2024年山东省青岛市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年山东省青岛市中考数学试卷【含解析】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达60000立方米．将60000用科学记数法表示为（ ）
A．6×103B．60×103C．0.6×105D．6×104
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（ ）
A．aB．bC．cD．d
4．（3分）如图所示的正六棱柱，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2B．a5÷a2＝a3
C．（﹣a）2•a3＝﹣a5D．（2a3）2＝2a6
6．（3分）如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A'B'C'D'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（1，2）
7．（3分）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（ ）
A．90°B．99°C．108°D．135°
8．（3分）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA＝3，，∠DBC＝25°，连接AD，则扇形AOB的面积为（ ）
A．πB．πC．πD．π
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10．（3分）计算：（）﹣1﹣2sin45°＝ ．
11．（3分）图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地2024年5月27日至31日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2 s乙2.（填“＞”，“＝”，“＜”）．
12．（3分）如图，菱形ABCD中，BC＝10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO＝ ．
13．（3分）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m．
14．（3分）如图，△ABC中，BA＝BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E．过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON＝10，cs∠ABC，则半径OC的长为 ．
15．（3分）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
16．（4分）已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．
求作：四边形内一点P，使EP∥BC，且点P到AB，AD的距离相等．
四、解答题（本大题共9小题，共71分）
17．（9分）（1）解不等式组：；
（2）先化简（2），再从﹣2，0，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
18．（6分）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为 °；
（2）该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；
（3）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点．研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断 班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）
19．（6分）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
20．（6分）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
（参考数据：sin32°，cs32°，tan32°，sin42°，cs42°，tan42°）
21．（8分）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
22．（8分）如图，点A1，A2，A3，…，An，An+1为反比例函数y（k＞0）图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线，垂足分别为点H1，H2，H3，…，Hn；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2，…，过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn．
记△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn．
（1）当k＝2时，点B1的坐标为 ，
S1+S2＝ ，
S1+S2+S3＝ ，
S1+S2+S3+⋯+Sn＝ （用含n的代数式表示）；
（2）当k＝3时，S1+S2+S3+⋯+Sn＝ （用含n的代数式表示）．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值．
24．（10分）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园：
第x天的单价、销售量与x的关系如表：
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．
B樱桃园：
第x天的利润y2（元）与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2+bx+25刻画，其图象如图：
（1）A樱桃园第x天的单价是 元/盒（用含x的代数式表示）；
（2）求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本）
（3）①y2与x的函数关系式是 ；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2）最大，最大是多少元？
（4）这15天中，共有 天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．
25．（10分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合．如图②，△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s．EF与BC交于点P，连接OP，OE．设运动时间为t（s）（0＜t）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？
（2）设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图③，过点O作OQ⊥AB，交AC于点Q，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接HB．是否存在某一时刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2024年山东省青岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1．（3分）“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达60000立方米．将60000用科学记数法表示为（ ）
A．6×103B．60×103C．0.6×105D．6×104
【解答】解：60000＝6×104．
故选：D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则A不符合题意；
B是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则B不符合题意；
C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则C不符合题意；
D既是轴对称图形，也是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
3．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（ ）
A．aB．bC．cD．d
【解答】解：从数轴上看，离原点距离最近的点是实数c对应的点，
那么这四个实数中绝对值最小的是c，
故选：C．
4．（3分）如图所示的正六棱柱，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据图示的正六棱柱可得其俯视图是，
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2B．a5÷a2＝a3
C．（﹣a）2•a3＝﹣a5D．（2a3）2＝2a6
【解答】解：a+2a＝3a，则A不符合题意；
a5÷a2＝a3，则B符合题意；
（﹣a）2•a3＝a5，则C不符合题意；
（2a3）2＝4a6，则D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A'B'C'D'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（1，2）
【解答】解：由正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，
得E（2，﹣1），
由再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，
得A'（﹣1，﹣2）．
故选：A．
7．（3分）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（ ）
A．90°B．99°C．108°D．135°
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE＝∠E108°，
∵四边形CDFG为正方形，
∴∠CDF＝90°，∠CFD＝45°，
∴∠FDE＝108°﹣90°＝18°，∠DFM＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FME＝360°﹣18°﹣135°﹣108°＝99°，
故选：B．
8．（3分）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA＝3，，∠DBC＝25°，连接AD，则扇形AOB的面积为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【解答】解：如图，连接AC，
则∠DAC＝∠DBC＝25°，
∵，
∴∠ADB＝∠DAC＝25°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝50°，
∵OA＝3，
∴扇形AOB的面积为，
故选：A．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵函数图像开口向上，与y轴交于坐正半轴，与x轴没有交点
∴a＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0，
∵对称轴为x，
∴b＝2a＞0，
∴2a﹣b＝0，
∴M（c，2a﹣b）在x轴正半轴上，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，
则N（b2﹣4ac，a﹣b+c）在第二象限，
∴过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过第三象限．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10．（3分）计算：（）﹣1﹣2sin45°＝ 23 ．
【解答】解：原式＝33﹣2
＝33
＝23，
故答案为：23．
11．（3分）图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地2024年5月27日至31日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2 ＜ s乙2.（填“＞”，“＝”，“＜”）．
【解答】解：甲地：平均数：，s甲21.2；
乙地：平均数：，s乙2.20.8；
则s甲2＜s乙2；
故答案为：＜．
12．（3分）如图，菱形ABCD中，BC＝10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO＝ ．
【解答】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC＝CD＝DA＝10，
∵S菱形ABCDAC•BD＝60，
∴AC•BD＝120，
∴BO•OC＝30，
∵BO2+CO2＝BC2＝100，
∴（BO+OC）2﹣2BO•CO＝100，
∴BO+CO＝4 （负值已舍去），
∴BO＝4OC，
∴BO2+CO2＝102，
∴（4OC）2+CO2＝100，
∴CO，CO＝3（舍去），
∵AE⊥BC，AO＝CO，
∴OE＝CO，
故答案为：．
13．（3分）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 2 m．
【解答】解：设小路宽为x m，
根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）12×16，
解得x＝2或x＝12（舍去），
∴小路宽为2m；
故答案为：2．
14．（3分）如图，△ABC中，BA＝BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E．过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON＝10，cs∠ABC，则半径OC的长为 6 ．
【解答】解：连接OE，如图：
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠OCE，
∴∠OEC＝∠BAC，
∴AB∥OE，
∴∠ABC＝∠EOC，
∵cs∠ABC，
∴cs∠EOC，
∵MN是⊙O的切线，
∴∠OEN＝90°，
∴，
∵ON＝10，
∴OE＝6，
∴OC＝OE＝6；
故答案为：6．
15．（3分）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 12 块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 144 块．
【解答】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，则6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，则需图②的个数：6×2＝12（个）；
同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4，3，2的长方体，用4×3＝12个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，1，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，此时需要：2×3×4×6＝144（个）．
故答案为：12；144．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
16．（4分）已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．
求作：四边形内一点P，使EP∥BC，且点P到AB，AD的距离相等．
【解答】解：作∠DAB的平分线AM，以E为顶点，ED为一边作∠DEN＝∠C，EN交AM于P，如图：
点P即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共71分）
17．（9分）（1）解不等式组：；
（2）先化简（2），再从﹣2，0，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【解答】解：（1）解第一个不等式得：x≤3，
解第二个不等式得：x＞﹣3，
故原不等式组的解集为﹣3＜x≤3；
（2）原式
•
；
∵a≠0，（a+1）（a﹣1）≠0，
∴a≠0，a≠±1，
∴a＝﹣2或3，
当a＝﹣2时，原式3；
当a＝3时，原式．
18．（6分）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为 54 °；
（2）该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；
（3）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点．研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断 甲 班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）
【解答】解：（1）总人数：52÷26%＝200（人），
D组人数：200﹣30﹣52﹣38＝80；如图：
；
A所对应的圆心角的度数为：；
故答案为：54；
（2）去海洋馆：（人），
即该校约有640名学生想去海洋馆；
（3）甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95，
平均数：，众数：90；中位数：，
则甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班，则甲班的竞赛成绩更好．
故答案为：甲．
19．（6分）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【解答】解：（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到1，2，3的三张纸牌的可能性相同，
∴摸到“1”的概率是；
故答案为：；
（2）游戏公平，理由如下：
根据题意列表如下：
由表可知：共有9种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于4的有3种，两次摸到的数字之和小于4的有3种，
∴小明获胜的概率是，小红获胜的概率为，
∴两人获胜的概率相等，
∴游戏公平．
20．（6分）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
（参考数据：sin32°，cs32°，tan32°，sin42°，cs42°，tan42°）
【解答】解：如图，过点E作EH⊥AG于H，
则四边形CDHE为矩形，
∴EH＝CD＝1.8m，DH＝CE＝1m，
在Rt△CDF中，∠CFD＝42°，CD＝1.8m，
则DF2（m），
∴HF＝DF﹣DH＝2﹣1＝1（m），
在Rt△EHG中，∠EGH＝32°，EH＝1.8m，
则HG2.88（m），
∴FG＝HG﹣HF＝1.88（m），
答：调整后的滑梯会多占约为1.88m的一段地面．
21．（8分）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【解答】解：（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为（x﹣35）元，
根据题意得：，
解得x＝125，
经检验，x＝125是方程的解，也符合题意，
∴x﹣35＝125﹣35＝90，
∴航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元；
（2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型（120﹣m）个，
∵航空模型数量不少于航海模型数量的，
∴m（120﹣m），
解得m≥40，
根据题意得：W＝125×0.8m+90（120﹣m）＝10m+10800，
∵10＞0，
∴当m＝40时，W取最小值，最小值为10×40+10800＝11200，
此时120﹣m＝120﹣40＝80，
∴购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少．
22．（8分）如图，点A1，A2，A3，…，An，An+1为反比例函数y（k＞0）图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线，垂足分别为点H1，H2，H3，…，Hn；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2，…，过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn．
记△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn．
（1）当k＝2时，点B1的坐标为 （1，1） ，
S1+S2＝ ，
S1+S2+S3＝ ，
S1+S2+S3+⋯+Sn＝ （用含n的代数式表示）；
（2）当k＝3时，S1+S2+S3+⋯+Sn＝ （用含n的代数式表示）．
【解答】解：（1）当k＝2时，y，
当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1，
∴A1（1，2），A2（2，1），
∴B1H1＝1，
∴B1＝（1，1），
同理：
，，
∴，
，
，
……
，
∴；
，
……
S1+S2+S3+⋯+Sn；
故答案为：（1，1），，，；
（2）当k＝3时，y，
∴，
∴S1+S2+S3+……+Sn．
故答案为：．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值．
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：当∠ABE等于30度时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵AB＝BO，BE⊥AO，
∴∠ABO＝2∠ABE＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝BO，∠BAO＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴tan∠BAC＝tan60°．
24．（10分）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园：
第x天的单价、销售量与x的关系如表：
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．
B樱桃园：
第x天的利润y2（元）与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2+bx+25刻画，其图象如图：
（1）A樱桃园第x天的单价是 （﹣2x+52） 元/盒（用含x的代数式表示）；
（2）求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本）
（3）①y2与x的函数关系式是 y2＝﹣30x2+500x+25 ；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2）最大，最大是多少元？
（4）这15天中，共有 4 天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．
【解答】解：（1）设第x天的单价m元与x满足的一次函数关系式为：m＝kx+b，
由题中表格可知：当x＝1时，m＝50；当x＝2时，m＝48；
∴，解得，
∴m＝﹣2x+52，
故答案为：﹣2x+52；
（2）根据题意可得：y1＝（﹣2x+52）（10x+10）﹣745，
化简整理得：，
∴A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式为：；
（3）①由图象可知：二次函数的图象经过点（1，495）、（2，905），
∴，解得，
∴y2＝﹣30x2+500x+25，
故答案为：y2＝﹣30x2+500x+25；
②50x2+1000x﹣200
＝﹣50（x﹣10）2+4800，
∵﹣50＜0，
∴当x＝10时，y1+y2有最大值4800，
∴第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元；
（4）由题可知：y2＞y1，
∴﹣30x2+500x+25＞﹣20x2+500x﹣225即﹣10x2＞﹣250，
解得：﹣5＜x＜5，
∵x取正整数，
∴1≤x≤4，
∴这15天中共有4天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大，
故答案为：4．
25．（10分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合．如图②，△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s．EF与BC交于点P，连接OP，OE．设运动时间为t（s）（0＜t）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？
（2）设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图③，过点O作OQ⊥AB，交AC于点Q，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接HB．是否存在某一时刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当点A在线段OE的垂直平分线上，则有AE＝AO，
根据题意可得：AN＝AC﹣DE＝2cm，EN＝tcm，AO＝2tcm，
∴AE＝AN+EN＝（2+t）cm，
∵点A在线段OE的垂直平分线上，
∴AE＝AO，即2+t＝2t，
解得：t＝2，符合题意，
∴当t为2秒时，点A在线段OE的垂直平分线上；
（2）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，连接CO，
则∠OGA＝∠BHO＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
根据勾股定理得：AB10cm，
∴∠OGA＝∠BHO＝∠ACB＝90°，OB＝（10﹣2t）cm，
∴OG∥BC，OH∥AC，
∴，，即，，
解得：OG，OH，
由平移可知PC∥FD，且DE＝DF，
∴，
∴CP＝CE＝6﹣t，
∴S＝S△PCO+S△CEO
；
（3）过点P作PM⊥OB于点M，
∴∠BMP＝∠ACB＝90°，
∵∠MBP＝∠ABC，
∴△BMP∽△BCA，
∴，即，
∴BM，PM，
∴OM＝AB﹣BM﹣AO＝102t＝10，
∵OQ⊥AB，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，
∴tan∠OAQ，即，
∴OH＝OQ，
∵tan∠MOP，tan∠OBH，
∵PO∥BH，
∴∠MOP＝∠OBH，
∴，
解得t，故符合题意，
∴当t为秒时，PO∥BH．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/19 13:56:49；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691方案名称
滑梯安全改造
测量工具
测角仪、皮尺等
方案设计
如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）
测量数据
【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m；
【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°；
【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.
解决问题
调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）
单价（元/盒）
销售量（盒）
第1天
50
20
第2天
48
30
第3天
46
40
第4天
44
50
…
…
…
第x天
10x+10
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
方案名称
滑梯安全改造
测量工具
测角仪、皮尺等
方案设计
如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）
测量数据
【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m；
【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°；
【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.
解决问题
调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）
单价（元/盒）
销售量（盒）
第1天
50
20
第2天
48
30
第3天
46
40
第4天
44
50
…
…
…
第x天
10x+10