贵州省黔东南苗族侗族自治州2025届高三模拟统测数学试卷（解析版）

这是一份贵州省黔东南苗族侗族自治州2025届高三模拟统测数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 现有一组数据12，13，12，15，18，19，20，则这组数据的第40百分位数为（ ）
A. 12B. 13C. 15D. 18
【答案】B
【解析】将这组数据按从小到大排列为：12，12，13，15，18，19，20，
因为，所以这组数据的第40百分位数为13.
故选：B
2. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
所以虚部为，
故选：B
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】由条件可得，
两边平方得，
解得，
故选：A
4. 若是最小正周期为的偶函数，则的解析式可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A，为常函数，故最小正周期为错误；
对于B，，奇函数，故错误；
对于C，由周期公式可知：的最小正周期为：，
所以，故周期为，故错误；
对于D，，偶函数，由周期公式可得最小正周期为，故正确；
故选：D
5. 已知第一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知第一个正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为4cm，
如图：设第一个四棱台上下底面中心为，连接，
结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形，
且，故，
即棱台的高为，则第二个正四棱台的高为，
故第二个正四棱台的体积为.
故选：C
6. 在规定时间内，甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，且这三人是否能按时完成任务相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为，则（ ）
A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8
【答案】B
【解析】由题意可知的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
所以
所以，
故选：B
7. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
，，
因为，
所以，则.
故选：A.
8. 设直线：，：．若存在定圆Q，使得这两条直线与圆Q都相切，则圆Q上一点到点的距离的最大值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】由：，
得，
由：，
得，
设，则点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
要使点为定点，且，则，
即，此时定圆Q的圆心为，半径为1，
所以圆Q上一点到点的距离的最大值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知集合，，，则（ ）
A
B. 中元素的个数为8
C. 是A的一个真子集
D. 从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种
【答案】ABD
【解析】，
由条件可得，正确；
，有8个元素，正确；
，，显然C错误；
由条件可知中有个整数，其中有6个奇数，
所以取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有，正确；
故选：ABD
10. 已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（ ）
A. 存在无数个点P，使得为定值
B. 存在无数个点P，使得为定值
C. 仅存在2个点P，使得
D. 仅存在4个点P，使得
【答案】ABD
【解析】由曲线C：，
可知曲线为：椭圆和椭圆，
易知，为的焦点，，，为的焦点，
存在无数个点P，使得为定值，存在无数个点P，使得为定值，故AB正确；
由图象可知：两椭圆共有4个交点，
所以仅存在4个点P，使得，故C错，D对，
故选：ABD
11. 若存在点P，使得过点P可作曲线的两条切线，切点为A和B，且是锐角，则可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】若过点可作曲线的两条切线，
设切点，不妨设，
则函数在处的切线方程为，
在处的切线方程为，则两切线交点为，
所以有，且，
即，，
由，，
则可得
.
A项，，则，
所以，
由函数有两条渐近线，轴与直线，
两渐近线夹角为，如图1可知，，又不共线，
则可能为锐角.
例如：当时，
此时，不共线，
则为锐角，故A正确；
B项，，则，
所以，
如图可知，，则，
故，又不共线，所以恒为钝角，故B错误；
C项，，则，
所以，其中，
若，且，则，
如图所示，不共线，可以取到锐角，故C正确；
D项，，则，
故，，
故曲线在处的切线为，在处的切线为，
此时两切线夹角为.
，
结合图可知，，则，
故，所以，故D错误；
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则的最大值为______，此时______．
【答案】①. ②.
【解析】由，则，
当且仅当时等号成立，
即的最大值为，此时.
故答案为：；.
13. 若函数满足，则______．
【答案】2
【解析】由，
令，得，
令，得，
两式联立，解得.
故答案为：2.
14. 在三棱锥中，O为的外心，底面ABC，，，且，则三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】如图：
设的外接圆半径为，三棱锥外接球的半径为.
在中，，所以.
记三棱锥外接球的球心为，
由.
故三棱锥外接球的表面积为：.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知抛物线C：经过双曲线D：的焦点，且D的离心率为．
（1）求D的方程；
（2）C与D的4个交点围成一个梯形，求该梯形的高．
解：（1）抛物线C：与轴焦点坐标为，
则双曲线D：的焦点坐标为，
则，又，则，
所以求双曲线D的方程为.
（2）联立，解得或或或，
则C与D的4个交点为，，，，
则该梯形的高为.
16. 如图，平面，，点，位于平面的两侧，，，，四点共面，且，，．
（1）证明：平面．
（2）过点作平面ABC的垂线，指出垂足的位置，并说明理由．
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：因为平面，平面，所以，
又，且，平面，
所以平面.
（2）解：垂足为的中点.理由如下：
取中点，连接，因为，所以
又与（1）同理可证平面，
因为四点共面，所以平面，所以，
又,平面，所以平面
所以为的中点.
（3）解：因为，，所以
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，可得.
设平面的法向量为，
则，
令，可得.
由，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知数列满足，且．设．
（1）求；
（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）求数列的前n项和．
（1）解：由，，
取，则有，解得.
（2）证明：由，，
则
，
所以，则得，
又，
故数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
则有，则.
（3）解：由（2）知，，
则，
所以，
设，
则，
则，
则，
所以.
18. 若函数的导函数满足对恒成立，则称为T函数．
（1）试问是否为T函数？说明你的理由．
（2）若为T函数，求a的取值范围．
解：（1）为T函数，理由如下：
由，则，
则，
因为函数在上为增函数，
所以函数在上为增函数，
所以，
所以对恒成立，故为T函数.
（2）由，则，
因为为T函数，
所以对恒成立，
即对恒成立，
设，，
则，
当，即时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意；
当，即时，，此时函数在上单调递增，
则，即.
综上所述，a取值范围为．
19. 现有位编号为1到2n的玩家，房间里有2n个盒子（盒子的编号为1到2n），将2n张编号为1到2n的纸条随机放入这2n个盒子内（每个盒子内只放1张纸条）．玩家依次进入房间，且每人可以打开其中的任意n个盒子，只有当每个玩家都找到与自己编号相同的纸条时，才算挑战成功．每个玩家开完盒子后都将盒子盖上（纸条放回原处），恢复盒子的原状．设各玩家开盒相互独立，在挑战开始后，各玩家不准交流．
为了提升挑战成功的概率，有人设计了一个新方案：让每一位玩家进入房间后，先打开编号为自己编号的盒子（例如编号为2的玩家打开编号为2的盒子），若盒子里的纸条编号恰为玩家自己的编号，则该玩家退出房间，让下一位玩家进入房间；若盒子里的纸条编号（设该编号为X）不是该玩家自己的编号，则该玩家接着去打开编号为X的盒子，依此类推，直到打开的盒子里的纸条编号与自己的编号相同，且前提是打开盒子的个数不能超过n．
（1）当时，设第个盒子内放的纸条编号为，试问采用新方案后，挑战是否能成功？说明你的理由．
（2）当时，在第1个和第6个盒子内放的纸条编号分别为6和1的前提下，求采用新方案挑战成功的概率．
（3）当时，求采用新方案挑战成功的概率．
参考数据：，．
解：（1）编号为1的玩家先打开编号为1的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为6的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家1可以挑战成功；
编号为2玩家先打开编号为2的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为5的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家2可以挑战成功；
编号为3的玩家先打开编号为3的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为4的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家3可以挑战成功；
…
编号为6的玩家先打开编号为6的盒子，该盒子内纸条编号为，该玩家接着去打开编号为1的盒子，该盒子内纸条的编号为，因为，所以玩家6可以挑战成功.
所以使用新方案后，每个玩家都可以在第二次找到与自己编号相同的纸条，从而挑战成功，所以采用新方案后，挑战能成功.
（2）在第1个，第6个盒子内放的纸条编号分别为6和1的前提下，即编号为1和6的两个玩家能挑战成功的情况下，考虑其余四人的情况如下：
设第2个，第3个，第4个，第5个盒子内放的纸条编号分别为，则的所有情况共有种.
其中采用新方案挑战失败的有，，，，，，共6种.
所以挑战成功的概率为：.
（3）采用新方案后，设编号为的玩家恰好打开了个盒子才找到与自己编号相同的纸条，则称数字的循环周期为.
在这100个盒子内有100张编号互不相同的纸条，100个盒子的纸条的每一种投放顺序相当于数字1到100进行一次排列，
循环周期为的排列共有种循环方法（即从这100个数中选个数进入循环），在周期内，循环的这些数字有种排法，其余数字有种排法，因此循环周期为的排列数为：.
记“当时，采用新方案挑战成功”为事件，
则