2024年山东省淄博市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年山东省淄博市中考数学试卷【含解析】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列运算结果是正数的是（ ）
A．3﹣1B．﹣32C．﹣|﹣3|D．
2．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆．将30.7万用科学记数法表示为3.07×10n．则n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．（4分）如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A＝110°，则∠D的度数是（ ）
A．40°B．36°C．35°D．30°
5．（4分）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ）
A．95分，B．96分，C．95分，10D．96分，10
6．（4分）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）如图，其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）若设门的高和宽分别是x尺和y尺．则下面所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（4分）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（ ）
A．2B．C．D．
9．（4分）如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是，且MD＝4GN．则k的值是（ ）
A．5B．1C．3D．2
10．（4分）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系．
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min；
②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min；
④A，B两地之间的距离是11200m．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
11．（4分）计算： ．
12．（4分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到线段CD．若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是 ．
13．（4分）若多项式4x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 ．
14．（4分）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，，则菱形ABCD的面积为 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点∁i，得△AiBi∁i和△Ai+1Bi+1∁i，若将其面积之比记为ai，则a2024＝ ．
三、解答题（共8题90分）
16．（10分）解不等式组：，并求所有整数解的和．
17．（10分）如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE．
请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE．
你添加的条件是： （只填写一个序号）．
添加条件后，请证明AE∥CF．
18．（10分）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）
19．（10分）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：
结合调查信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生人数 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 度；
（2）补全周家务劳动时间的频数分布直方图；
（3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
（4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．
20．（12分）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
21．（12分）如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO＝2．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2的解集．
22．（13分）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB＝AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①
小明发现：CE与⊙O的位置关系是 ，请说明理由：
【实践探究】
连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．请求出当AB＝3，BC＝6时，CF长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD：DB与点F分线段DF所成的比DF：FE始终相等．请予以证明．
23．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点（点A在点B的左侧），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，抛物线与y轴相交于点C．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）已知直线l：y＝3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．
①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF＝∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点M作直线BC的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线MB，NC相交于点Q．连接QD，QE．求线段QD+QE的最小值．
2024年山东省淄博市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．（4分）下列运算结果是正数的是（ ）
A．3﹣1B．﹣32C．﹣|﹣3|D．
【解答】解：A、0，故此选项符合题意；
B、﹣32＝﹣9＜0，故此选项不符合题意；
C、﹣|﹣3|＝﹣3＜0，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．（4分）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆．将30.7万用科学记数法表示为3.07×10n．则n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：∵30.7万＝307000＝3.07×105，
∴n等于5．
故选：B．
4．（4分）如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A＝110°，则∠D的度数是（ ）
A．40°B．36°C．35°D．30°
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，∠D＝∠DBC；
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABC70°＝35°．
∴∠D＝35°．
故选：C．
5．（4分）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ）
A．95分，B．96分，C．95分，10D．96分，10
【解答】解：平均数为：96（分），
方差为：[（92﹣96）2+（96﹣96）2+（93﹣96）2+（100﹣96）2+（99﹣96）2]＝10．
故选：D．
6．（4分）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝29°，BC＝35m，
∴tan∠ACB＝tan29°，
∴AB＝35×tan29°（m），
∴用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序是35×tan29＝，
故选：A．
7．（4分）如图，其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）若设门的高和宽分别是x尺和y尺．则下面所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设门的高和宽分别是x尺和y尺，
依题意得：．
故选：D．
8．（4分）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（ ）
A．2B．C．D．
【解答】解：连接AC交MN于点F，设AB＝2m，则BC＝2AB＝4m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC2m，
∵将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线MN对称，
∴AM＝CM，MN垂直平分AC，
∴BM＝BC﹣CM＝4m﹣AM，∠AFM＝90°，AF＝CFACm，
∵AB2+BM2＝AM2，
∴（2m）2+（4m﹣AM）2＝AM2，
∴AMm，
∴MFm，
∴tan∠AMN2，
故选：A．
9．（4分）如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是，且MD＝4GN．则k的值是（ ）
A．5B．1C．3D．2
【解答】解：设AE＝EF＝FG＝a，AB＝BC＝AD＝b，
由题意得：a2+b2．
∵正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y的图象上，
∴FG∥ED∥OM，∠NFG＝∠DCM＝90°，
∴∠NGF＝∠DMC，
∴△NFG∽△DCM，
∴，
∵MD＝4GN，
∴，
∴NFb．
∵FG∥ED，
∴△NFG∽△NED，
∴，
∴，
∴b2＝4a2，
∴，
∵a＞0，
∴a．
∴b．
∴A（，），
∴k3．
故选：C．
10．（4分）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系．
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min；
②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min；
④A，B两地之间的距离是11200m．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【解答】解：①∵乙比甲晚出发30min，且当x＝50时，y＝0，
∴乙出发50﹣30＝20（min）时，两人第一次相遇，
即甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当x＝86时，y取得最大值，最大值为3600，
∴甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m，结论②正确；
③设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min，
根据题意得：，
解得：，
∴868698，
∴甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，结论③错误；
④∵200×（86﹣30）＝11200（m），
∴A，B两地之间的距离是11200m，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
11．（4分）计算： ．
【解答】解：
＝32
．
故答案为：．
12．（4分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到线段CD．若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是 （3，4） ．
【解答】解：∵点A（﹣3，1）的对应点是C（1，2），
∴线段AB向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段CD，
∴点B（﹣1，3）的对应点D的坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
13．（4分）若多项式4x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 ±12 ．
【解答】解：∵多项式4x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，
∴﹣mxy＝±2×2x×3y，
则﹣m＝±2×2×3＝±12，
解得：m＝±12，
故答案为：±12．
14．（4分）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，，则菱形ABCD的面积为 96 ．
【解答】解：作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC，
∵四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴BC＝10，OD＝OBBD，OA＝OC，AC⊥BD，
∴，∠BOC＝90°，
∴OHBC＝5，
∵OH∥EC，，
∴△OFH∽△EFC，
∴，
∴ECOH5＝6，
∵AC＝DC，AC⊥BD，∠ACD＝2∠OEC，
∴∠ACB＝∠ACD＝2∠OEC＝∠COE+∠OEC，
∴∠OEC＝∠COE，
∴OC＝EC＝6，
∴OB8，
∴BD＝2OB＝16，AC＝2OC＝12，
∴S菱形ABCDBD•AC16×12＝96，
故答案为：96．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点∁i，得△AiBi∁i和△Ai+1Bi+1∁i，若将其面积之比记为ai，则a2024＝ ．
【解答】解：①由A1（1，0）得B1（1，），
由A2（2，0）得B2（2，1），
设直线A1B2的解析式为y＝kx+b，
代入由A1（1，0），B2（2，1）得：
，
∴k＝1，b＝﹣1，
∴直线A1B2的解析式为y＝x﹣1，
同理直线A2B1的解析式为yx，
联立得x﹣1x，
∴x，
∴C1（，），
∴ai（）÷[1×（2）]．
②由A3（3，0）得B3（3，），
同①方法得直线A2B3的解析式为yx，
直线A3B2的解析式为y＝﹣x+3，
联立得xx+3，
∴x，
∴C1（，），
∴a21×（）÷[（）]，
•••，
∴a2024．
故答案为：．
三、解答题（共8题90分）
16．（10分）解不等式组：，并求所有整数解的和．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1；
解不等式②得：x＞﹣4，
∴原不等式组的解集﹣4＜x＜1，
∴不等式组所有整数解的和为﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣6．
17．（10分）如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE．
请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE．
你添加的条件是： ①（答案不唯一） （只填写一个序号）．
添加条件后，请证明AE∥CF．
【解答】解：当选择①BF＝DE时，△ABF≌△CDE，证明如下：
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SSS），
∴∠B＝∠D，
∴AE∥CF；
当选择②∠BAF＝∠DCE时，△ABF≌△CDE，证明如下：
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS）；
∴∠B＝∠D，
∴AE∥CF；
当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE，
故答案为：①（答案不唯一）．
18．（10分）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）
【解答】解：由对话可得a＝﹣3，b＝2，
原式

，
当a＝﹣3，b＝2时，
原式．
19．（10分）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：
结合调查信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生人数 100 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 126 度；
（2）补全周家务劳动时间的频数分布直方图；
（3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
（4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．
【解答】解：（1）参与本次问卷调查的学生人数为20÷20%＝100（名）．
在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为360°126°．
故答案为：100；126．
（2）周家条劳动时间是③2～2.5的人数为100﹣10﹣20﹣35﹣10＝25（人）．
补全周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示．
（3）800176（人）．
∴估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数约176人．
（4）列表如下：
共有25种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴两人恰好选到同一门课程的概率为．
20．（12分）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：32（1+x）2＝50，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，
由题意得：m（160040）＝240000，
整理得：m2﹣500m+60000＝0，
解得：m1＝200，m2＝300（不符合题意，舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
21．（12分）如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO＝2．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2的解集．
【解答】解：（1）由y＝k1x+2得D（0，2），
∵tan∠ACO＝2，
∴2，
∴C（﹣1，0），
代入y＝k1x+2得k1＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x+2．
过A作AM⊥x轴，如图1．
∴tan∠ACO2，
∵AM＝4，
∴CM＝2，
∴OM＝1，
∴A（1，4），
代入y得k2＝4，
∴反比例函数解析式为y．
（2）如图2：过A作AN∥y轴，交BE于N．
联立y＝2x+2和y得x2+x﹣2＝0，
∴x＝﹣2或1，
∴B（﹣2，﹣2）．
∴BD2，
∴DE＝DB＝2，
∴OE4，
∴E（4，0），
设直线BE解析式为y＝mx+n，
∴，
∴m，n，
∴直线BE解析式为yx，
∴N（1，﹣1），
∴△ABE面积（4+1）（4+2）＝15．
（3）看图得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2，即2x+2．
22．（13分）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB＝AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①
小明发现：CE与⊙O的位置关系是 CE与⊙O相切 ，请说明理由：
【实践探究】
连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．请求出当AB＝3，BC＝6时，CF长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD：DB与点F分线段DF所成的比DF：FE始终相等．请予以证明．
【解答】解：操作发现：
连接CO并延长交⊙O于点M，连接AM，
∵MC是⊙O直径，
∴∠MAC＝90°，
∴∠AMC+∠ACM＝90° 由旋转的性质得∠B＝∠ACE，
∵∠B＝∠AMC，
∴∠ACE＝∠AMC，
∵OCE＝∠ACM+∠ACE＝∠ACM+∠AMC＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE与⊙O相切；
实践探究：由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD即∠BAC＝∠DAE，
∵AB＝AC，
∴，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝∠ACB，
∵∠ADC＝∠ADE+∠CDF＝∠B+∠BAD，
∴∠CDF＝∠BAD，
∴△ABD∽△DCF，
∴，
设BD＝x，
则CD＝6﹣x，
∴，
∴CF（6﹣x）（x﹣3）2，
∵0，
∴当x＝3时，CF有最大值为 ；
问题解决：证明：过点E作EN∥BC交AC于点N，
∴∠ENC＝∠ACB，
由旋转的性质知：∠B＝∠ACE，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴∠ENC＝∠ACE，
∴EN＝CE，
由旋转的性质得：△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BD＝EN，
∵EN∥BC，
∴△CDF∽△NEF，
∴，
∵BD＝EN，
∴．
23．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点（点A在点B的左侧），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，抛物线与y轴相交于点C．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）已知直线l：y＝3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．
①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF＝∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点M作直线BC的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线MB，NC相交于点Q．连接QD，QE．求线段QD+QE的最小值．
【解答】解：（1）∵x1，x2是x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点，
∴，
解得，
∴抛物线函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①存在，理由如下：
∵直线y＝3x+9与x、y轴分别交于点D、E，
∴x＝0时，y＝9，
y＝0时，3x+9＝0，x＝﹣3，
∴点D（﹣3，0）、E（0，9），
∴OD＝3，OE＝9，
∴tan∠OED，
由抛物线可知：当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠FCE＝∠OCB＝45°，
∵∠DFB是△CEF的外角，
∴∠DFB＝∠FCE+∠FEC＝45°+∠FEC，
∵∠DFB＝∠PBF＝∠CBO+∠PBQ＝45°+∠PBQ，
∴∠PBQ＝∠FEC，
∴tan∠PBQ，
设P（m，﹣m2+2m+3），则BQ＝3﹣m，PQ＝m2﹣2m﹣3，
∴，
∴m＝3（舍去）或，
∴P（，）；
②∵过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N，
设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的解析式 为：y＝﹣x+n，
设直线BM的解析式为y＝k1x+m，
将B（3，0）代入得3k1+m＝0，
解得：m＝﹣3k1，
∴直线BM的解析式为y＝k1x﹣3k1，
设直线CN的解析式为y＝k2x+m1，
将C（0，3）代入得m1＝3，
∴直线CN的解析式为y＝k2x+3；
联立方程组，得x2﹣3x+n﹣3＝0，
∴x1+x2＝3，
将M（x1，y1）代入y＝k1x﹣3k1，y＝﹣x2+2x+3 得：
，
∴（k1﹣2）x﹣3（k1+1）＝0，
∴（x1﹣3）[x1+（k1+1）]＝0，
解得：k1＝﹣1﹣x1，
将N（x2，y2）代入y＝k2x+3，y＝﹣x2+2x+3 得：
，
∴（ k2﹣2）x2＝0，
∴x2（x2+k2﹣2）＝0，
解得：k2＝2﹣x2，
联立方程组，
得出xQ，
∴点Q在直线x上运动，
在y＝3x+9中，令x＝0，则y＝9，即E（0，9），
如图，作点E关于直线x的对称点E'，连接DE'交直线x于Q'，连接EQ'，则E'（3，9），
由轴对称性质可得EQ'＝EQ'，
∴QD+QE的最小值＝DQ'+EQ'＝DQ'+E'Q'＝DE'，
由两点之间线段最短可得：线段QD+QE的最小值为DE'，
∵DE'，
∴线段QD+QE的最小值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/10 22:38:22；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691调查目的
了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式
随机问卷调查随机问卷调直
调查对象
随机问卷调直部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在1～3.5h范围内）
调查内容
（1）你的周家条劳动时间（单位，h）是
①1～1.5②1.5～2③2～2.5④2.5～3⑤3～3.5
（2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门）
A．家政B．烹饪C．剪纸D．园艺E．陶艺
调查结果

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①1～1.5②1.5～2③2～2.5④2.5～3⑤3～3.5
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A．家政B．烹饪C．剪纸D．园艺E．陶艺
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A
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（A，A）
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