2025届贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2025届贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试题（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 现有一组数据12，13，12，15，18，19，20，则这组数据的第40百分位数为（ ）
A. 12B. 13C. 15D. 18
2. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 0D.
4. 若是最小正周期为偶函数，则的解析式可以为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 在规定时间内，甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，且这三人是否能按时完成任务相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为，则（ ）
A 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8
7. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设直线：，：．若存在定圆Q，使得这两条直线与圆Q都相切，则圆Q上一点到点距离的最大值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 已知集合，，，则（ ）
A.
B. 中元素的个数为8
C. 是A的一个真子集
D. 从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种
10. 已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（ ）
A. 存在无数个点P，使得为定值
B. 存在无数个点P，使得为定值
C. 仅存在2个点P，使得
D. 仅存在4个点P，使得
11. 若存在点P，使得过点P可作曲线的两条切线，切点为A和B，且是锐角，则可能为（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则的最大值为______，此时______．
13. 若函数满足，则______．
14. 在三棱锥中，O为的外心，底面ABC，，，且，则三棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知抛物线C：经过双曲线D：的焦点，且D的离心率为．
（1）求D的方程；
（2）C与D的4个交点围成一个梯形，求该梯形的高．
16. 如图，平面，，点，位于平面的两侧，，，，四点共面，且，，．
（1）证明：平面．
（2）过点作平面ABC的垂线，指出垂足的位置，并说明理由．
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 已知数列满足，且．设．
（1）求；
（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）求数列的前n项和．
18. 若函数的导函数满足对恒成立，则称为T函数．
（1）试问是否为T函数？说明你的理由．
（2）若为T函数，求a的取值范围．
19. 现有位编号为1到2n的玩家，房间里有2n个盒子（盒子的编号为1到2n），将2n张编号为1到2n的纸条随机放入这2n个盒子内（每个盒子内只放1张纸条）．玩家依次进入房间，且每人可以打开其中的任意n个盒子，只有当每个玩家都找到与自己编号相同的纸条时，才算挑战成功．每个玩家开完盒子后都将盒子盖上（纸条放回原处），恢复盒子的原状．设各玩家开盒相互独立，在挑战开始后，各玩家不准交流．
为了提升挑战成功的概率，有人设计了一个新方案：让每一位玩家进入房间后，先打开编号为自己编号的盒子（例如编号为2的玩家打开编号为2的盒子），若盒子里的纸条编号恰为玩家自己的编号，则该玩家退出房间，让下一位玩家进入房间；若盒子里的纸条编号（设该编号为X）不是该玩家自己的编号，则该玩家接着去打开编号为X的盒子，依此类推，直到打开的盒子里的纸条编号与自己的编号相同，且前提是打开盒子的个数不能超过n．
（1）当时，设第个盒子内放纸条编号为，试问采用新方案后，挑战是否能成功？说明你的理由．
（2）当时，在第1个和第6个盒子内放的纸条编号分别为6和1的前提下，求采用新方案挑战成功的概率．
（3）当时，求采用新方案挑战成功的概率．
参考数据：，．
黔东南州2025届高三模拟统测
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 现有一组数据12，13，12，15，18，19，20，则这组数据的第40百分位数为（ ）
A. 12B. 13C. 15D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数的定义求解即可.
【详解】将这组数据按从小到大排列为：12，12，13，15，18，19，20，
因为，所以这组数据的第40百分位数为13.
故选：B
2. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由模长公式及复数的除法运算即可求解；
【详解】，
所以虚部为，
故选：B
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量数量积及模长的坐标表示即可求解.
【详解】由条件可得，
两边平方得，
解得，
故选：A
4. 若是最小正周期为偶函数，则的解析式可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的周期性公式及偶函数的概念即可求解.
【详解】对于A，为常函数，故最小正周期为错误；
对于B，，奇函数，故错误；
对于C，由周期公式可知：的最小正周期为：，
所以，故周期为，故错误；
对于D，，偶函数，由周期公式可得最小正周期为，故正确；
故选：D
5. 已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合正四棱台性质求出第一个正四棱台的高，进而得到第二个正四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算求解即可.
【详解】由题意知第一个正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，
如图：设第一个四棱台上下底面中心为，连接，
结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形，
且，故，
即棱台的高为，则第二个正四棱台的高为，
故第二个正四棱台的体积为.
故选：C.
6. 在规定时间内，甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，且这三人是否能按时完成任务相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为，则（ ）
A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8
【答案】B
【解析】
【分析】由独立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式，求得取每一个值得概率，进而可求解；
【详解】由题意可知的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
所以
所以，
故选：B
7. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数运算易得，，，根据对数函数的单调性可得，进而结合换底公式得到，进而判断即可.
【详解】，
，，
因，
所以，则.
故选：A.
8. 设直线：，：．若存在定圆Q，使得这两条直线与圆Q都相切，则圆Q上一点到点的距离的最大值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简直线和的方程，表示出点到直线的距离以及点到直线的距离，结合点为定点，且，即可得到定圆Q的圆心为，半径为1，进而求解即可.
【详解】由：，
得，
由：，
得，
设，则点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
要使点为定点，且，则，
即，此时定圆Q的圆心为，半径为1，
所以圆Q上一点到点的距离的最大值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知集合，，，则（ ）
A.
B. 中元素的个数为8
C. 是A的一个真子集
D. 从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种
【答案】ABD
【解析】
【分析】由集合的运算可判断ABC，由组合数可判断D.
【详解】，
由条件可得，正确；
，有8个元素，正确；
，，显然C错误；
由条件可知中有个整数，其中有6个奇数，
所以取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有，正确；
故选：ABD
10. 已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（ ）
A. 存在无数个点P，使得为定值
B. 存在无数个点P，使得为定值
C. 仅存在2个点P，使得
D. 仅存在4个点P，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】曲线代表的是椭圆和椭圆，进而逐项判断即可.
【详解】由曲线C：，
可知曲线为：椭圆和椭圆，
易知，为的焦点，，，为的焦点，
存在无数个点P，使得为定值，存在无数个点P，使得为定值，故AB正确；
由图象可知：两椭圆共有4个交点，
所以仅存在4个点P，使得，故C错，D对，
故选：ABD
11. 若存在点P，使得过点P可作曲线的两条切线，切点为A和B，且是锐角，则可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用导数几何意义求出切线方程，得到两切线交点坐标满足的关系，结合图象与数量积的符号逐一判断可知.
【详解】若过点可作曲线的两条切线，
设切点，不妨设，
则函数在处的切线方程为，
在处的切线方程为，则两切线交点为，
所以有，且，
即，，
由，，
则可得
.
A项，，则，
所以，
由函数有两条渐近线，轴与直线，
两渐近线夹角为，如图1可知，，又不共线，
则可能为锐角.
例如：当时，
此时，不共线，
则为锐角，故A正确；
B项，，则，
所以，
如图可知，，则，
故，又不共线，所以恒为钝角，故B错误；
C项，，则，
所以，其中，
若，且，则，
如图所示，不共线，可以取到锐角，故C正确；
D项，，则，
故，，
故曲线在处的切线为，在处的切线为，
此时两切线夹角为.
，
结合图可知，，则，
故，所以，故D错误；
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则的最大值为______，此时______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】由，则，
当且仅当时等号成立，
即的最大值为，此时.
故答案为：；.
13. 若函数满足，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】分别令，，得到，，进而解方程组即可.
【详解】由，
令，得，
令，得，
两式联立，解得.
故答案为：2.
14. 在三棱锥中，O为的外心，底面ABC，，，且，则三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求底面的外接圆半径，确定三棱锥外接球球心的位置，列方程求出三棱锥外接球半径，进而可求其表面积.
详解】如图：
设的外接圆半径为，三棱锥外接球的半径为.
在中，，所以.
记三棱锥外接球的球心为，
由.
故三棱锥外接球的表面积为：.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知抛物线C：经过双曲线D：的焦点，且D的离心率为．
（1）求D的方程；
（2）C与D的4个交点围成一个梯形，求该梯形的高．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出抛物线C与轴焦点坐标，可得，再结合双曲线的离心率求出，进而写出双曲线方程；
（2）联立抛物线C与双曲线D的方程，解出C与D的4个交点坐标，进而求解即可.
【小问1详解】
抛物线C：与轴焦点坐标为，
则双曲线D：的焦点坐标为，
则，又，则，
所以求双曲线D的方程为.
小问2详解】
联立，解得或或或，
则C与D的4个交点为，，，，
则该梯形的高为.
16. 如图，平面，，点，位于平面的两侧，，，，四点共面，且，，．
（1）证明：平面．
（2）过点作平面ABC的垂线，指出垂足的位置，并说明理由．
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）垂足为的中点，理由见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据平面，再结合，可证平面.
（2）根据线面垂直判定点的位置.
（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦.
【小问1详解】
因为平面，平面，所以，
又，且，平面，
所以平面.
【小问2详解】
垂足为的中点.理由如下：
取中点，连接，因为，所以
又与（1）同理可证平面，
因为四点共面，所以平面，所以，
又,平面，所以平面
所以为的中点.
【小问3详解】
因为，，所以
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，可得.
设平面的法向量为，
则，
令，可得.
由，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知数列满足，且．设．
（1）求；
（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）求数列的前n项和．
【答案】（1）4 （2）证明见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题设代值计算即可；
（2）根据递推关系易得，进而得到，进而结合等比数列的定义求解即可；
（3）由（2）可得，进而结合分组求和及错位相减法求和即可.
【小问1详解】
由，，
取，则有，解得.
【小问2详解】
由，，
则
，
所以，则得，
又，
故数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
则有，则.
【小问3详解】
由（2）知，，
则，
所以，
设，
则，
则，
则，
所以.
18. 若函数的导函数满足对恒成立，则称为T函数．
（1）试问是否为T函数？说明你的理由．
（2）若为T函数，求a的取值范围．
【答案】（1）为T函数，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据T函数的定义结合导数判断即可；
（2）根据T函数的定义可得对恒成立，设，，进而结合导数分析单调性求解即可.
【小问1详解】
为T函数，理由如下：
由，则，
则，
因为函数在上为增函数，
所以函数在上为增函数，
所以，
所以对恒成立，故为T函数.
【小问2详解】
由，则，
因为为T函数，
所以对恒成立，
即对恒成立，
设，，
则，
当，即时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意；
当，即时，，此时函数在上单调递增，
则，即.
综上所述，a的取值范围为．
19. 现有位编号为1到2n的玩家，房间里有2n个盒子（盒子的编号为1到2n），将2n张编号为1到2n的纸条随机放入这2n个盒子内（每个盒子内只放1张纸条）．玩家依次进入房间，且每人可以打开其中的任意n个盒子，只有当每个玩家都找到与自己编号相同的纸条时，才算挑战成功．每个玩家开完盒子后都将盒子盖上（纸条放回原处），恢复盒子的原状．设各玩家开盒相互独立，在挑战开始后，各玩家不准交流．
为了提升挑战成功的概率，有人设计了一个新方案：让每一位玩家进入房间后，先打开编号为自己编号的盒子（例如编号为2的玩家打开编号为2的盒子），若盒子里的纸条编号恰为玩家自己的编号，则该玩家退出房间，让下一位玩家进入房间；若盒子里的纸条编号（设该编号为X）不是该玩家自己的编号，则该玩家接着去打开编号为X的盒子，依此类推，直到打开的盒子里的纸条编号与自己的编号相同，且前提是打开盒子的个数不能超过n．
（1）当时，设第个盒子内放的纸条编号为，试问采用新方案后，挑战是否能成功？说明你的理由．
（2）当时，在第1个和第6个盒子内放的纸条编号分别为6和1的前提下，求采用新方案挑战成功的概率．
（3）当时，求采用新方案挑战成功的概率．
参考数据：，．
【答案】（1）能成功，理由见解析.
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）逐个分析每个玩家的情况，可得问题答案.
（2）利用古典概型可求相应事件的概率.
（3）列出挑战成功的概率的公式，计算即可.
【小问1详解】
编号为1的玩家先打开编号为1的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为6的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家1可以挑战成功；
编号为2的玩家先打开编号为2的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为5的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家2可以挑战成功；
编号为3的玩家先打开编号为3的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为4的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家3可以挑战成功；
…
编号为6的玩家先打开编号为6的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为1的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家6可以挑战成功.
所以使用新方案后，每个玩家都可以在第二次找到与自己编号相同的纸条，从而挑战成功，所以采用新方案后，挑战能成功.
【小问2详解】
在第1个，第6个盒子内放的纸条编号分别为6和1的前提下，即编号为1和6的两个玩家能挑战成功的情况下，考虑其余四人的情况如下：
设第2个，第3个，第4个，第5个盒子内放的纸条编号分别为，则的所有情况共有种.
其中采用新方案挑战失败的有，，，，，，共6种.
所以挑战成功的概率为：.
【小问3详解】
采用新方案后，设编号为的玩家恰好打开了个盒子才找到与自己编号相同的纸条，则称数字的循环周期为.
在这100个盒子内有100张编号互不相同的纸条，100个盒子的纸条的每一种投放顺序相当于数字1到100进行一次排列，
循环周期为的排列共有种循环方法（即从这100个数中选个数进入循环），在周期内，循环的这些数字有种排法，其余数字有种排法，因此循环周期为的排列数为：.
记“当时，采用新方案挑战成功”为事件，
则