初中数学人教版（2024）八年级上册角的平分线的性质优秀第3课时当堂检测题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册角的平分线的性质优秀第3课时当堂检测题，文件包含人教版数学八年级上册考点讲解+课后练习第3课时角平分线的性质原卷版doc、人教版数学八年级上册考点讲解+课后练习第3课时角平分线的性质解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
知识点一：角平分线的定义及其画法：
角平分线的定义：
把一个角分成两个 的角的射线叫做角的平分线。
做已知角的平分线：
作法：如下图
步骤一：以 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。
步骤二：以 为圆心， MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。
步骤三：连接OP即为角平分线
证明OP是∠AOB的平分线：
如图：
连接MP，NP
由作图过程可知，OM ON，MP NP。
在△OMP与△ONP中

∴△OMP≌△ONP
∴∠MOP＝
∴OP是∠AOB的角平分线。
【类型一：角平分线的作图依据】
1．数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留作图痕迹．学生小敏的作法是：如图，∠AOB是已知角，以O为圆心，任意长为半径作弧，与OA、OB分别交于N、M；再分别以N、M为圆心，大于MN的长为半径作弧，交于点C；作射线OC；则射线OC是∠AOB的角平分线．小敏作图的依据是（ ）
第1题 第2题
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【类型一：利用角平分线的作图求值或证明】
2．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠A的度数是（ ）
A．36°B．54°C．72°D．108°
4．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M和N，分别以M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，以同样的方式作射线BF，AE和BF交于点O，则∠AOB的度数是（ ）
第4题 第5题
A．100°B．135°C．145°D．125°
5．如图，已知a∥b，直线l与直线a，b分别交于点A，B，在直线l，b上分别截取BM，BN，使BM＝BN，分别以M，N为圆心、以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABN内交于点P，作射线BP，交直线a于点C，若∠NBC＝55°，则∠CAB的度数是（ ）
A．55°B．60°C．70°D．75°
6．如图，在△ABC中，以B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、BC于D、E，再分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径作弧，两弧交于点F，连接BF并延长交AC于G，若AB上点H满足HB＝HG．
小锋同学研究GH和BC的位置关系如下（请你填空）：
连接DF、EF，
因为BD＝BE，DF＝EF，BF＝BF（已知）
所以△BDF △BEF（ ）
所以∠HBG＝∠CBG，
因为HB＝HG（已知）
所以∠HBG＝∠HGB（ ）
所以∠CBG＝∠HGB
所以GH∥BC（ ）
知识点一：角平分线的性质
角平分线的性质：
平分角：
即若OC是∠AOB的平分线，则 。
角平分线上的点到角两边的距离相等。
即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则
有 。
证明：∵OP是∠AOB的平分线
∴
∵ PD⊥OB，PE⊥OA
∴ ＝90°
在△OPE与△OPD中

∴
【类型一：利用角平分线的性质求线段长度】
7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD为∠BAC的角平分线若．BD＝4，则点D到AC的距离为（ ）
第7题 第8题
A．3B．4C．5D．6
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD：DB＝3：5，BC＝16cm，则点D到AB的距离为 cm．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
第9题 第10题
A．2B．3C．4D．5
10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AE+DE＝3cm，那么AC等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边AB，AC于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在△ABC内交于点P；③作射线AP交边BC于点Q．若△ABQ的面积为50，AB＝20，则CQ的长为（ ）
第11题 第12题
A．B．5C．7D．10
12．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于 ．
【类型二：利用角平分线的性质求面积】
13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ ．
14．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，对角线BD＝5，BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
第14题 第15题
A．4B．8C．12D．16
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（ ）
A．12cm2B．8cm2C．6cm2D．4cm2
16．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
第16题 第17题
A．20B．30C．50D．100
17．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为 ．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC，AB于点M，N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．48B．24C．12D．6
【类型三：角平分线性质的应用】
19．三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
20．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处B．两处C．三处D．四处
21．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．
（1）如果要求油库到两条公路AB，AC的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
知识点一：三角形的角平分线的性质：
三角形的角平分线的性质：
三角形一个角的角平分线分得的两个三角形的面积比等于
这个角的两边的比，也等于这个角对边分得的两条线段的比。
即如图：AD是△ABC的平分线。
则＝ ＝ 。
特别提示：分别以AB和AC、BD和CD表示出两个三角形的面积，然后比即可得出。
【类型一：利用三角形的角平分线求值】
22．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝4，BC＝6，△ABD的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
第22题 第23题 第24题
A．8B．10C．12D．15
23．如图，ABC中，AD是它的角平分线，AB＝4，AC＝3，那么△ABD与△ADC的面积比是（ ）
A．1：1B．3：4C．4：3D．不能确定
24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝8，BC＝4，则△ABD与△ACD的面积比是（ ）
A．5：4B．1：1C．4：5D．4：3
25．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三条角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（ ）
A．1：1：1B．2：2：3C．2：3：2D．3：2：2
知识点一：角平分线的判定：
内容：
角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。
数学语言：
点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 上。
即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD
∴∠AOC＝∠BOC
【类型一：角平分线的证明】
26．如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．
27．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．
28．如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
29．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．
求证：AD平分∠BAC．
30．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
选择题（共10小题）
1．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分别为D，E，若PD＝2，则PE的长是（ ）
第1题 第2题
A．2B．3C．D．4
2．如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”这样说的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．以上均不正确
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝5，CP＝2，则P到AB的距离是（ ）
第3题 第4题 第5题
A．5B．2C．3D．4
4．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝2，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
5．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是（ ）
A．14B．8C．16D．6
6．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（ ）

第6题 第7题
A．1B．2C．3D．4
7．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（ ）
A．a+b＝0B．a+b＞0C．a﹣b＝0D．a﹣b＞0
8．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（ ）
第8题 第9题
A．S1+S2＝S3B．S1+S2＜S3C．S1+S2＞S3D．无法确定
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交边AC于点D．若CD＝2，AB＝12，则△ABD的面积为（ ）
A．6B．12C．18D．24
10．如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ＝PQ，PR＝PS．下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．全对
填空题（共6小题）
11．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．
第11题 第12题
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若CD＝2，DE＝ ．
13．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．CD是角平分线，则S△ACD：S△BCD＝ ．
14．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM＝6，则PN的最小值为 ．
第14题 第15题 第16题
15．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若DE＝2，BC＝7，S△ABC＝12，则AB的长为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 ．
解答题（共4小题）
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积．
18．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD是∠ABC的角平分线．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若DE⊥AB于点E，AC＝6，求AE的长．
19．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
20．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．
（1）∠BPC的度数是 ．
（2）请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．
（3）证明：AB＝PC．