≌△AED(SAS)；
（2）解：OB=OE，
证明如下：∵△ABC≌△AED，
∴∠ABC=∠AED，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠OBE=∠OEB，
∴OB=OE．
4．【答案】（1）解：因为点D是BC的中点，CD=6，
所以BC=12．
因为△ABC的周长是32，AB=AC，
所以AB=AC=12(32−BC)=10．
因为△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是BC的中点，
所以AD⊥BC．
在Rt△ACD中，AC=10，CD=6，
所以AD=AC2−CD2=8．
（2）解：因为BD=9，AD=12，AB=15，
所以92+122=152，即BD2+AD2=AB2，
所以∠ADB=90°．
又因为AB=AC，
所以BD=CD=9，
所以BC=18
所以S△ABC=12×12×18=108．
5．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠1=∠2，BE=CF，
∴△DBE≌△ECF(ASA)，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵∠A=36°
∴∠B=180°−36°2=72°，
∴∠BDE+∠1=108°，
∵△DBE≌△ECF，
∴∠BDE=∠FEC，
∴∠FEC+∠1=108°，
∴∠DEF=180°−(∠FEC+∠1)=72°．
6.【答案】（1）△ABP的周长为16+210cm
（2）当t=4或t=12，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分
（3）当t=6或t=10.8或t=13或t=12时，△BCP为等腰三角形，
7．【答案】（1）解：连结AC，
∵在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，
∴AC=AB2+BC2=42；
（2）解：∵CD=6，DA=2，AC=42，
∴CD2=36，DA2+AC2=22+422=4+32=36，
∴CD2=DA2+AC2，
∴∠CAD=90°，
∵AB=BC，∠B=90°，
∴∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠CAD+∠BAC=90°+45°=135°．
8．【答案】（1）∠C=30°
（2）60
9．【答案】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BCA=90°，
∴AC=BC，
在Rt△ACE和Rt△BCD中，
AC=BC，AE=BD，
∴Rt△ACE≌Rt△BCD(HL)．
（2）解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BCA=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠BAE=67°，
∴∠EAC=∠BAE−∠CAB=67°−45°=22°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠DBC=22°，
∴∠DBA=∠CBA−∠DBC=45°−22°=23°，
因此∠DBA的度数为23°．
10．【答案】解：设AD=xcm ，
∵BD2+CD2=122+162=400 BC2=202=400
∴BD2+CD2=BC2
∴△BDC是直角三角形
∴∠BDC=90°， ∠ADC=90°
在 Rt△ACD中，设 AD=x，
∵AD2+CD2 =AC2
∴x2+162=(x+12)2
解得x= 143
∴AB=12+ 143 = 503
∴△ABC的周长=AB+AC+BC= 503 + 503 +20= 5313
11．【答案】（1）∠C的度数为30°
（2）①BM的长为6；②60
12．【答案】（1）证明：连接AP，
∵AB＝AC，P是BC中点，
∴AP⊥BC，BP＝CP，
在Rt△ABP中，AB2−AP2=BP2=PB⋅PC；
（2）解：成立． 理由如下：如图，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
同理，AP2=AD2+DP2，
∴AB2−AP2=AD2+BD2−(AD2+DP2)=BD2−DP2，
又∵BP＝BD＋DP，CP＝CD－DP＝BD－DP，
∴BP•CP＝（BD＋DP）（BD－DP）＝BD2−DP2，
∴AB2−AP2=PB⋅PC；
（3）解：AP2−AB2=PB⋅PC．理由如下： 如图，P是BC延长线任一点，连接AP，并作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2，
∴AP2−AB2=(AD2+DP2)−(AD2+DB2)=PD2−BD2 ，
又∵BP＝BD＋DP，CP＝DP－CD＝DP－BD，
∴BP•CP＝（BD＋DP）（DP－BD）＝DP2−BD2，
∴AP2−AB2=BP⋅CP．