2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（八）

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（八），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A，B为全集U的子集，若∁UA⊆∁UB，则A∪（∁UB）＝（ ）
A．AB．BC．UD．∅
2．（5分）已知复数z满足|z|+z＝8+4i，则z＝（ ）
A．3+4iB．3﹣4iC．﹣3+4iD．﹣3﹣4i
3．（5分）已知一个圆锥的体积为3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（ ）
A．B．3C．D．
4．（5分）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．立冬的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长短
5．（5分）已知双曲线C：x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．18
6．（5分）已知，sinβ﹣2csα＝1，，则＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知F1、F2是双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点，若|ON|＝，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A．y＝±xB．y＝±C．y＝±xD．y＝±x
8．（5分）已知f（x）＝3sinx+2，对于任意的，都存在，使得f（x1）+2f（x2+θ）＝3成立，则下列选项中，θ可能的值是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
（多选）9．（5分）已知随机事件A，B发生的概率分别为P（A）＝0.3，P（B）＝0.6，下列说法正确的有（ ）
A．若P（AB）＝0.18，则A，B相互独立
B．若A，B相互独立，则P（B|A）＝0.6
C．若P（B|A）＝0.4，则P（AB）＝0.12
D．若A⊆B，则P（A|B）＝0.3
（多选）10．（5分）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影为，则向量与的夹角为
C．是与共线的唯一的单位向量
D．存在θ，使得
（多选）11．（5分）设m∈R，过定点M的直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与过定点N的直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0相交于点P，线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝4的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．l1一定垂直l2
B．|PM|+|PN|的最大值为
C．点P的轨迹方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2
D．|+|的最小值为
（多选）12．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，点D是线段BC1上的动点（不含端点），则以下正确的是（ ）
A．AC∥平面A1BD
B．CD与AC1不垂直
C．∠ADC的取值范围为
D．AD+DC的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）的图象关于y轴对称，且与直线y＝x相切，写出满足上述条件的一个函数f（x）＝ ．
14．（5分）以抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F为端点的一条射线交抛物线于点A，交y轴于点B，若|AF|＝2，|BF|＝3，则p＝ ．
15．（5分）甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析，5人的名次排列可能有 种不同情况？（填数字）
16．（5分）对于集合E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{，，…，}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中＝＝…＝＝1，其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0．
（1）子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”的前四项和等于 ；
（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi+pi+1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”为q1，q2，…，q100，满足q1＝1，qj+qj+1+qj+2＝2，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝1﹣nan（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，求T2n的表达式．
18．（12分）在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝3AB＝3．
（1）若CA＝CD，且cs∠ABC＝﹣，求△ABC的面积S；
（2）若cs∠DAC＝，cs∠ACD＝，求BD的长．
19．（12分）如图，在四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝．沿BA将△PAB翻折到△SBA的位置，使得SD＝．
（1）作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l⊥平面CSB；
（2）点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角Q﹣BDC的余弦值为时，求此时三棱锥Q﹣BC﹣D的体积．
20．（12分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m3）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中ui＝，）．
（1）利用样本相关系数的知识，判断y＝a+bx与y＝c+哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？
（2）根据（1）的结果回答下列问题：
（i）建立y关于x的回归方程；
（ii）样本对原点的距离x＝20时，金属含量的预报值是多少？
（3）已知该金属在距离原点xm时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为W＝1000（y﹣lnx）（1≤x≤100），根据（2）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？
附：对于一组数据（t1，s1），（t2，s2），…，（tn，sn），其线性相关系数r＝，
其回归直线s＝α+βt的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝．
21．（12分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的上顶点为B（0，1），过点（，0）且与x轴垂直的直线被截得的线段长为．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）设直线l1交椭圆Γ于异于点B的P，Q两点，以PQ为直径的圆经过点B，线段PQ的中垂线I2与x轴的交点为（x0，0），求x0的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣asinx，a＞0，其中e是自然对数的底数．
（1）当x＞0，f（x）＞0，求a的取值范围；
（2）当x＞1时，求证：＞sinx﹣sin（lnx）．
2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（八）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A，B为全集U的子集，若∁UA⊆∁UB，则A∪（∁UB）＝（ ）
A．AB．BC．UD．∅
【分析】由∁UA⊆∁UB，得B⊆A，由此能求出A∪（∁UB）．
【解答】解：∁UA⊆∁UB，得B⊆A，
∴A∪（∁UB）＝U．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）已知复数z满足|z|+z＝8+4i，则z＝（ ）
A．3+4iB．3﹣4iC．﹣3+4iD．﹣3﹣4i
【分析】直接利用复数对应关系和模的应用求出结果．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
所以a+bi+＝8+4i，
故，
解得：，故z＝a+bi，
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：复数的模的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
3．（5分）已知一个圆锥的体积为3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（ ）
A．B．3C．D．
【分析】根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果．
【解答】解：设底面半径为r，高为h，母线为l，如图所示：
则圆锥的体积，所以r2h＝9，即，
，则l＝2r，
又，所以，故．
故选：C．
【点评】本题主要考查锥体的相关计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
4．（5分）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．立冬的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长短
【分析】根据冬至与夏至的晷长，计算出公差，再根据公差判断出每项的正确与否．
【解答】解：由题意知：设晷长为等差数列{an}，公差为d，则a1＝135，a13＝15，
解得d＝﹣10．
∴相邻两个节气晷长减少的量为一尺，故A正确．
秋分的晷长为：a7＝75，春分的晷长为：75，春分和秋分两个节气的晷长相同，故B正确．
立冬的晷长为：a4＝105即为一丈五寸，故C正确．
立春的晷长为105与立秋的晷长为45，故D不正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的应用，属于基础题．
5．（5分）已知双曲线C：x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．18
【分析】由双曲线的方程可得a，b，c，渐近线方程，求得P的坐标，由三角形的面积公式，计算可得所求值．
【解答】解：由双曲线的方程x2﹣＝1，可得a＝1，b＝2，c＝3，
可得渐近线方程为y＝±2x，
设P在渐近线y＝2x上，
因为|OP|＝|PF2|，所以P的横坐标为c＝，即有P（，3），
所以△PF1F2的面积为|F1F2|•3＝3×3＝9．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及三角形的面积，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．（5分）已知，sinβ﹣2csα＝1，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】将等式两边同时平方然后相加，得到β﹣α＝，然后代入，进行整理，利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．
【解答】解：等式sinβ﹣2csα＝1，，两边同时平方相加得，
sin2β+4cs2α+4sin2α+cs2β+4（sinαcsβ﹣csαsinβ）＝1+2＝3，
即1+4+4sin（α﹣β）＝3，得4sin（α﹣β）＝﹣2，得sin（α﹣β）＝﹣，即sin（β﹣α）＝，
∵，∴β﹣α＝，
得α＝β﹣，
代入，得2sin（β﹣）+csβ＝，
即sinβ＝，即sinβ＝，
则sin（α+）＝，
∵＝sin（α﹣+）＝sin（α+）＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用同角关系式以及诱导公式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
7．（5分）已知F1、F2是双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点，若|ON|＝，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A．y＝±xB．y＝±C．y＝±xD．y＝±x
【分析】延长F1N与MF2，交于K，连接ON，由三角形的中位线定理和双曲线的定义、垂直平分线的性质，结合双曲线的a，b，c的关系，可得渐近线方程．
【解答】解：延长F1N与MF2，交于K，连接ON，
由题意可得MN为边KF1的垂直平分线，
则|MF1|＝|MK|，
且N为KF1的中点，|ON|＝|KF2|，
由双曲线的定义可得|MF1|﹣|MF2|＝|MK|﹣|MF2|＝|F2K|＝2a，
则|ON|＝a＝×2c，
即c＝2a，b＝＝a，
可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及垂直平分线的性质和三角形的中位线定理的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
8．（5分）已知f（x）＝3sinx+2，对于任意的，都存在，使得f（x1）+2f（x2+θ）＝3成立，则下列选项中，θ可能的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意可知，，若对于任意的，都存在，使得f（x1）+2f（x2+θ）＝3成立，则，进而有再将选项中的值，依次代入验证，即可求解．
【解答】解：由题意，f（x）＝3sinx+2，f（x1）+2f（x2+θ）＝3，
即3sinx1+2+2[3sin（x2+θ）+2]＝3，
故3sinx1+6sin（x2+θ）+3＝0，
即sinx1+1＝﹣2sin（x2+θ），
所以，
∵，
∴，
若对于任意的，都存在，使得f（x1）+2f（x2+θ）＝3成立，
则，
因为，所以，
对于A：当时，的取值不符合条件，故A错误；
对于B：当时，的取值不符合条件，故错误；
对于C：当时，的取值符合条件，故C正确；
对于D：当时，的取值不符合条件，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的单调区间及最值的求法，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
（多选）9．（5分）已知随机事件A，B发生的概率分别为P（A）＝0.3，P（B）＝0.6，下列说法正确的有（ ）
A．若P（AB）＝0.18，则A，B相互独立
B．若A，B相互独立，则P（B|A）＝0.6
C．若P（B|A）＝0.4，则P（AB）＝0.12
D．若A⊆B，则P（A|B）＝0.3
【分析】根据题意，利用相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式以及条件概率公式，依次判断所给的4个结论即可．
【解答】解：对于A，P（AB）＝0.18，P（A）P（B）＝0.18，P（AB）＝P（A）P（B），则A，B相互独立，正确；
对于B，若A，B相互独立，则P（B|A）＝＝P（B）＝0.6，正确；
对于C，P（B|A）＝0.4，则＝0.4，P（A）＝0.3，则P（AB）＝0.12，正确；
对于D，若A⊆B，则P（A|B）＝＝0.5，错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影为，则向量与的夹角为
C．是与共线的唯一的单位向量
D．存在θ，使得
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若⊥，则•＝csθ+sinθ＝0，变形可得tanθ＝﹣，A错误；
对于B，向量，，则||＝，||＝1，
若在上的投影为，则有||cs＜，＞＝＝﹣，变形可得cs＜，＞＝﹣，
则向量与的夹角为，B正确；
对于C，与共线的单位向量有2两个，互为相反向量，C错误；
对于D，当tanθ＝时，、方向相同，此时，D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
（多选）11．（5分）设m∈R，过定点M的直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与过定点N的直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0相交于点P，线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝4的一条动弦，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．l1一定垂直l2
B．|PM|+|PN|的最大值为
C．点P的轨迹方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2
D．|+|的最小值为
【分析】利用已知条件判断两条直线的位置关系判断A；在△MNP中，设∠PMN＝θ，表示出|PM|+|PN|，利用三角函数的最值判断B；求出P的轨迹，判断C；推出D的轨迹，利用向量的平行四边形法则，求解|+|的最小值判断选项D．
【解答】解：直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与l2：x+my﹣3m﹣1＝0垂直，所以A正确；
l1过定点M（3，1），l2过定点N（1，3），
在△MNP中，设∠PMN＝θ，
则，所以B不正确；
由，可得点P轨迹方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2（x≠3），所以C不正确；
作CD⊥AB，则，
∴点D轨迹方程为（x+1）2+（y+1）2＝2．
∵，的最小值为，
∴的最小值为．
故选：AD．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查轨迹方程的求法，向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力．
（多选）12．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，点D是线段BC1上的动点（不含端点），则以下正确的是（ ）
A．AC∥平面A1BD
B．CD与AC1不垂直
C．∠ADC的取值范围为
D．AD+DC的最小值为
【分析】将直三棱柱ABC﹣A1B1C1，中补成正方体，
A，利用线面平行的判定即可；
B，取D为C1B的中点，进行判定；
C，判断以AC为直径的球与C1B的交点情况即可；
D，将面CBC1翻折至与ABC1共面，即可求AD+DC的最小值．
【解答】解：依题作图，如图1，并将其补成正方体，如图2
对于A，因为AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1BD，所以AC∥平面A1BD，故A正确；
对于B，当D为C1B的中点，CD与CB1重合，根据正方体的性质可得CD⊥AC1，故B错；
对于C，判断以AC为直径的球与C1B的交点情况，
如图3，取AC中点F，则，
当FD⊥B1C时，FD＝＝，
所以以AC为直径的球与C1B没有交点．所以，故C错；
对于D，将面CBC1翻折至与ABC1共面，此时点C与E1重合，所以AD+DC的最小值为，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了空间线面位置关系，考查了空间动点问题，属于难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）的图象关于y轴对称，且与直线y＝x相切，写出满足上述条件的一个函数f（x）＝ x2+ ．
【分析】由对称轴的计算公式可得到b＝0，函数f（x）的图象与直线y＝x相切，则可知函数与直线的方程组只有一解，可得a，c的关系，从而得到函数解析式．
【解答】解：由f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
∵f（x）的图象关于y轴对称，
∴对称轴x＝﹣＝0，∴b＝0，
∴f（x）＝ax2+c，
联立得 ，
整理得ax2+c＝x，即ax2﹣x+c＝0，
∵f（x）的图象与直线y＝x相切，
∴Δ＝1﹣4ac＝0，∴ac＝，
∴满足条件的二次函数可以为f（x）＝x2+．
故答案为：x2+．
【点评】此题主要考查二次函数的解析式求解及相切求解问题，属于基础题．
14．（5分）以抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F为端点的一条射线交抛物线于点A，交y轴于点B，若|AF|＝2，|BF|＝3，则p＝ 3 ．
【分析】由题意知，＝＝，再结合抛物线的定义，得解．
【解答】解：∵|AF|＝2，|BF|＝3，
∴|AB|＝1，＝，
∴＝＝，
∴xA＝，
由抛物线的定义知，|AF|＝xA+＝+＝＝2，
∴p＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查抛物线的定义与几何性质，考查数形结合思想和运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析，5人的名次排列可能有 54 种不同情况？（填数字）
【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；
再排甲，也有3种情况；
余下3人有A33种排法．
故共有3•3•A33＝54种不同的情况．
故答案为：54．
【点评】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．
16．（5分）对于集合E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{，，…，}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中＝＝…＝＝1，其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0．
（1）子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”的前四项和等于 3 ；
（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi+pi+1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”为q1，q2，…，q100，满足q1＝1，qj+qj+1+qj+2＝2，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为 33或34 ．
【分析】（1）根据“特征数列”的定义求出子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”，由此能求出它的前四项和．
（2）由已知定义可求出集合P，Q，由此能求出P∩Q的元素个数．
【解答】解：（1）根据“特征数列”的定义可知子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”为：
1，0，1，1，1，0，0，•••，0，
∴子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”的前四项和为：1+0+1+1＝3．
（2）P的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，•••，1，0，
Q的“特征数列”满足qj+qj+1+qj+2＝2，且q1＝1，q2＝1，q3＝0或q2＝0，q3＝1，
∴Q的“特征数列”为1，1，0，1，1，0，1，1，0，•••，0，1或1，0，1，1，0，1，•••，0，1，1，
∴P＝{a1，a3，a5，a7，•••，a97，a99}，
Q＝{a1，a2，a4，a5，•••，a97，a98，a99}或Q＝{a1，a3，a4，a6，•••，a97，a99，a100}＜
∵P，Q的“特征数列”周期的最小公倍数为6，
一个周期内P∩Q的元素个数为2，共有100÷6＝16••••••4，
∴P∩Q的元素个数为16×2+1＝33或16×2+2＝34个．
故答案为：3；33或34．
【点评】本题考查集合的运算，考查新定义、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝1﹣nan（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，求T2n的表达式．
【分析】（1）先将n＝1代入题干已知条件计算出a1的值，当n≥2时，由Sn＝1﹣nan，可得Sn﹣1＝1﹣（n﹣1）an﹣1，两式相减并进一步推导可得＝，再运用累乘法即可计算出数列{an}的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用分组求和法即可计算出T2n的表达式．
【解答】解：（1）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝1﹣a1，解得a1＝，
当n≥2时，由Sn＝1﹣nan，
可得Sn﹣1＝1﹣（n﹣1）an﹣1，
两式相减，可得an＝1﹣nan﹣1+（n﹣1）an﹣1，
化简，得（n+1）an＝（n﹣1）an﹣1，
整理，得＝，
则a1＝，＝，＝，＝，•••，＝，＝，
各项相乘，
可得an＝•••••••••＝，
故an＝，n∈N*．
（2）由（1），可得＝（﹣1）n•n（n+1），
则T2n＝﹣+﹣+﹣•••﹣+
＝﹣1×2+2×3﹣3×4+4×5﹣•••﹣（2n﹣1）•2n+2n•（2n+1）
＝2×（3﹣1）+4×（5﹣3）+•••+2n•[（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝2×2+4×2+•••+2n×2
＝4×（1+2+•••+n）
＝4×
＝2n2+2n．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和法求前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，累乘法，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18．（12分）在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝3AB＝3．
（1）若CA＝CD，且cs∠ABC＝﹣，求△ABC的面积S；
（2）若cs∠DAC＝，cs∠ACD＝，求BD的长．
【分析】（1）利用三角函数化简已知条件，然后通过余弦定理求出BC，再根据三角形的面积公式即可求出；
（2）通过同角的三角函数的关系，正弦定理求出AD，利用余弦定理求出．
【解答】解：（1）由cs∠ABC＝﹣，可得sin∠ABC＝，
在△ABC中，AB＝1，AC＝CD＝3
由余弦定理，知AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cs∠ABC，
所以9＝1+BC2+BC，即3BC2+BC﹣24＝0，
解得BC＝，或BC＝﹣（舍），
所以△ABC的面积S＝AB•BC•sin∠ABC＝×1××＝．
（2）在△ADC中，因为cs∠DAC＝，cs∠ACD＝，
所以sin∠DAC＝＝，sin∠ACD＝，
由正弦定理＝，
所以AD＝＝，
又cs∠BAD＝cs（∠DAC+∠ACD）＝cs∠DACcs∠ACD﹣sin∠DACsin∠ACD＝﹣＝﹣，
在△ABD中，由余弦定理，知BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cs∠BAD＝1++2××＝7，
所以BD＝．
【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理三角形的面积的求法，考查计算能力，属于中档题．
19．（12分）如图，在四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝．沿BA将△PAB翻折到△SBA的位置，使得SD＝．
（1）作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l⊥平面CSB；
（2）点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角Q﹣BDC的余弦值为时，求此时三棱锥Q﹣BC﹣D的体积．
【分析】（1）延长BA，CD相交于E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l．
在△SAD中，求解三角形可得SA⊥AD，进一步证明AD⊥平面SAB，得到BC⊥平面SAB，则BC⊥SE，再证明SE⊥SB，即可得到SE⊥平面CSB，从而可得l⊥平面CSB；
（2）由（1）知，SA⊥AB，AD⊥AB，AD⊥SA，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设（0＜λ＜1），分别求出平面QBD的一个法向量与平面CBD的一个法向量，由二面角Q﹣BDC的余弦值为可得点Q是SC的中点，进一步可得三棱锥Q﹣BCD的体积．
【解答】解：（1）如图，延长BA，CD相交于E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l.
证明：在△SAD中，SA＝1，AD＝，SD＝，则SA2+AD2＝SD2，∴SA⊥AD，
由SA⊥AD，AD⊥AB，SA∩AB＝A，得AD⊥平面SAB，
又BC∥AD，∴BC⊥平面SAB，则BC⊥SE，
由PD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝，得AE＝1，
∴AE＝AB＝SA，可得SE⊥SB，
又∵BC∩SB＝B，∴SE⊥平面CSB，
即l⊥平面CSB；
（2）由（1）知，SA⊥AB，AD⊥AB，AD⊥SA．
以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1），
，设（0＜λ＜1），则Q（λ，λ，1﹣λ），
，
设是平面QBD的一个法向量，
则，取x＝2，可得，
是平面CBD的一个法向量，
由|cs＜＞|＝，
解得，∴点Q是SC的中点，
∴＝．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角及多面体体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m3）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中ui＝，）．
（1）利用样本相关系数的知识，判断y＝a+bx与y＝c+哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？
（2）根据（1）的结果回答下列问题：
（i）建立y关于x的回归方程；
（ii）样本对原点的距离x＝20时，金属含量的预报值是多少？
（3）已知该金属在距离原点xm时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为W＝1000（y﹣lnx）（1≤x≤100），根据（2）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？
附：对于一组数据（t1，s1），（t2，s2），…，（tn，sn），其线性相关系数r＝，
其回归直线s＝α+βt的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝．
【分析】（1）分别计算y＝a+bx和y＝c+的线性相关系数，再比较大小即可；
（2）（i）根据参考公式计算和，即可得y关于x的回归方程；
（ii）把x＝20代入（i）中得到的回归方程，求得的值即可；
（3）W＝1000（100﹣﹣lnx），令f（x）＝100﹣﹣lnx，利用导数求得f（x）在[1，100]上的最大值，即可得解．
【解答】解：（1）y＝a+bx的线性相关系数r1＝＝≈0.898，
y＝c+的线性相关系数r2＝＝≈﹣0.996，
∵|r1|＜|r2|，
∴y＝c+更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型．
（2）（i）＝＝＝﹣10，
＝﹣＝97.9﹣（﹣10）×0.21＝100，
∴＝100﹣10u＝100﹣，
∴y关于x的回归方程为＝100﹣．
（ii）当x＝20时，金属含量的预报值为＝100﹣＝99.5g/m3．
（3）W＝1000（y﹣lnx）＝1000（100﹣﹣lnx），
令f（x）＝100﹣﹣lnx，则f'（x）＝﹣＝，
当1≤x＜10时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当10＜x≤100时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）在x＝10处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值，
故x为10时，开采成本最大．
【点评】本题考查回归方程的求法与应用，相关系数的计算，还涉及利用导数求最值，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的上顶点为B（0，1），过点（，0）且与x轴垂直的直线被截得的线段长为．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）设直线l1交椭圆Γ于异于点B的P，Q两点，以PQ为直径的圆经过点B，线段PQ的中垂线I2与x轴的交点为（x0，0），求x0的取值范围．
【分析】（1）由题意可知椭圆Γ过点（，），代入椭圆Γ方程，结合b＝1即可求出a的值，从而得到椭圆Γ的标准方程．
（2）由题意可知直线l1的斜率一定存在，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l1的方程为y＝kx+m，与椭圆方程联立，由韦达定理可得，x1x2＝，因为以PQ为直径的圆经过点B，所以，即（﹣x1）（﹣x2）+（1﹣y1）（1﹣y2）＝0，化简整理可求出m的值，所以直线l2的方程为y+＝﹣（x+），令y＝0得x0＝，对k的范围分情况讨论，结合基本不等式即可求出x0的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知椭圆Γ过点（，），
∴，解得，
∴椭圆Γ的标准方程为．
（2）由题意可知直线l1的斜率一定存在，设直线l1的方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程，消去y得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，
∴，x1x2＝，
∵以PQ为直径的圆经过点B，∴，
∴（﹣x1）（﹣x2）+（1﹣y1）（1﹣y2）＝0，
∴x1x2+1﹣（y1+y2）+y1y2＝0，
又∵y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝+2m＝，
y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝＝+km+m2＝，
∴+1﹣+＝0，
整理得2m2﹣m﹣1＝0，
解得m＝1（舍去）或﹣，
∴直线l1的方程为y＝kx﹣，
设PQ的中点为G，则G（，），
∴直线l2的方程为y﹣＝﹣（x﹣），即y+＝﹣（x+），
令y＝0得x0＝，
当k＝0时，x0＝0，
当k＞0时，x0＝＝＝，当且仅当＝3k即k＝时，等号成立，
当k＜0时，x0＝＝＝﹣≥，当且仅当﹣＝﹣3k即k＝﹣时，等号成立，
∴x0的取值范围为[﹣，]．
【点评】本题主要考查了椭圆的坐标方程，考查了直线与椭圆的位置关系，涉及韦达定理、中点坐标公式，以及基本不等式等知识，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣asinx，a＞0，其中e是自然对数的底数．
（1）当x＞0，f（x）＞0，求a的取值范围；
（2）当x＞1时，求证：＞sinx﹣sin（lnx）．
【分析】（1）求出f（x）的导函数，再对a分类讨论，求出f（x）的最值，即可求解满足题意的a的取值范围；
（2）分析可得，即证f（x）＞f（lnx）（此时a＝2），由f（x）的单调性可得证名x＞lnx即可，不妨令g（x）＝x﹣lnx，利用导数证得g（x）＞0即可得证．
【解答】解：（1）由题意可知f'（x）＝ex+e﹣x﹣acsx，
①当0＜a≤2时，由﹣1≤csx≤1可知﹣2≤﹣a≤acsx≤a≤2，
又因为ex+e﹣x≥2恒成立，
所以f'（x）＝ex+e﹣x﹣acsx≥0恒成立，
所以y＝f（x）在[0，+∞）上恒为增函数．
又f（0）＝0，
所以f（x）＞0对x＞0恒成立；
②当a＞2时，，
且可知y＝ex+e﹣x与y＝acsx必有一个交点，不妨设为x0，
所以y＝f（x）在[0，x0）上为减函数，在[x0，+∞）为增函数，
又f（0）＝0，
所以f（x0）＜0，与题意不符，故舍去．
综合可知a的取值范围是（0，2]．
（2），
只需证，
即证，
即证ex﹣e﹣x﹣2sinx＞elnx﹣e﹣lnx﹣2sin（lnx），
即证f（x）＞f（lnx）（此时a＝2），
由（1）问可知当0＜a≤2时y＝f（x）在[0，+∞）上恒为增函数．
所以即证x＞lnx，不妨令g（x）＝x﹣lnx，
则
所以y＝g（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增．
又因为g（x）min＝g（1）＝1＞0
所以g（x）＝x﹣lnx＞0恒成立，即x＞lnx，
所以原结论得证．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数证明不等式，考查分类讨论思想、逻辑推理与运算求解能力，属于难题．
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