高中数学人教A版 (2019)必修 第一册对数函数的概念优秀导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册对数函数的概念优秀导学案及答案，文件包含44对数函数十一个重难点突破原卷版docx、44对数函数十一个重难点突破解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共49页， 欢迎下载使用。

知识点1对数函数的定义
函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的．
（2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且
重难点一 对数函数的辨析
【例1】下列函数是对数函数的是（ ）
A．（且）B．
C．D．（且）
【答案】B
【详解】根据对数函数的定义且,
分析A,B,C,D函数形式，
函数为对数函数.
故选：B.
【例2】函数为对数函数，则 ．
【答案】3
【详解】函数为对数函数，
则，且，所以.
故答案为：3
【变式1-1】下列函数是对数函数的有 ．
①；②；③；④．
【答案】②
【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合.
故答案为：②.
【变式1-2】若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ．
【答案】3
【详解】因为函数是以为自变量的对数函数，
所以，解得.
故答案为：3
【变式1-3】函数为对数函数，则 ．
【答案】4
【详解】由题意知，，
故答案为：4.
重难点二 求对数函数的函数值或解析式
【例3】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设对数函数为,
代入可得,
所以,
则对数函数的解析式为.
故选：C.
【例4】设（且），若图象经过和，则 ．
【答案】/
【详解】因为，所以．
故答案为：.
【变式2-1】若对数函数的图象过点，则 ．
【答案】
【详解】设对数函数（a>0，且），因为函数图象过点，
所以，得，
所以.
故答案为：
【变式2-2】已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是 .
【答案】9
【详解】因为对数函数（且）的图象经过点，
所以解得，
所以，
因为该函数图象经过点，所以解得，
故答案为:9.
【变式2-3】若对数函数（且）的图象经过点，求此对数函数的表达式.
【答案】
【详解】将点的坐标代入，得，
所以，解得，
因为且，所以，
所以该对数函数的表达式为.
知识点2对数函数的图象及性质
1.对数函数的图象及性质
2．当底数不同时对数函数图象的变化规律
作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得.

重难点三 定点问题
【例5】函数且的图象恒过点，函数且的图象恒过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对于，令，得，，
所以的图象恒过点，即；
对于，令，得，，
所以的图象恒过点，即；
所以.
故选：B.
【例6】已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意；
当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意；
显然此时，则函数为单调递增，又恒过点，
因此函数的图象不过第四象限.
故选：D
【变式3-1】函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．4B．
C．D．8
【答案】D
【详解】因为当时，所以函数
的图像恒过定点，即，因为点在直线上，
所以即 因为 所以
当且仅当
即时取等号.
故选：D.
【变式3-2】已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则 .
【答案】
【详解】对于函数（且），
令，可得，此时，，
所以，函数（且）的图象恒过定点，
因为函数为幂函数，设，则，解得，
所以，，故.
故答案为：.
【变式3-3】已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则 ．
【答案】/0.5
【详解】函数中，令，解得，此时，
所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，
所以，解得，所以，
.
故答案为：.
重难点四 图象问题
【例7】如图，矩形的三个顶点、、分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由图可知，点在函数的图象上，所以，
即，故，
则点在函数的图象上，所以，即，故，
则点在函数的图象上，所以，故，
又，，故点的坐标为，
故选：A
【例8】已知函数，，则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】令，则，所以，
，故可排除A、B、D．
故选：C．
【变式4-1】函数的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令，解得，
由题意，，且x>0，
所以的图象由图象向上平移一个单位长度即可.
故选：C.
【变式4-2】在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反，
且图象均不过原点，故排除AD；
在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知，
所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确.
故选：C.
【变式4-3】（多选）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】由函数图象可得在上单调递减，所以，
又时，，即，故A，D正确.
故选：AD.
重难点五 比较指对幂的大小
【例9】已知， 则（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以.
故选：A.
【例10】已知，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：因为，
所以，
又因为，且，时单调递增，
所以，即，
所以.
故选：D
【变式5-1】设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由于函数为单调递增函数，故，
而，故，
故选：C
【变式5-2】设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
因为，，
所以.
故选：C
【变式5-3】函数的定义域为，满足：①，②任意，都有.设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由①可知：为奇函数；由②可知：是上的增函数；
且，
因为，则，所以.
故选：B.
重难点六 解对数不等式
【例11】已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当时，，解得，
与求交集得，
当，，解得，
与求交集得，
故的解集为.
故选：D
【例12】若：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】，故，解得，
，解得，
因为是的真子集，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
【变式6-1】“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由可得，由可得，由可得，
所以由“，”推得出“”，故充分性成立；
由“”推不出“，”，
如，，满足，但是，故必要性不成立；
所以“，”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【变式6-2】函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，即，即，解得.
所以函数的定义域为.
故选：B.
【变式6-3】不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】解：由对数函数的性质可得：，
解得：，
，
且为递减函数，
，
解得：，
综上所述：不等式的解集为2,3．
故答案为：2,3.
重难点七 单调性问题
【例13】函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【详解】由，解得或，
所以的定义域为.
函数在上单调递增，的开口向上，对称轴为，
根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间是.
故答案为：
【例14】设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为( ).
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为若在上单调递增，且，可得，
即，解得，即a的取值范围为.
故选：.
【变式7-1】已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】令，
则，∵，∴在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，在单调递减，
∴，则，
∴
故选：D
【变式7-2】“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】二次函数图象的对称轴为，
若函数在区间上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，即，
若，则，但是，不一定成立，
故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件．
故选：A
【变式7-3】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】若，则在上不单调递减，故不符合题意；
若，则在上单调递增，
即使在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递增，
从而在上不单调递减，故不符合题意；
若，则在上单调递减，
若在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递减，
从而在上单调递减，
所以若要满足题意，当且仅当且在上有定义，
若，恒成立，即，恒成立，
当时，的取值范围是，
所以当且仅当且时，满足题意.
故答案为：.
重难点八 值域问题
【例15】函数的值域为 ．
【答案】
【详解】函数为增函数，故其值域为.
故答案为：
【例16】已知函数的值域为，则函数可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】当时，
又的值域是R，
设的值域为，则，
对A：，当时，，不符合题意；
对B：，当时，,不符合题意；
对C：，当时，，符合题意；
对D：，当时，,不符合题意.
故选：C
【变式8-1】函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，设，
故，
令，则，
当时，取到最大值，
故y的最大值为，即函数的最大值为，
故选：D
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合函数解析式的结构特点，采用两边取对数再结合换元的方法，将原问题转化为求二次函数的最值问题.
【变式8-2】“函数的值域为”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为函数的值域为R，
设，则二次函数需要取到一切正数，
对应于方程中，，即，
解得或，
从而是“函数的值域为R”的充分不必要条件.
故选：D
【变式8-3】已知函数的值域是，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为的值域是0,+∞，所以，解得．
故选：A.
重难点九 恒成立问题
【例17】已知函数，，过定点．
(1)若，求函数的定义域；
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为过定点，
所以，解得，所以，
所以，
则，解得，所以的定义域为.
（2）因为，
所以不等式在上恒成立，即在上恒成立，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立且恒成立，
则且在上恒成立，
因为，
且，均在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以当时取得最小值，
所以，解得，即的取值范围.
【例18】函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1），
，，
令，则，
易知单调递减，该函数值域为即；
（2）令，则在上恒成立，
当时，恒成立，；
当时，等价于恒成立，
令.
当且仅当时取等号，.
综上，.
【变式9-1】已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(2)若对于恒成立，求实数m的范围.
【答案】(1)奇函数；见解析.
(2)
【详解】（1）判断函数为奇函数.
由函数,
知即或，
且，
故函数为奇函数.
（2），
时，为增函数，故为增函数，
所以，
若对于恒成立，
则.
【变式9-2】已知函数，其中是奇函数．
(1)求a的值；
(2)求解不等式；
(3)当时，恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）函数的定义域为，
因为函数是奇函数，所以，
，
则，则；
（2），即，
整理得，则，
所以．
（3），所以在和上是严格减函数，
且当时，；当时，；
由可得：，，
当时，，
当时，，所以，即，又，所以；
当时，，则，而，，则满足题意；
函数的定义域，则时不符，舍去．
综上．
【变式9-3】已知函数．
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2).
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
由解析式易知，函数定义域为，
而，故为奇函数.
（2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数，
所以在上为减函数，故，
要使任意，，不等式恒成立，
只需在上恒成立，即在上恒成立，
由开口向上，则，
综上，.
重难点十 实际应用
【例19】中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，将信噪比从2000提升至10000，
则最大信息传递速率从增加至，
所以
.
故选：B.
【例20】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.若甲地发生里氏4.5级地震，乙地发生里氏8.0级地震，则乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的（ ）
A．5.25倍B．5.2倍C．倍D．倍
【答案】C
【详解】由题设，甲地里氏4.5级地震的能量为，则，即，
乙地里氏8.0级地震的能量为，则，即，
所以，
即乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的倍.
故选：C
【变式10-1】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（ ）倍．（精确到1）
（参考数据：，，，）
A．29B．30C．31D．32
【答案】D
【详解】由题意得，
两式相减得，而，
故，
故选：D
【变式10-2】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】C
【详解】由题意知是，，
代入公式，可得，
则，两边同时取对数得，
即，则，故C正确.
故选：C.
【变式10-3】火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（ ）
（参考数据，）
A．22.1B．22.3C．22.5D．22.7
【答案】C
【详解】由题意可得，，，
代入题目公式，可得：，，
，，
代入值可得：，，
需装载的推进剂的吨数约为，
，
，
，
，
结合选项，选择C．
故选：C
知识点3 反函数
指数函数，且和对数函数，且)互为反函数．
重难点十一 反函数
【例21】函数的反函数是（ ）
A．B．
C．D．（）
【答案】A
【详解】因为，所以，所以，即
x，y互换，得：，.
故选：A
【例22】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】的图象与y=fx的图象关于直线对称，
故与y=fx互为反函数，故，
所以.
故选：C
【变式11-1】下列命题组真命题的个数为（ ）
①存在反函数的函数一定是单调函数
②偶函数存在反函数
③奇函数必存在反函数
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【详解】对①，取函数，显然存在反函数，但不单调，①错误；
对②，取偶函数函数，则，显然函数不存在反函数，②错误；
对③，取奇函数函数，当时有和与之对应，
即从到的映射不满足函数定义，故奇函数没有反函数，③错误.
故选：A
【变式11-2】下列各图中，存在反函数的函数y=fx的图像只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域，
所以要有反函数，则的定义域与值域建立一一对应关系，结合各个选项的图形，选项C满足题意，
故选：C.
【变式11-3】求下列函数的反函数：
(1)；
(2)；
(3)，.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）的值域为，
所以，所以，所以.
（2）,
由可得：，即，
∴．
（3）当可得：，
由，可得：，
∴.
一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据题意知道，解得，即.
故选：D.
2．下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】对于A，因为底数，所以随着指数的增大而减小，又，所以，故选项A错误；
对于B，，因为底数，所以随着真数位置的增大而增大，又，所以，故选项B错误；
对于C，因为，，所以，故选项C正确；
对于D，因为，，函数有两个交点，分别是当，
增长速度比增长速度快，在0,2上，在上，
在上，所以，即，故选项D错误.
故选：C.
3．“”是“函数的定义域为R”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由于函数的定义域为R，则在R上恒成立，
故满足，解得，由成立得一定成立，
反之成立时，不一定成立，
所以“”是“函数的定义域为R”的必要不充分条件.
故选：B
4．已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为在上单调递减，所以，解得，则a的取值范围是.
故选：D
5．已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知在上只能是单调递增，
所以在上单调递增，所以
得.
又单调递增，所以.
综上得.
故选：C
6．定义“正对数”： ，现有四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】对于命题①，当时，，，，则；
当时，，，，则，
因此，，命题①正确；
对于命题②，取，，，
此时，②错误；
对于命题③，取，， ，
此时，③错误；
对于命题④，取，，
而，此时，④错误，
所以真命题的个数为1.
故选：A
【点睛】关键点点睛：解决命题①的关键是按给定定义分类讨论，并利用对数函数的性质推理判断.
二、多选题
7．已知，则对任意的，下列关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】因为，，
所以，故A正确，B错误；
，故C错误，D正确；
故选：AD.
8．已知，且，函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】由，且，则，所以，
若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数，
且单调递减，又函数与关于y轴对称，
所以曲线为增函数，选项B符合条件；
若，则，曲线函数图象下降，即为减函数，
且单调递增，又函数与关于y轴对称，
所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件，
故选：BC
9．已知定义域为的函数，若对任意的且，有，则称函数为“定义域上的凹函数”．例如，就是上的凹函数．以下函数是“定义域上的凹函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【详解】分别作出ABCD的图象，如图
A B
C D
根据可知定义域上的凹函数是函数图象上任意两点连线的中点都在图象的上方,故CD符合，AB不符合，
故选:CD
三、填空题
10．设，若为偶函数，则 ．
【答案】
【详解】因为偶函数，则.
注意到，与
相比较，得.
故答案为：
11．已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】对任意，存在，使，
问题等价于在指定区间内，
函数在上单调递增且恒为正，
则在上单调递增，，
在上为减函数，∴，
由，解得．
故m的取值范围为．
故答案为：.
12．已知函数在区间1,2上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】令，因为外层函数在0,+∞上为减函数，
且函数在区间1,2上单调递增，
所以，内层函数在1,2上为减函数，且，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
13．已知函数满足
(1)求的解析式；
(2)若，求的单调性.
【答案】(1)
(2)函数在上单调递增，在上单调递减
【详解】（1）设，则.
已知，将代入可得：
所以.
（2）当时，.
先求函数的定义域，令，即，解得或.
对于二次函数，其对称轴为.
当时，二次函数单调递减，因为对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递增.
当时，二次函数单调递增，对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递减.
故函数在上单调递增，在上单调递减.
14．已知函数，关于的不等式的解集为，且.
(1)求的值；
(2)是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由可得，又，所以，
又因为的解集为，所以，
因为，所以，即，
解得或，因为，所以；
（2）由（1）可得，
令，则，设，
①当 时，在上单调递增，
则，解得，符合要求；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，又，故；
③当时，在上单调递减，
，解得，不合题意；
综上所述，存在实数或符合题意.
15．已知（，且），且．
(1)求a的值及的定义域；
(2)求在上的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1），即，则，
由题意得，∴，的定义域为：0,4.
（2），
令，则，，
的对称轴：，
∴在上单调递增，在上单调递减；
∵，∴在0,+∞单调递减，
由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增，
∴.
一、对数函数的辨析
七、单调性问题
二、求对数函数的函数值或解析式
八、值域问题
三、定点问题
九、恒成立问题
四、图象问题
十、实际应用
五、比较指对幂的大小
十一、反函数
六、解对数不等式
图象
性质
定义域
值域
定点
过定点
单调性
是上的增函数
是上的增函数