2025年贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试卷（含答案）

这是一份2025年贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.现有一组数据12，13，12，15，18，19，20，则这组数据的第40百分位数为( )
A. 12B. 13C. 15D. 18
2.复数1|1+i|i的虚部为( )
A. − 2B. − 22C. 2D. 22
3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若a⋅b=|b|，则x=( )
A. −34B. −32C. 0D. 34
4.若f(x)是最小正周期为6π的偶函数，则f(x)的解析式可以为( )
A. f(x)=tanπ6B. f(x)=sinx3C. f(x)=|tanx3|D. f(x)=csx3
5.已知第一个正四棱台的上底面边长为2 2cm，下底面边长为4 2cm，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为( )
A. 56 3cm3B. 56 14cm3C. 112 3cm3D. 60 14cm3
6.在规定时间内，甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，且这三人是否能按时完成任务相互独立.记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为X，则E(X)=( )
A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8
7.若a=−lg0.220，b=lg624，c=lg312，则( )
A. c>a>bB. b>a>cC. a>b>cD. c>b>a
8.设直线l1：xsinθ+ycsθ=sin(θ−π6)+1，l2：xcsθ−ysinθ=cs(θ−π6)+1.若存在定圆Q，使得这两条直线与圆Q都相切，则圆Q上一点到点A(0,1)的距离的最大值为( )
A. 2B. 3+1C. 3D. 2+ 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合A={x∈N|(x−2)(x−12)0)B. f(x)=ex
C. f(x)=sinx(0≤x≤2π)D. f(x)=sinx(0≤x≤π)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若x4+9y4=10，则x2y2的最大值为______，此时x2= ______．
13.若函数f(x)满足2f(x)+f(1−x)=x3+6x2−5x+2，则f(1)= ______．
14.在三棱锥P−ABC中，O为△ABC的外心，PO⊥底面ABC，PO=3，∠ACB=5π6，且AB=2，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知抛物线C：y=23(x2−9)经过双曲线D：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点，且D的离心率为3 77．
(1)求D的方程；
(2)C与D的4个交点围成一个梯形，求该梯形的高．
16.(本小题12分)
如图，CD⊥平面ABC，AC⊥BC，点D，E位于平面ABC的两侧，B，C，D，E四点共面，且BC=CD=2，AC=3，BE=CE= 10．
(1)证明：BC⊥平面ACD．
(2)过点E作平面ABC的垂线，指出垂足H的位置，并说明理由．
(3)求平面ABD与平面ABE夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
已知数列{an}满足an+1=3an−2n−2n+3n(n+1)+4，且a2=232.设bn=an−2n−1n．
(1)求a1；
(2)证明数列{bn+2}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
(3)求数列{n(an−3n)}的前n项和Sn．
18.(本小题12分)
若函数f(x)的导函数f′(x)满足f(x)+x(x+1)f′(x)>0对x∈(12,+∞)恒成立，则称f(x)为T函数．
(1)试问g(x)=lnx是否为T函数？说明你的理由．
(2)若f(x)=x2−ax为T函数，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
现有2n(n∈N∗)位编号为1到2n的玩家，房间里有2n个盒子(盒子的编号为1到2n)，将2n张编号为1到2n的纸条随机放入这2n个盒子内(每个盒子内只放1张纸条).玩家依次进入房间，且每人可以打开其中的任意n个盒子，只有当每个玩家都找到与自己编号相同的纸条时，才算挑战成功.每个玩家开完盒子后都将盒子盖上(纸条放回原处)，恢复盒子的原状.设各玩家开盒相互独立，在挑战开始后，各玩家不准交流．
为了提升挑战成功的概率，有人设计了一个新方案：让每一位玩家进入房间后，先打开编号为自己编号的盒子(例如编号为2的玩家打开编号为2的盒子)，若盒子里的纸条编号恰为玩家自己的编号，则该玩家退出房间，让下一位玩家进入房间；若盒子里的纸条编号(设该编号为X)不是该玩家自己的编号，则该玩家接着去打开编号为X的盒子，依此类推，直到打开的盒子里的纸条编号与自己的编号相同，且前提是打开盒子的个数不能超过n．
(1)当n=3时，设第m(m=1,2,3,4,5,6)个盒子内放的纸条编号为7−m，试问采用新方案后，挑战是否能成功？说明你的理由．
(2)当n=3时，在第1个和第6个盒子内放的纸条编号分别为6和1的前提下，求采用新方案挑战成功的概率．
(3)当n=50时，求采用新方案挑战成功的概率．
参考数据：i=2501i=3.47，i=511001i=0.689．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.D
5.C
6.B
7.A
8.B
9.ABD
10.ABD
11.AC
12.53 5
13.2
14.169π9
15.解：(1)抛物线C：y=23(x2−9)经过双曲线D：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点，
可得焦点坐标(±3,0)，所以c=3，D的离心率为3 77．
可得a= 7，所以b= 2，所以双曲线方程为：x27−y22=1．
(2)由y=23(x2−9)x27−y22=1，消去x化简得：7y2−3y−4=0，解得y=1，或y=−47，
所以该梯形的高：1+47=117．
16.解：(1)证明：因为CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以CD⊥BC，
又AC⊥BC，且AC∩CD=C，AC，CD⊂平面ACD，
所以BC⊥平面ACD；
(2)垂足H为BC的中点，理由如下；
取BC中点H，连接EH，因为BE=CE，所以EH⊥BC，
又与(1)同理可证：AC⊥平面BCD，
因为B，C，D，E四点共面，所以EH⊂平面BCD，所以AC⊥EH，
又AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC，
所以EH⊥平面ABC，
所以H为BC的中点；
(3)因为BE=CE= 10，BC=2，所以EH=3，
以C为坐标原点，CA，CB，CD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
则A(3,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,2)，E(0,1,−3)，
则AB=(−3,2,0)，BE=(0,−1,−3)，BD=(0,−2,2)，
设平面ABD的法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥ABn⊥BD⇒n⋅AB=0n⋅BD=0⇒(x,y,z)⋅(−3,2,0)=0(x,y,z)⋅(0,−2,2)=0⇒−3x+2y=0−2y+2z=0，
令y=3，则n=(2,3,3)，
设平面ARE的法向量为m=(x′,y′,z′)，
则m⊥ABm⊥BE⇒m⋅AB=0m⋅BE=0⇒(x′,y′,z′)⋅(−3,2,0)=0(x′,y′,z′)⋅(0,−1,−3)=0⇒−3x′+2y′=0−y′−3z′=0，
令z′=−1，可得m=(2,3,−1)，
由cs〈m,n〉=m⋅n|m|⋅|n|=4+9−3 14× 22=5 7777，
所以平面ABD与平面ABE夹角的余弦值为5 7777．
17.解：(1)因为an+1=3an−2n−2n+3n(n+1)+4，且a2=232，
令n=1，可得a2=3a1−2−52+4=232，解得a1=4；
(2)证明：因为an+1=3an−2n−2n+3n(n+1)+4，bn=an−2n−1n，
所以an+1−2n+1−1n+1+2=3(an−2n−1n+2)，
所以bn+1+2=3(bn+2)，又b1+2=(a1−2−1)+2=4−2−1+2=3，
所以数列{bn+2}是以首项为3，公比为3的等比数列，
所以bn+2=3n，所以bn=3n−2；
(3)由(2)可知bn=an−2n−1n=3n−2，
所以an−3n=2n+1n−2，
所以n(an−3n)=n(2n+1n−2)=n⋅2n+1−2n，
设数列{n⋅2n}的前n项和为Tn，
则Tn=1×2+2×22+…+n⋅2n，
所以2Tn=1×22+2×23+…+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，
所以−Tn=2+22+…+2n−n⋅2n+1
=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，
所以Tn=(n−1)⋅2n+1+2，
所以数列{n(an−3n)}的前n项和为：
Sn=Tn+(−1+1−2n)n2=(n−1)⋅2n+1+2−n2．
18.解：(1)g(x)=lnx为T函数，理由如下：
g′(x)=1x，则ℎ(x)=g(x)+x(x+1)g′(x)=lnx+x+1，
易知函数ℎ(x)在(12,+∞)上为增函数，
所以ℎ(x)>ℎ(12)=32−ln2>32−lne=12>0，
所以ℎ(x)>0对x∈(12,+∞)恒成立，故g(x)=lnx为T函数．
(2)由f(x)=x2−ax，则f′(x)=2x−a，
因为f(x)=x2−ax为T函数，
所以x2−ax+x(x+1)(2x−a)>0对x∈(12,+∞)恒成立，
即2x3+3x2−ax2−2ax>0对x∈(12,+∞)恒成立，
设p(x)=2x3+3x2−ax2−2ax，x∈(12,+∞)，
则p′(x)=6x2+6x−2ax−2a=2(x+1)(3x−a)，
当a3>12，即a>32时，令p′(x)>0，得x>a3；令p′(x)