2025年陕西省咸阳市永寿县甘井中学九年级 中考一模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2025年陕西省咸阳市永寿县甘井中学九年级 中考一模数学试题（原卷版+解析版），共34页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2：领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，点在上，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，点在上，连接，的顶点、分别是、的中点，、分别交于点、，若点是的中点，，则的长为（ ）
A. 3B. 2C. D.
6. 已知直线（为常数，且）向下平移后可以得到直线，且，则直线经过（ ）
A. 第二、四象限B. 第一、三象限
C. 第一、二象限D. 第三、四象限
7. 如图，在正方形中，点是边上的点，连接，点是的中点，连接，点在边上，连接，已知，，，则的长为（ ）
A. 4B. C. D. 6
8. 已知抛物线（是常数），当时，函数值小于，当时，则函数值的范围是（ ）
A. B.
C. D.
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 不等式的解为______．
10. 三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的小矩形和中间一个（阴影）小正方形组成……，若设图中小矩形的宽为，长为，阴影小正方形的面积为，则与之间的关系是____________．
11. 如图，是的直径，、是的弦，半径，连接，若，则的度数为____________°．
12. 如图，顶点在轴上，，点、在第一象限，轴，点在的下方，，若反比例函数的图象经过点，则的值可能是____________．（写出一个即可）
13. 如图，在矩形中，，点是上一点，连接，，点是线段上一动点，点、在射线上（点在点左侧），连接、，若，，则的值为____________．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
15. 已知，求代数式的值．
16. 先化简，再求值：，其中．
17. 如图，已知，点在上，请利用尺规在下方作一点，连接，使得垂直平分线段．（不写作法，保留作图痕迹）
18. 如图；在中，延长到点，过点作，连接，，求证：．
19. 兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，“二十世纪考古史上的伟大发现之一”．小樱想购买兵马俑模型作为纪念品，她计划购买一个鞍马骑兵俑，工作人员告诉她，如果她再加元，可以从四个装有兵马俑的盒子中随机拿走两个，盒子的外观完全相同，这四个盒子中所装兵马俑分别是．将军俑、．文官俑、．铠甲俑、．跪射俑．小樱想了想加了元钱．
（1）小樱先从这四个盒子中随机拿走一个，则她拿走文官俑的概率是_______；
（2）请用列表法或画树状图法求小樱得到将军俑和跪射俑的概率．
20. 外卖行业已深深融入人们的日常生活，一外卖骑手在送餐的过程中，需要在规定时间内将餐送到目的地，若骑手每分钟骑行，则早到；若骑手每分钟骑行，则要迟到，试求出骑手将餐送到目的地的规定时间以及骑手所行驶的总路程．
21. 无字碑是武则天所立，位于陕西省咸阳市区西北方五十公里处的乾陵．张宇和同学们去乾陵游玩，想利用手头工具测量无字碑的高度．如图，处有一小滩水，张宇标定位置，调整自己的位置，恰好在处时从点看到碑顶的像，，张宇的眼睛到地面的距离；然后张宇用纸折出一个直角三角形，将较长直角边与水平地面重合，移动三角形，使点在斜边的延长线上，直角顶点在处，，，点、、、、在一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出无字碑的高．
22. 近日，火爆全球，在国内外掀起下载热潮和热议，的出现，不仅为我国人工智能的发展注入了新的活力，更让全球见证了我国在领域的卓越创新与突破．某人工智能研发公司要购进甲、乙两种芯片共1000片，甲种芯片每片的价格是600元，乙种芯片每片的价格是550元，经过商议后，甲种芯片每片打九折，乙种芯片每片减40元．
（1）设购买甲种芯片（片），购买甲、乙两种芯片所需的总费用为（元），求与之间的函数关系式；
（2）若购买甲、乙两种芯片所需的总费用为522000元，求购买甲、乙两种芯片各多少片？
23. 2025年第九届亚冬会圆满落幕，但“冰雪同梦、亚洲同心”的火种不会熄灭．多地鼓励青少年参加冰雪运动，助力青少年身体素质提升．某校为了解七年级学生的身体素质，校学生会对七年级学生的身高情况进行了调查，形成下表的调查报告（不完整）：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）统计表中________，扇形统计图中________，所抽取学生身高的中位数落在_________组；
（2）现七年级有甲、乙两队冰上舞蹈队，两队队员的身高如下：
已知两队的舞蹈功底相当，如果一队学生身高的方差越小，则认为该队呈现舞蹈效果越好．据此推断：在这两队学生中，舞蹈呈现效果更好的是________队；（填“甲”或“乙”）
（3）求所抽取学生的平均身高；若该校七年级学生有名，请估计该校七年级学生身高小于的人数．
24. 如图，是的直径，是的切线，连接交于点，点是下方上一点，连接、、，．
（1）求证：；
（2）过点作，垂足为点，连接并延长交于点，若，求的长．
25. 驱动任务：某公园为了美化环境，打造富有特色的公园，修建了两个“抛物线型”景观池某数学社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划研究这两个“抛物线型”景观池．
收集资料：经过查询后发现，这两个“抛物线型”景观池的形状大小完全一样，其俯视图如图所示．建立模型：如图，点、、在一条直线上，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线与关于轴对称，，抛物线的函数表达式为．
问题解决：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线上且在抛物线的对称轴左侧，点在轴上，是一座长的木桥，轴，现计划再修一条小道，点在抛物线上且在抛物线的对称轴右侧，轴，求小道的长．
26. 【问题探究】
（1）如图①，在中，，，点是上的一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，当的值最小时，求的度数；
问题解决】
（2）如图②，四边形是一个工厂的平面示意图，，，，连接，，平分，点是的中点，点是上一动点，在处修建一个员工休息处，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，按规划在处修建一个废品处理站，是一条产品加工线，其中点在上，点是四边形内一动点，，为方便回收废品，现要沿安装一条自动运输带．为节约成本，要使自动运输带的长尽可能的小，自动运输带的长是否存在最小值，若存在，请求出的最小值，若不存在，请说明理由．
2025年陕西省初中学业水平考试·全真模拟卷
数学试卷
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2：领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握：任何不等于的数的次幂都等于．
【详解】解：．
故选：B．
2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，如果一个图形绕一个点旋转，能和自身完全重合，则这个图形是中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，两部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
3. 如图，点在上，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，根据可得，再根据可得，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
故选：C．
4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查利用数轴比较实数的大小，解题的关键是掌握：在数轴上，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大；正实数大于一切负实数，大于一切负实数，正实数都大于．结合不等式的性质依次对各选项进行分析即可作出判断．
【详解】解：由数轴可知：，，
∴选项A、B、C的结论错误，不符合题意，，
∴，
故选项D的结论正确，符合题意．
故选：D．
5. 如图，在中，点在上，连接，的顶点、分别是、的中点，、分别交于点、，若点是的中点，，则的长为（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，解题的关键是掌握以上知识点．
根据题意得出是的中位线，即可得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故选：D．
6. 已知直线（常数，且）向下平移后可以得到直线，且，则直线经过（ ）
A. 第二、四象限B. 第一、三象限
C. 第一、二象限D. 第三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】该题考查了一次函数的平移，正比例函数的性质，根据平移得出，再根据得出，即可确定直线经过的象限．
【详解】解：∵直线（为常数，且）向下平移后可以得到直线，
∴，
∵，
∴，
∴直线经过第二、四象限，
故选：A．
7. 如图，在正方形中，点是边上的点，连接，点是的中点，连接，点在边上，连接，已知，，，则的长为（ ）
A. 4B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据直角三角形斜边中线性质得到，勾股定理求出，然后得到，，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴．
故选：B．
8. 已知抛物线（是常数），当时，函数值小于，当时，则函数值的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题意和二次函数的性质，可以求得的取值范围，从而可以求得当时，函数值的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线（是常数，当时，函数值小于，
，
，
当时，，当时，，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
故选：C．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 不等式解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的小矩形和中间一个（阴影）小正方形组成……，若设图中小矩形的宽为，长为，阴影小正方形的面积为，则与之间的关系是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列函数关系式，先利用算术平方根确定小正方形的边长为，再根据矩形的性质得：长宽．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键．
【详解】解：∵阴影小正方形的面积为，
∴阴影小正方形的边长为，
∵图中小矩形的宽为，长为，
∴，
∴与之间的关系是．
故答案为：．
11. 如图，是的直径，、是的弦，半径，连接，若，则的度数为____________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和平行线的性质，熟练掌握基本性质是解题关键．
根据等腰三角形的性质，圆周角定理和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
12. 如图，的顶点在轴上，，点、在第一象限，轴，点在的下方，，若反比例函数的图象经过点，则的值可能是____________．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查确定反比例函数的解析式，先根据题意确定点的坐标，再代入解析式计算即可．解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式．
【详解】解：∵，轴，
∴轴，即轴，
∵，且点、在第一象限，点在的下方，
当时，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴此时，即，
∴的值可能是．
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，在矩形中，，点是上一点，连接，，点是线段上一动点，点、在射线上（点在点左侧），连接、，若，，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长交射线于点，根据矩形的性质得，，证明是等边三角形，得，，在中，得，继而得到，，进一步得到，，最后在中，由即可得出答案．
【详解】解：如图，延长交射线于点，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
在中， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，等角对等边等知识点．确定是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算乘方、化简二次根式并计算绝对值里的运算，再计算乘法并去绝对值，最后计算加减即可．
【详解】解：
．
15. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了整式化简求值，掌握利用单项式乘多项式进行运算并整体代入求值是解题的关键．
先按照整式的乘法运算化简代数式，再把变形后，整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
【详解】解：
，
当时，原式．
17. 如图，已知，点在上，请利用尺规在下方作一点，连接，使得垂直平分线段．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法，准确画出图形是解决本题的关键．
以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧交前弧于点，连接则垂直平分线段，点即是所要求的点．
【详解】证明：以为圆心，为半径画弧，
以为圆心，为半径画弧交前弧于点，
连接则垂直平分线段，如图所示，
，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
垂直平分线段．
18. 如图；在中，延长到点，过点作，连接，，求证：．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质．由，根据平行线的性质得出，又，利用即可证明，从而得到．
【详解】证明：∵，
在与中，
，
，
．
19. 兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，“二十世纪考古史上的伟大发现之一”．小樱想购买兵马俑模型作为纪念品，她计划购买一个鞍马骑兵俑，工作人员告诉她，如果她再加元，可以从四个装有兵马俑的盒子中随机拿走两个，盒子的外观完全相同，这四个盒子中所装兵马俑分别是．将军俑、．文官俑、．铠甲俑、．跪射俑．小樱想了想加了元钱．
（1）小樱先从这四个盒子中随机拿走一个，则她拿走文官俑的概率是_______；
（2）请用列表法或画树状图法求小樱得到将军俑和跪射俑的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率，
（1）由题意可知她拿走文官俑的结果有种，然后利用概率的计算公式求解即可；
（2）用画树状图的方法，可知，共有种等可能的结果，其中小樱得到将军俑和跪射俑的结果有种，然后利用概率的计算公式求解即可；
列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题的关键是掌握：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【小问1详解】
解：可知，共有种等可能的结果，其中小樱拿走文官俑的结果有种，
∴她拿走文官俑的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
画树状图如下：
可知，共有种等可能的结果，其中小樱得到将军俑和跪射俑的结果有种，
∴（小樱得到将军俑和跪射俑），
∴小樱得到将军俑和跪射俑的概率为．
20. 外卖行业已深深融入人们的日常生活，一外卖骑手在送餐的过程中，需要在规定时间内将餐送到目的地，若骑手每分钟骑行，则早到；若骑手每分钟骑行，则要迟到，试求出骑手将餐送到目的地的规定时间以及骑手所行驶的总路程．
【答案】骑手将餐送到目的地的规定时间是，骑手所行驶的总路程为
【解析】
【分析】设规定的时间为，根据“路程速度时间”，再根据“需要在规定时间内将餐送到目的地即路程相等”建立一元一次方程，求解即可．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键．
【详解】解：设规定的时间为，
依题意，得：，
解得：，
∴，
∴骑手将餐送到目的地的规定时间是，骑手所行驶的总路程为．
21. 无字碑是武则天所立，位于陕西省咸阳市区西北方五十公里处的乾陵．张宇和同学们去乾陵游玩，想利用手头工具测量无字碑的高度．如图，处有一小滩水，张宇标定位置，调整自己的位置，恰好在处时从点看到碑顶的像，，张宇的眼睛到地面的距离；然后张宇用纸折出一个直角三角形，将较长直角边与水平地面重合，移动三角形，使点在斜边的延长线上，直角顶点在处，，，点、、、、在一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出无字碑的高．
【答案】无字碑的高
【解析】
【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，正切的定义，解题的关键是证明三角形相似．
根据题意证明，即可求解．
【详解】解：根据题意可得，
则，
∴，
即，
解得：，
答：无字碑的高．
22. 近日，火爆全球，在国内外掀起下载热潮和热议，的出现，不仅为我国人工智能的发展注入了新的活力，更让全球见证了我国在领域的卓越创新与突破．某人工智能研发公司要购进甲、乙两种芯片共1000片，甲种芯片每片的价格是600元，乙种芯片每片的价格是550元，经过商议后，甲种芯片每片打九折，乙种芯片每片减40元．
（1）设购买甲种芯片（片），购买甲、乙两种芯片所需的总费用为（元），求与之间的函数关系式；
（2）若购买甲、乙两种芯片所需的总费用为522000元，求购买甲、乙两种芯片各多少片？
【答案】（1）
（2）购买甲种芯片 400 片，购买乙种芯片600片
【解析】
【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是列出函数关系式．
（1）设购买甲种芯片片，则购买乙种芯片片，根据“甲种芯片每片的价格是600元，乙种芯片每片的价格是550元，甲种芯片每片打九折，乙种芯片每片减40元”即可求解；
（2）将代入（1）中函数关系式求解即可．
【小问1详解】
解：设购买甲种芯片片，则购买乙种芯片片，
∴购买甲，乙两种芯片所需的总费用为：，
化简得：．
【小问2详解】
解： 将代入中，得：，
解得：，
因此，购买甲种芯片 400 片，购买乙种芯片片．
23. 2025年第九届亚冬会圆满落幕，但“冰雪同梦、亚洲同心”的火种不会熄灭．多地鼓励青少年参加冰雪运动，助力青少年身体素质提升．某校为了解七年级学生的身体素质，校学生会对七年级学生的身高情况进行了调查，形成下表的调查报告（不完整）：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）统计表中________，扇形统计图中________，所抽取学生身高的中位数落在_________组；
（2）现七年级有甲、乙两队冰上舞蹈队，两队队员的身高如下：
已知两队的舞蹈功底相当，如果一队学生身高的方差越小，则认为该队呈现舞蹈效果越好．据此推断：在这两队学生中，舞蹈呈现效果更好的是________队；（填“甲”或“乙”）
（3）求所抽取学生的平均身高；若该校七年级学生有名，请估计该校七年级学生身高小于的人数．
【答案】（1）；；
（2）甲 （3）人
【解析】
【分析】（1）用组的人数除以组的百分比可得所抽取学生人数，再减去其余四组的人数可得，用组的人数除以所抽取学生人数即可求出，根据中位数的定义即可得出答案；
（2）先求出两队队员身高的方差再进行比较即可；
（3）先利用加权平均数求出的值，然后用小于的人数所占的百分比乘以即可．
【小问1详解】
解：所抽取学生人数为：（人），
∴（人），
，
∴，
将数据按从小到大的顺序排列后，中位数为排在第、位置的两个数据的平均数，
∴所抽取学生身高的中位数落在组，
故答案为：；；；
【小问2详解】
∵甲队队员的平均身高：，
乙队队员的平均身高：，
∴甲队队员身高的方差：
，
乙队队员身高的方差：
，
∴，
∴在这两队学生中，舞蹈呈现效果更好的是甲队，
故答案为：甲；
【小问3详解】
∵，
∴（人），
∴估计该校七年级学生身高小于的人数有人．
【点睛】本题考查频数分布表与扇形统计图的信息关联，中位数，方差，加权平均数，样本估计整体等知识点．能灵活利用图表中的数据解决问题是解题的关键．
24. 如图，是的直径，是的切线，连接交于点，点是下方上一点，连接、、，．
（1）求证：；
（2）过点作，垂足为点，连接并延长交于点，若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）6
【解析】
【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，证明，，结合，即可得，再根据等角对等边即可证明．
（2）如图，连接，证明，得出，根据三线合一得出，，证明，得出，再根据三角形中位线定理即可得出．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴．
【点睛】该题主要考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线．
25. 驱动任务：某公园为了美化环境，打造富有特色的公园，修建了两个“抛物线型”景观池某数学社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划研究这两个“抛物线型”景观池．
收集资料：经过查询后发现，这两个“抛物线型”景观池的形状大小完全一样，其俯视图如图所示．建立模型：如图，点、、在一条直线上，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线与关于轴对称，，抛物线的函数表达式为．
问题解决：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线上且在抛物线的对称轴左侧，点在轴上，是一座长的木桥，轴，现计划再修一条小道，点在抛物线上且在抛物线的对称轴右侧，轴，求小道的长．
【答案】（1）
（2）20米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，理解题意是解题的关键．
（1）根据题意得出抛物线的对称轴，即可得出抛物线的表达式，再根据抛物线与关于轴对称，即可求解．
（2）根据题意可得，令，求出，再根据题意得出，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∴抛物线的函数表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线与关于轴对称，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：根据题意可得，
令，则，解得：（舍去）或，
即，
∵轴，抛物线与关于轴对称，
∴，
∴．
26. 【问题探究】
（1）如图①，在中，，，点是上的一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，当的值最小时，求的度数；
【问题解决】
（2）如图②，四边形是一个工厂的平面示意图，，，，连接，，平分，点是的中点，点是上一动点，在处修建一个员工休息处，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，按规划在处修建一个废品处理站，是一条产品加工线，其中点在上，点是四边形内一动点，，为方便回收废品，现要沿安装一条自动运输带．为节约成本，要使自动运输带的长尽可能的小，自动运输带的长是否存在最小值，若存在，请求出的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）自动运输带的长存在最小值，的最小值为
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，由旋转的性质得，，当最小时，此时也最小，即当时，最小（如图），由等腰三角形三线合一得，可得结论；
（2）连接并延长交于点，连接，证明，可得四边形是平行四边形，进一步证明四边形是菱形，得，，，以为圆心为半径作弧，该弧交于点，连接，推出点在以为圆心为半径的四边形内的弧上运动，继而推出是的中位线，得，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，可得，根据旋转的性质得，，证明，得到，推出随着点的运动，点在直线上运动，过点作于点，交于点，交于点，证明四边形是矩形，得，则的最小值为，再推出，根据平行线分线段成比例定理得，即点是的中点，点是的中点，可得，，则，在中，由，在中，，可得结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
当最小时，此时也最小，
即当时，最小（如图），此时，
∴，
∴当的值最小时，的度数为；
（2）连接并延长交于点，连接，
∵，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，即点是的中点，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，，
∴，
∴，
∴四边形菱形，
∴，，
∴，
以为圆心为半径作弧，该弧交于点，连接，
∵点是四边形内一动点，，
∴点在以为圆心为半径的四边形内的弧上运动，
∴，
∴，
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
过点作于点，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴随着点的运动，点在直线上运动，
过点作于点，交于点，交于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的最小值为，
∵，，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，即点是的中点，点是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴自动运输带的长存在最小值，的最小值为．
【点睛】本题是旋转变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，通过构造圆并确定的最小值为是解题的关键．
调查目的
了解中学七年级学生的身高情况
调查方式
抽样调查
调查对象
中学七年级学生
调查方案
从从中学七年级学生中随机抽取部分学生测量其身高
调查数据的收集、整理与描述
组别
身高（）
人数（人）
各组平均身高（）
调查结论
…
甲队队员身高（）
乙队队员身高（）
调查目的
了解中学七年级学生的身高情况
调查方式
抽样调查
调查对象
中学七年级学生
调查方案
从从中学七年级学生中随机抽取部分学生测量其身高
调查数据的收集、整理与描述
组别
身高（）
人数（人）
各组平均身高（）
调查结论
…
甲队队员的身高（）
乙队队员的身高（）