湖南省长沙市雅礼中学2023届高三下学期月考(八)数学试题（原卷及解析版）

雅礼中学2023届高三月考试卷（八）

数学

命题人：杨明光 刘志涛 审题人：张鎏

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，求（    ）

A.  B.

C.  D. 或

2. 下列说法正确的是（    ）

A. “”是“”充要条件

B. “”是“”的必要不充分条件

C. 命题“”否定形式是“”

D. “”是“”的充分不必要条件

3. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（    ）

A. 11π B. 12π C. 15π D. 16π

4. 在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，，则的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 若函数只有一个极值点，则a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知双曲线：与抛物线：有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线相交于点B，若点A为线段FB的中点，双曲线的离心率为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 上级某部门为了对全市名初二学生的数学水平进行监测，将获得的样本数学水平分数数据进行整理分析，全部的分数可按照，，，，分成组，得到如图所示的频率分布直方图则下列说法正确的是（    ）

A. 图中的值为

B. 估计样本数据的分位数为

C. 由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数低于分的人数约为

D. 由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数分及以上的人数占比为

10. 一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 事件A和事件B互为对立事件

C.  D. 事件A和事件B相互独立

11. 如图，正方体棱长为，是直线上一个动点，则下列结论中正确的是（    ）

A. 的最小值为

B. 的最小值为

C. 三棱锥的体积不变

D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长

12. 对于定义在区间上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（    ）

A.  B. ，

C.  D. ，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 的展开式中含项的系数为____________.

14. 已知为抛物线上的一个动点，直线，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为________．

15. 已知三棱锥满足，平面，，若，则其外接球体积的最小值为__________．

16. “数列”是每一项均为或的数列，在通信技术中应用广泛．设是一个“数列”，定义数列：数列中每个都变为“”，中每个都变为“”，所得到的新数列．例如数列，则数列．已知数列，且数列，，记数列的所有项之和为，则__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知数列的前项的和为,且.

（1）当时,求证数列为等比数列,并求的通项公式;

（2）当时,不等式对于任意都成立,求的取值范围.

18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A大小；

（2）若边上的中线，求面积的最大值．

19. 如图，在四棱锥中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，ABDC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.

（1）证明：平面EAC⊥平面PBC；

（2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角P-AC-E的余弦值.

20. 某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.

（3）现从数学成绩优秀样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.

附：

21. 已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，T的离心率为．

（1）求椭圆T的标准方程；

（2）设，且，过点D的直线l与椭圆T交于不同的两点M，N，是T的右焦点，且与互补，求面积的最大值．

22. 已知函数（a为非零常数），记（），．

（1）当时，恒成立，求实数a的最大值；

（2）当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上．