2024年青岛市中考真题数学试卷(解析版)

这是一份2024年青岛市中考真题数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达60000立方米．将60000用科学记数法表示为（ ）
A．6×103B．60×103C．0.6×105D．6×104
【解析】60000＝6×104．
【答案】D
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】A不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则A不符合题意；
B是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则B不符合题意；
C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则C不符合题意；
D既是轴对称图形，也是中心对称图形，则D符合题意．
【答案】D
3．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（ ）
A．aB．bC．cD．d
【解析】从数轴上看，离原点距离最近的点是实数c对应的点，
那么这四个实数中绝对值最小的是c．
【答案】C
4．如图所示的正六棱柱，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】根据图示的正六棱柱可得其俯视图是．
【答案】C
5．下列计算正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2B．a5÷a2＝a3
C．（﹣a）2•a3＝﹣a5D．（2a3）2＝2a6
【解析】a+2a＝3a，则A不符合题意；
a5÷a2＝a3，则B符合题意；
（﹣a）2•a3＝a5，则C不符合题意；
（2a3）2＝4a6，则D不符合题意．
【答案】B
6．如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A'B'C'D'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（1，2）
【解析】由题意得，平移前B（﹣3，0），A（﹣1，﹣1），
∵将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，
∴平移方式为向右平移3个单位长度，
∴平移后点A的对应点坐标为（2，﹣1），
如图所示，设E（2，﹣1）绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，
∴∠OHF＝∠OGE＝90°，
由旋转的性质可得∠EOF＝90°，OE＝OF，
∴∠HOF+∠HFO＝∠GOE+∠HOF，
∴∠HFO＝∠GOE，
∴△HFO≌△GOE（AAS），
∴OH＝GE，HF＝OG，
∵E（2，﹣1），
∴OH＝GE＝1，HF＝OG＝2，
∴F（﹣1，﹣2），
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，﹣2）．
【答案】A
7．为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（ ）
A．90°B．99°C．108°D．135°
【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE＝∠E=(5-2)×180°5=108°，
∵四边形CDFG为正方形，∴∠CDF＝90°，∠CFD＝45°，
∴∠FDE＝108°﹣90°＝18°，∠DFM＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FME＝360°﹣18°﹣135°﹣108°＝99°．
【答案】B
8．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA＝3，AB=CD，∠DBC＝25°，连接AD，则扇形AOB的面积为（ ）
A．54πB．58πC．52πD．512π
【解析】如图，连接AC，
则∠DAC＝∠DBC＝25°，
∵AB=CD，
∴∠ADB＝∠DAC＝25°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝50°，
∵OA＝3，
∴扇形AOB的面积为50π×32360=54π．
【答案】A
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】∵函数图象开口向上，与y轴交于正半轴，与x轴没有交点
∴a＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0，
∵对称轴为x=-b2a=-1，
∴b＝2a＞0，
∴2a﹣b＝0，
∴M（c，2a﹣b）在x轴正半轴上，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，
则N（b2﹣4ac，a﹣b+c）在第二象限，
∴过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过第三象限．
【答案】C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10．计算：18+（13）﹣1﹣2sin45°＝ ．
【解析】原式＝32+3﹣2×22
＝32+3-2
＝22+3．
【答案】22+3
11．图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地2024年5月27日至31日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2 s乙2.（填“＞”，“＝”，“＜”）．
【解析】甲地：平均数：28+29+26+28+295=28，
s甲2=(28-28)2+(29-28)2+(26-28)2+(28-28)2+(29-28)25=1.2；
乙地：平均数：32+24+22+28+345=28，
s乙2=(32-28)2+(24-28)2+(22-28)2+(28-28)2+(34-28)25=20.8；
则s甲2＜s乙2．
【答案】＜
12．如图，菱形ABCD中，BC＝10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO＝ ．
【解析】∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC＝CD＝DA＝10，
∵S菱形ABCD=12AC•BD＝60，
∴AC•BD＝120，
∴BO•OC＝30，
∵BO2+CO2＝BC2＝100，
∴（BO+OC）2﹣2BO•CO＝100，
∴BO+CO＝410 （负值已舍去），
∴BO＝410-OC，
∴BO2+CO2＝102，
∴（410-OC）2+CO2＝100，
∴CO=10，CO＝310（舍去），
∵AE⊥BC，AO＝CO，
∴OE＝CO=10．
【答案】10
13．如图，某小区要在长为16 m，宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m．
【解析】设小路宽为x m，
根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）=12×12×16，
解得x＝2或x＝12（舍去），
∴小路宽为2m．
【答案】2
14．如图，△ABC中，BA＝BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E．过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON＝10，cs∠ABC=35，则半径OC的长为 ．
【解析】连接OE，如图：
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠OCE，
∴∠OEC＝∠BAC，
∴AB∥OE，
∴∠ABC＝∠EOC，
∵cs∠ABC=35，
∴cs∠EOC=35，
∵MN是⊙O的切线，∴∠OEN＝90°，∴OEON=35，
∵ON＝10，∴OE＝6，∴OC＝OE＝6．
【答案】6
15．如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块．
【解析】先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，则6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，则需图②的个数：6×2＝12（个）；
同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4，3，2的长方体，用4×3＝12个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，此时需要：2×3×4×6＝144（个）．
【答案】12；144
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
16．已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．
求作：四边形内一点P，使EP∥BC，且点P到AB，AD的距离相等．
解：作∠DAB的平分线AM，以E为顶点，ED为一边作∠DEN＝∠C，EN交AM于P，如图：
点P即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共71分）
17．（1）解不等式组：x-12≤1x＜3(x+2)；
（2）先化简（a2+1a-2）÷a2-1a，再从﹣2，0，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
解：（1）解第一个不等式得：x≤3，
解第二个不等式得：x＞﹣3，
故原不等式组的解集为﹣3＜x≤3；
（2）原式=a2+1-2aa÷(a+1)(a-1)a
=(a-1)2a•a(a+1)(a-1)
=a-1a+1；
∵a≠0，（a+1）（a﹣1）≠0，
∴a≠0，a≠±1，
∴a＝﹣2或3，
当a＝﹣2时，原式=-2-1-2+1=3；
当a＝3时，原式=3-13+1=12．
18．某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为 °；
（2）该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；
（3）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点．研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断 班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）
解：（1）总人数：52÷26%＝200（人），
D组人数：200﹣30﹣52﹣38＝80；如图：
A所对应的圆心角的度数为：30200×360°=54°；
（2）去海洋馆：1600×80200=640（人），
即该校约有640名学生想去海洋馆；
（3）甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95，
平均数：75+80×2+82+83+85+90×3+9510=85，众数：90；中位数：83+852=84，
则甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班，则甲班的竞赛成绩更好．
19．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 13 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
解：（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到1，2，3的三张纸牌的可能性相同，
∴摸到“1”的概率是13；
（2）游戏公平，理由如下：
根据题意列表如下：
由表可知：共有9种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于4的有3种，两次摸到的数字之和小于4的有3种，
∴小明获胜的概率是39=13，小红获胜的概率为39=13，
∴两人获胜的概率相等，
∴游戏公平．
20．“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
（参考数据：sin32°≈1732，cs32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，cs42°≈34，tan42°≈910）
解：如图，过点E作EH⊥AG于H，则四边形CDHE为矩形，
∴EH＝CD＝1.8 m，DH＝CE＝1 m，
在Rt△CDF中，∠CFD＝42°，CD＝1.8 m，
则DF=CDtan∠CFD≈1.8910=2（m），
∴HF＝DF﹣DH＝2﹣1＝1（m），
在Rt△EHG中，∠EGH＝32°，EH＝1.8 m，
则HG=EHtan∠EGH≈1.858=2.88（m），
∴FG＝HG﹣HF＝1.88（m），
答：调整后的滑梯会多占约为1.88 m的一段地面．
21．为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的45．
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的12，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
解：（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为（x﹣35）元，
根据题意得：2000x=1800x-35×45，
解得x＝125，
经检验，x＝125是方程的解，也符合题意，
∴x﹣35＝125﹣35＝90，
∴航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元；
（2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型（120﹣m）个，
∵航空模型数量不少于航海模型数量的12，
∴m≥12（120﹣m），
解得m≥40，
根据题意得：W＝125×0.8m+90（120﹣m）＝10m+10800，
∵10＞0，
∴当m＝40时，W取最小值，最小值为10×40+10800＝11200，
此时120﹣m＝120﹣40＝80，
∴购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少．
22．如图，点A1，A2，A3，…，An，An+1为反比例函数y=kx（k＞0）图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线，垂足分别为点H1，H2，H3，…，Hn；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2，…，过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn．
记△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn．
（1）当k＝2时，点B1的坐标为 ，
S1+S2＝ ，
S1+S2+S3＝ ，
S1+S2+S3+⋯+Sn＝ （用含n的代数式表示）；
（2）当k＝3时，S1+S2+S3+⋯+Sn＝ （用含n的代数式表示）．
解：（1）当k＝2时，y=kx=2x，
当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1，
∴A1（1，2），A2（2，1），
∴B1H1＝1，
∴B1＝（1，1），
同理：
A1(1，21)，A2(2，22)，A3(3，23)，A4(4，24)⋯⋯An(n.2n)，An+1(n+1，2n+1)，
∴S1=12×1×(21-22)，
S2=12×1×(22-23)，
S3=12×1×(23-24)，
……
Sn=12×1×(2n-2n+1)，
∴S1+S2=12×1×(21-22+22-23)=12×1×(21-23)=23；
S1+S2+S3=12×1×(21-24)=34，
……
S1+S2+S3+⋯+Sn=12×1×(21-2n+1)=nn+1；
故答案为：（1，1），23，34，nn+1；
（2）当k＝3时，y=3x，
∴A1(1，31)，A2(2，32)，A3(3，33)⋯⋯An(n，3n)，An+1(n+1，3n+1)，
∴S1+S2+S3+……+Sn=12×1×(31-3n+1)=3n2n+2．
23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时BCAB的值．
（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：当∠ABE等于30度时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵AB＝BO，BE⊥AO，
∴∠ABO＝2∠ABE＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝BO，∠BAO＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴tan∠BAC＝tan60°=BCAB=3．
24． 5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园：
第x天的单价、销售量与x的关系如表：
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．
B樱桃园：
第x天的利润y2（元）与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2+bx+25刻画，其图象如图：
（1）A樱桃园第x天的单价是 元/盒（用含x的代数式表示）；
（2）求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本）
（3）①y2与x的函数关系式是 ；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2）最大，最大是多少元？
（4）这15天中，共有 天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．
解：（1）设第x天的单价m元与x满足的一次函数关系式为：m＝kx+b，
由题中表格可知：当x＝1时，m＝50；当x＝2时，m＝48；
∴k+b=502k+b=48，解得k=-2b=52，
∴m＝﹣2x+52，
故答案为：﹣2x+52；
（2）根据题意可得：y1＝（﹣2x+52）（10x+10）﹣745，
化简整理得：y1=-20x2+500x-225，
∴A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式为：y1=-20x2+500x-225；
（3）①由图象可知：二次函数y2=ax2+bx+25的图象经过点（1，495）、（2，905），
∴a+b+25=4954a+2b+25=905，解得a=-30b=500，
∴y2＝﹣30x2+500x+25，
故答案为：y2＝﹣30x2+500x+25；
②y1+y2=(-20x2+500x-225)+(-30x2+500x+25)=-50x2+1000x﹣200
＝﹣50（x﹣10）2+4800，
∵﹣50＜0，
∴当x＝10时，y1+y2有最大值4800，
∴第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元；
（4）由题可知：y2＞y1，
∴﹣30x2+500x+25＞﹣20x2+500x﹣225即﹣10x2＞﹣250，
解得：﹣5＜x＜5，
∵x取正整数，
∴1≤x≤4，
∴这15天中共有4天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．
25．（10分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6 cm，边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合．如图②，△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2 cm/s．EF与BC交于点P，连接OP，OE．设运动时间为t（s）（0＜t≤165）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？
（2）设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图③，过点O作OQ⊥AB，交AC于点Q，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接HB．是否存在某一时刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）当点A在线段OE的垂直平分线上，则有AE＝AO，
根据题意可得：AN＝AC﹣DE＝2 cm，EN＝t cm，AO＝2t cm，
∴AE＝AN+EN＝（2+t）cm，
∵点A在线段OE的垂直平分线上，
∴AE＝AO，即2+t＝2t，
解得：t＝2＜165，符合题意，
∴当t为2秒时，点A在线段OE的垂直平分线上；
（2）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，连接CO，
则∠OGA＝∠BHO＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
根据勾股定理得：AB=AC2+BC2=10 cm，
∴∠OGA＝∠BHO＝∠ACB＝90°，OB＝（10﹣2t）cm，
∴OG∥BC，OH∥AC，
∴OGBC=AOAB，OHAC=OBAB，即OG6=2t10，OH8=10-2t10，
解得：OG=6t5，OH=40-8t5，
由平移可知PC∥FD，且DE＝DF，
∴PCFD=CEDE，
∴CP＝CE＝6﹣t，
∴S＝S△PCO+S△CEO=12PC⋅OH+12CE⋅OG=12CP(OH+OG)
=12(6-t)(40-8t5+6t5)=15t2-265t+24；
（3）过点P作PM⊥OB于点M，∴∠BMP＝∠ACB＝90°，
∵∠MBP＝∠ABC，∴△BMP∽△BCA，
∴BMBC=PMAC=BPAB，即BM6=PM8=t10，∴BM=35t，PM=45t，
∴OM＝AB﹣BM﹣AO＝10-35t-2t＝10-135t，
∵OQ⊥AB，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，
∴tan∠OAQ=OQOA=BCAC=68=34，即OQ2t=34，∴OH＝OQ=32t，
∵tan∠MOP=PMOM=45t10-135t，tan∠OBH=OHOB=32t10-2t，
∵PO∥BH，∴∠MOP＝∠OBH，∴45t10-135t=32t10-2t，
解得t=7023＜165，故符合题意，∴当t为7023秒时，PO∥BH．
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2
3
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5
6
方案名称
滑梯安全改造
测量工具
测角仪、皮尺等
方案设计
如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）
测量数据
【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8 m；
【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°；
【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.
解决问题
调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）
单价（元/盒）
销售量（盒）
第1天
50
20
第2天
48
30
第3天
46
40
第4天
44
50
…
…
…
第x天
10x+10