2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（九）

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（九），共28页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣3≤x＜4}，B＝{x|lg2（x+2）＜2}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．3B．7C．8D．128
3．（5分）函数f（x）＝（﹣1）sinx图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（ ）
A．21尺B．25尺C．29尺D．33尺
5．（5分）“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）下列对不等关系的判断，正确的是（ ）
A．若，则a3＞b3B．若，则2a＜2b
C．若lna2＞lnb2，则2|a|＞2|b|D．若tana＞tanb，则a＞b
7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0）的右焦点为F，圆x2+y2＝c2（c为双曲线的半焦距）与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，且线段AF的中点M落在另一条渐近线上，则双曲线C的方程是（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．x2﹣＝1
8．（5分）若不等式aln（x+1）﹣2x3+3x2＞0在区间（0，+∞）内的解集中有且仅有三个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）如果，，都是非零向量．下列判断正确的有（ ）
A．若∥，∥，则∥B．若，则
C．若，则D．若，则∥
（多选）10．（5分）如图是国家统计局发布的2020年12月至2021年12月的全国居民消费价格涨跌幅，其中同比＝×100%，环比＝×100%．
则下列说法正确的是（ ）
A．2020年12月至2021年12月全国居民消费价格环比的极差为1.5%
B．2020年12月至2021年12月全国居民消费价格同比的中位数为0.9%
C．这13个月中，2021年6月全国居民消费价格最低
D．2021年比2020年全国居民消费平均价格增长大于1.0%
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，，且满足①；②＝0；③f（x）在区间单调，则下述结论中正确的为（ ）
A．ω＝2
B．
C．函数f（x）的图象关于直线对称
D．函数f（x）在区间单调递增
（多选）12．（5分）记＜x＞表示与实数x最接近的整数，数列{an}通项公式为（n∈N*），其前n项和为Sn，设，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．n≥k2﹣k+1D．S2022＜90
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在（1﹣）5的展开式中，x2的系数为 ．（用数字作答）
14．（5分）2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有10支，冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下，先进行循环赛，循环赛的规则规定：每支队伍都要和其余9支队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照比赛规则决出前4名进行半决赛．胜者决冠军，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是 ．
15．（5分）在△ABC中，AB＝AC＝2，csA＝，将△ABC绕BC旋转至△BCD的位置，使得AD＝，如图所示，则三棱锥D﹣ABC外接球的体积为 ．
16．（5分）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，F1，F2为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若|MN|+|MF1|的最大值为6．动直线l为此椭圆C的切线，右焦点F2关于直线l的对称点P（x1，y1），S＝|3x1+4y1﹣24|，则：
（1）椭圆C的离心率为 ；
（2）S的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①a8＝2a4+1，②4是a1，a3的等比中项，③S5＝4a1a2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a6﹣a1，且_______．
（1）求an；
（2）设数列{}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并说明理由．
18．（12分）如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为，点P在圆柱OQ的底面圆周上，且△OPB是边长为的等边三角形，点G是线段DP上的动点．
（1）若G是DP的中点，求证：AG⊥BD；
（2）若，求GB与平面GOP所成角的余弦值．
19．（12分）已知等腰三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，c（c+b）＝（a+b）（a﹣b）．
（1）求A和b；
（2）若点E，F分别是线段BC（含端点）．上的动点，且BF＞BE，在运动过程中始终有，求△EAF面积的最小值．
20．（12分）某校对学生关于开展数学研究性学习的态度进行调查，随机抽调了50人，他们数学成绩的平均分（单位：分）的频数分布及对开展数学研究性学习赞成人数如表：
（1）根据以上统计数据完成下面的2×2列联表：能否有97.5%的把握认为学生关于开展数学研究性学习的态度与数学成绩平均分为80分分界点有关？
（2）若对数学成绩平均分在[70，80）和[80，90）的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，求在选中的4人中有人不赞成的条件下，赞成开展数学研究性学习的人数ξ的分布列及数学期望．
附参考公式与数据：，n＝a+b+c+d．
21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线与x轴的交点为K，已知△KAB的面积为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知E（﹣1，4），M（﹣1，﹣4），若P在线段EM上，PH，PG是抛物线C的两条切线，切点为H，G，求△PHG面积的最大值．
22．（12分）已知函数f（x）＝sinx．
（1）当x≥0时，设，求y＝g（x）（x≥0）的最小值；
（2）若f（x）+1≥ax+csx在[0，π]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：．
2021-2022学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（九）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵＝，
∴|z|＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．
2．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣3≤x＜4}，B＝{x|lg2（x+2）＜2}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．3B．7C．8D．128
【分析】求出集合A，B，进而求出A∩B，由此能求出A∩B的子集个数．
【解答】解：集合A＝{x∈Z|﹣3≤x＜4}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
B＝{x|lg2（x+2）＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
则A∩B的子集个数为23＝8．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）函数f（x）＝（﹣1）sinx图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由函数的奇偶性可排除BD，由f（1）＜0，可排除A，进而得出正确选项．
【解答】解：由，可得，且函数的定义域为R，
则函数f（x）为偶函数，故可排除选项B，D；
又，故可排除A．
故选：C．
【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．
4．（5分）《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（ ）
A．21尺B．25尺C．29尺D．33尺
【分析】树可以近似的看成圆柱，藤条绕树缠绕，可以考虑利用圆柱的平面展开图，然后结合勾股定理可求．
【解答】解：树可以近似的看成圆柱，如图所示，圆柱的侧面展图是矩形ACBE，
由题意得，CB＝20尺，圆周长BE＝AC＝3尺，
则葛藤绕圆柱7周后长为BA＝＝＝29尺．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆柱的侧面展开图的应用，把实际问题抽象成数学模型是求解问题的关键．
5．（5分）“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充要条件的定义逐项进行判断．
【解答】解：根据题意，“x，y为无理数”，则不一定可以推出“xy为无理数”，如x＝y＝，但xy＝2是有理数，
反之，若“xy为无理数”，不一定可以推出“x，y为无理数”，例如xy＝2，x＝2是有理数，y＝是无理数，
故“x，y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，属于基础题．
6．（5分）下列对不等关系的判断，正确的是（ ）
A．若，则a3＞b3B．若，则2a＜2b
C．若lna2＞lnb2，则2|a|＞2|b|D．若tana＞tanb，则a＞b
【分析】对于选项A，a＝﹣1，b＝1时，得不出a3＞b3；对于选项B，a＝﹣3，b＝﹣4时，得不出2a＜2b；对于选项C，可得出|a|＞|b|，从而得出2|a|＞2|b|，即C正确；对于选项D，时，得不出a＞b．
【解答】解：时，得不出a3＞b3，比如a＝﹣1，b＝1，∴A错误；
得出，∴0＜|a|＜|b|，得不出2a＜2b，比如，a＝﹣3，b＝﹣4，∴B错误；
由lna2＞lnb2得，|a|＞|b|＞0，∴2|a|＞2|b|，∴C正确；
tana＞tanb得不出a＞b，比如，∴D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，举反例说明不等式不成立的方法，指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0）的右焦点为F，圆x2+y2＝c2（c为双曲线的半焦距）与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，且线段AF的中点M落在另一条渐近线上，则双曲线C的方程是（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．x2﹣＝1
【分析】先求出A的坐标，根据中点坐标公式求出M的坐标，根据双曲线的性质即可求出．
【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0）的渐近线方程为y＝±x，
由，解得或，
不妨令A（﹣a，），
∵F（c，0），
∴M（，），
∴＝•，
∴c＝2a，
∴a2+3＝4a2，
解得a＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的方程和其性质，以及渐近线方程，中点坐标，属于基础题．
8．（5分）若不等式aln（x+1）﹣2x3+3x2＞0在区间（0，+∞）内的解集中有且仅有三个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】令 f（x）＝aln（x+1），g（x）＝2x3﹣3x2．利用导数，判断g（x） 的单调性，画出 g（x） 的大致图象．结合图象，当 a≤0 时，f（x）＞g（x） 至多有一个整数解．当 a＞0 时，f（x）＞g（x） 在区间 （0，+∞） 内的解集中有且仅有三个整数，只需 ，即求实数 a 的取值范围．
【解答】解：令 f（x）＝aln（x+1），g（x）＝2x3﹣3x2，则
g′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），
令 g′（x）＞0，得 x＞1 或 x＜0；g′（x）＜0，得 0＜x＜1，
∴g（x） 在 （﹣∞，0）和 （1，+∞） 上单调递增，在 （0，1）上单调递减，
∴g（x）min＝g（1）＝﹣1，且
如图所示，
当 a≤0 时，f（x）＞g（x） 至多有一个整数解．
当 a＞0 时，f（x）＞g（x） 在区间 （0，+∞） 内的解集中有且仅有三个整数，
只需 ，即 ，
解得 ．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究不等式的解，考查学生的分析问题解决问题的能力，属于难题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）如果，，都是非零向量．下列判断正确的有（ ）
A．若∥，∥，则∥B．若，则
C．若，则D．若，则∥
【分析】由平面向量共线、数量积及模的运算逐一判断即可．
【解答】解：对于选项A，，且，则，即选项A正确；
对于选项B，，则（），则或（），即选项B错误；
对于选项C，，则，则，即选项C正确；
对于选项D，若，则与同向共线，则∥，即选项D正确，
故选：ACD．
【点评】本题考查了平面向量共线、数量积及模的运算，属基础题．
（多选）10．（5分）如图是国家统计局发布的2020年12月至2021年12月的全国居民消费价格涨跌幅，其中同比＝×100%，环比＝×100%．
则下列说法正确的是（ ）
A．2020年12月至2021年12月全国居民消费价格环比的极差为1.5%
B．2020年12月至2021年12月全国居民消费价格同比的中位数为0.9%
C．这13个月中，2021年6月全国居民消费价格最低
D．2021年比2020年全国居民消费平均价格增长大于1.0%
【分析】计算出2020年12月至2021年12月，全国居民消费价格环比的极差，判断A；利用中位数的定义判断B；根据从2021年3月至6月环比涨幅均为负值可判断C；利用平均数公式可判断D．
【解答】解：对于A，2020年12月至2021年12月，全国居民消费价格环比的最大值为1.0%，最小值为﹣0.5%，
∴2020年12月至2021年12月全国居民消费价格环比的极差为1.5%，故A正确；
对于B，2020年12月至2021年12月，全国居民消费价格同比（单位：%）从小到大依次为：
﹣0.3，﹣0.2，0.2，0.4，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1，1.3，1.5，1.5，2.3，
中位数是0.9%，故B正确；
对于C，从环比看，从2021年3至6月，环比涨幅均为负值，
∴全国居民消费价格一直在下降，
∴这13个月中，2021年6月全国居民消费价格最低，故C正确；
对于D，2021年比2020年全国居民消费平均价格增长：
（﹣0.3﹣0.2+0.4+0.9+1.3+1.1+1.0+0.8+0.7+1.5+2.3+1.5）＝＜1.0%，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，，且满足①；②＝0；③f（x）在区间单调，则下述结论中正确的为（ ）
A．ω＝2
B．
C．函数f（x）的图象关于直线对称
D．函数f（x）在区间单调递增
【分析】由①可得f（x）在处取得最值，由②可得f（x）关于对称，由③可得ω≤6，结合①②与题设条件可得ω＝2，进而判断选项．
【解答】解：由得：，
由得：，
∴ω＝4（k2﹣k1）﹣2，k1，k2∈Z，
由f（x）在区间单调得：，
又，综上可得，
故AB正确；
又函数f（x）的图象关于点对称，f（x）满足在区间单调递减，
故CD错误；
故选：AB．
【点评】本题考查了正弦函数的综合应用，属于中档题．
（多选）12．（5分）记＜x＞表示与实数x最接近的整数，数列{an}通项公式为（n∈N*），其前n项和为Sn，设，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．n≥k2﹣k+1D．S2022＜90
【分析】A特殊值n＝1判断即可；B、C由题设可得即可判断正误；D通过归纳总结得到数列{an}中有2个1，4个个个，根据S2022中{an}各对应值的项数，进而求和．
【解答】解：由题意，记〈x〉表示与实数x最接近的整数且，
当n＝1时，可得，则不正确；
由，即，可得，故成立，B正确：
由B分析知：，平方得：，
因为n∈N*且不是整数，其中k2﹣k+1是右侧的最接近的整数，所以n≥k2﹣k+1成立，C正确；
当n＝1，2时，，此时a1＝a2＝1；
当n＝3，4，5，6时，，此时；
当n＝7，8，9，10，11，12时，，此时；
当n＝13，14，⋯，20时，，此时．．
归纳得：数列{an}中有2个1，4个个个
又2，4，6，8，…构成首项为2，公差为2的等差数列{bn}，其前n项和，
而2022＝44×（44+1）+42，
所以，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了由递推数列研究数列的性质，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在（1﹣）5的展开式中，x2的系数为 5 ．（用数字作答）
【分析】求出展开式的通项公式，令x的指数为2，由此即可求解．
【解答】解：展开式的通项公式为T＝C，
令＝2，则r＝4，
所以x2项的系数为C＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14．（5分）2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有10支，冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下，先进行循环赛，循环赛的规则规定：每支队伍都要和其余9支队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照比赛规则决出前4名进行半决赛．胜者决冠军，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是 49 ．
【分析】先计算循环赛的场数，在分别计算半决赛、冠军赛、铜牌赛的场数，再相加即可．
【解答】解：循环赛有＝45场，
决出前4名后，分两组进行半决赛，半决赛举行2场，胜者决冠军举行1场，负者争铜牌举行1场，
共举行45+2+1+1＝49场，
故答案为：49．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
15．（5分）在△ABC中，AB＝AC＝2，csA＝，将△ABC绕BC旋转至△BCD的位置，使得AD＝，如图所示，则三棱锥D﹣ABC外接球的体积为 π ．
【分析】将三棱锥D﹣ABC放在长方体中，设长方体的长宽高分别是a，b，c，三棱锥D﹣ABC外接球的半径为R，根据长方体和其外接圆的关系求出R，从而求出三棱锥D﹣ABC外接球的体积．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2，csA＝，
则BC2＝22+22﹣2×2×2×＝2，BC＝，
在三棱锥D﹣ABC中，AB＝AC＝DB＝DC＝2，AD＝BC＝，
将三棱锥D﹣ABC放在长方体中，设长方体的长宽高分别是a，b，c，
三棱锥D﹣ABC外接球的半径为R，
如图示：
则a2+b2＝4，b2+c2＝4，a2+c2＝2，
则a2+b2+c2＝5，
则R＝＝，
故三棱锥D﹣ABC外接球的体积V＝πR3＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查了长方体的外接球的半径和其棱长的关系，考查四面体和长方体的关系，考查转化思想，是中档题．
16．（5分）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，F1，F2为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若|MN|+|MF1|的最大值为6．动直线l为此椭圆C的切线，右焦点F2关于直线l的对称点P（x1，y1），S＝|3x1+4y1﹣24|，则：
（1）椭圆C的离心率为 ；
（2）S的取值范围为 [7，47] ．
【分析】根据题意得|MF1|+|MF2|＝2a，所以|MN|+|MF1|＝|MN|﹣|MF2|+2a≤|NF2|+2a，求出|NF2|，即可求出c，再求出离心率；根据椭圆的光学性质可得|F1P|＝4，即点P（x1，y1）的轨迹是以（﹣1，0）为圆心，半径为4的圆，又S＝|3x1+4y1﹣24|表示点P（x1，y1）到直线3x+4y﹣24＝0的距离的5倍，再求出S的范围．
【解答】解：根据椭圆定义，得|MF1|+|MF2|＝2a，
所以|MN|+|MF1|＝|MN|﹣|MF2|+2a≤|NF2|+2a，
因为|MN|+|MF1|的最大值为6，
因为a＝2，所以|NF2|＝2，即，解得c＝1，
所以离心率为；
右焦点F2（1，0）关于直线的对称点P（x1，y1），
设切点为A，由椭圆的光学性质，可得P，A，F1三点共线，
所以|F1P|＝|F1A|+|AP|＝|F1A|+|AF2|＝2a＝4，
即点P（x1，y1）的轨迹是以（﹣1，0）为圆心，半径为4的圆，
圆心（﹣1，0）到直线3x+4y﹣24＝0的距离为，
则圆上的点到直线3x+4y﹣24＝0的距离最小值，最大值，
所以点P（x1，y1）到直线3x+4y﹣24＝0的距离为，
所以S＝|3x1+4y1﹣24|表示点P（x1，y1）到直线3x+4y﹣24＝0的距离的5倍，
则，即S∈[7，47]．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的几何性质，与圆有关的最值问题，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①a8＝2a4+1，②4是a1，a3的等比中项，③S5＝4a1a2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a6﹣a1，且_______．
（1）求an；
（2）设数列{}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并说明理由．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d（d＞0），分别选①②③，结合等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）由等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，可得Tn，再由作差比较法，即可得到结论．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d＞0），
由S3＝a6﹣a1，可得3a1+3d＝5d，即3a1＝2d，
选①a8＝2a4+1，即有a1+7d＝2a1+6d+1，即d＝a1+1，
由，解得a1＝2，d＝3，
则an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1；
选②4是a1，a3的等比中项，即有a1a3＝16，即a1（a1+2d）＝16，
由，解得a1＝2，d＝3，
则an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1；
选③S5＝4a1a2，即有5a1+10d＝4a1（a1+d），
由，解得a1＝2，d＝3，
则an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1；
（2）Sn＝2n+n（n﹣1）•3＝n2+n，
Sn+n＝n（n+1），
＝•＝（﹣），
Tn＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝，
＝，
由﹣＝＜0，
可得Tn＜．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
18．（12分）如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，圆柱OQ的侧面积为，点P在圆柱OQ的底面圆周上，且△OPB是边长为的等边三角形，点G是线段DP上的动点．
（1）若G是DP的中点，求证：AG⊥BD；
（2）若，求GB与平面GOP所成角的余弦值．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，即可证明；
（2）建系，将线面角转化为直线的方向向量与平面的法向量所成角，再利用空间向量的夹角公式求解．
【解答】解：（1）证明：∵△OPB是边长为的等边三角形，∴底面圆O半径r＝，∴直径AB＝2，
又点P在圆柱OQ的底面圆周上，∴AP⊥BP，∴AP＝BP＝3，
设圆柱高为h，又圆柱OQ的侧面积为，∴2πrh＝2πh＝6π，∴h＝3，
∴AD＝3，AP＝3，又G是DP的中点，∴AG⊥DP，•••①，
又AD⊥底面圆O，BP⊂底面圆O，∴AD⊥BP，又AP⊥BP，AD∩AP＝A，
∴BP⊥平面ADP，又AG⊂平面ADP，∴BP⊥AG，•••②，
又DP∩BP＝P，•••③，由①②③得AG⊥平面BDP，又BD⊂平面BDP，
∴AG⊥BD；
（2）如图，分别以直线PB、PA为x、y轴，以过P且垂直底面圆O的直线为z轴，建立空间右手直角坐标系，
根据（1）知：P（0，0，0），A（0，3，0），B（，0，0），D（0，3，3），∴O（，，0），又，∴G为（0，1，1），
∴，，，设平面GOP的法向量为，
则，令x＝，则y＝﹣1，z＝1，∴，设GB与平面GOP所成角为θ，
∴sinθ＝|cs|＝＝，∴csθ＝，
∴GB与平面GOP所成角的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直判断、性质，线面角概念，化归转化思想，空间向量夹角公式，属中档题．
19．（12分）已知等腰三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，c（c+b）＝（a+b）（a﹣b）．
（1）求A和b；
（2）若点E，F分别是线段BC（含端点）．上的动点，且BF＞BE，在运动过程中始终有，求△EAF面积的最小值．
【分析】（1）利用正弦定理结论，结合，可求得a；利用余弦定理结合c（c+b）＝（a+b）（a﹣b）即可求得A，从而求得b；
（2）利用（1）中的结论，分别在三角形△ABE和三角形△ABF中利用正弦定理，结合三角形面积公式，即可解出答案．
【解答】解：（1）由正弦定理得：即：（R为三角形ABC的外接圆半径），
故，
由c（c+b）＝（a+b）（a﹣b）得：c2+b2﹣a2＝﹣bc，
则，
因为A∈（0，π），故；
由等腰三角形ABC可得，
故；
（2）由（1）知：，
由点E，F分别是线段BC（含端点）上的动点，且BF＞BE，在运动过程中始终有，知点E在点F的左边，如图：
设不变，可知，
在△ABE中，由正弦定理可得，∴，
在△ABF中，由正弦定理可得，∴，
故＝，
∴，
∴三角形△AEF的面积的最小值为，此时．
【点评】本题考查了解三角形以及三角形面积的最值问题，属于中档题．
20．（12分）某校对学生关于开展数学研究性学习的态度进行调查，随机抽调了50人，他们数学成绩的平均分（单位：分）的频数分布及对开展数学研究性学习赞成人数如表：
（1）根据以上统计数据完成下面的2×2列联表：能否有97.5%的把握认为学生关于开展数学研究性学习的态度与数学成绩平均分为80分分界点有关？
（2）若对数学成绩平均分在[70，80）和[80，90）的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，求在选中的4人中有人不赞成的条件下，赞成开展数学研究性学习的人数ξ的分布列及数学期望．
附参考公式与数据：，n＝a+b+c+d．
【分析】（1）由题意填列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2）ξ的所有可能取值有0，1，2，3，计算对应的概率，即可得分布列及数学期望．
【解答】解：（1）根据统计数据填写2×2列联表，如下：
由表中数据，计算K2＝≈6.272＞5.024，
所以有97.5%的把握认为学生关于开展数学研究性学习的态度与数学成绩平均分为80分分界点有关；
（2）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3；
计算P（ξ＝0）＝＝＝，
P（ξ＝1）＝＝＝，
P（ξ＝2）＝＝＝，
P（ξ＝3）＝＝＝，
所以ξ的分布列为：
数学期望为E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．
【点评】本题考查了独立性检验，离散型随机变量的分布列及数学期望计算问题，是中档题．
21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线与x轴的交点为K，已知△KAB的面积为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知E（﹣1，4），M（﹣1，﹣4），若P在线段EM上，PH，PG是抛物线C的两条切线，切点为H，G，求△PHG面积的最大值．
【分析】（1）由题意可知A（，p），B（，﹣p），再根据面积求解p的值，从而得到抛物线C的方程．
（2）设H（x1，y1），G（x2，y2），PH的方程为y＝k（x﹣x1）+y1．联立抛物线方程，根据Δ＝0可得切线PH的方程为y1y＝2（x+x1），同理得到切线PG的方程，再根据点P在切线PQ，PH上，进而得直线GH的方程，联立抛物线的方程并表达出△PHG面积，结合韦达定理化简求解即可．
【解答】解：（1）抛物线C的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，直线l的方程为x＝，
∴K（﹣，0），
联立方程，解得或，
不妨设A（，p），B（，﹣p），则|AB|＝2p，
∴S△KAB＝＝＝4，
解得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x．
（2）∵E（﹣1，4），M（﹣1，﹣4），P在线段EM上，∴P（﹣1，m），且﹣4≤m≤4，
由题意，切线PH，PG的斜率存在，
设H（x1，y1），G（x2，y2），PH的方程为y＝k（x﹣x1）+y1，
联立方程，消去y得：，
∴Δ＝﹣4＝﹣16k（y1﹣kx1）+16＝0，
整理得＝＝0，解得k＝，
∴切线PH的方程为y﹣y1＝（x﹣x1），即y1y＝2（x+x1），
同理可得切线PG的方程为y2y＝2（x+x2），
又∵点P在切线PG，PH上，∴，
得到直线GH的方程为my＝2（﹣1+x），
即x＝+1，联立，得y2﹣2my﹣4＝0，
∴|GH|＝＝4+m2，
又∵点P到直线GH的距离d＝＝，
∴S△PGH＝＝＝，
∵﹣4≤m≤4，∴0≤m2≤16，4≤4+m2≤20，
∴，
即△PHG面积的最大值为20．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝sinx．
（1）当x≥0时，设，求y＝g（x）（x≥0）的最小值；
（2）若f（x）+1≥ax+csx在[0，π]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：．
【分析】（1）根据题意，所以g′（x）＝﹣sinx+x（x≥0），得g″（x）＝﹣csx+1≥0在[0，+∞）上恒成
立，即g′（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g′（x）≥g′（0）＝0，即g（x）在[0，+∞）上单调递增，求解即可；
（2）根据题意得当x∈（0，π]时，恒成立，设，所以，再设h（x）＝xcsx+xsinx﹣sinx+csx﹣1，所以h′（x）＝x（csx﹣sinx），可以求出h（x）的单调性，进而得到h（x）在上存在唯一零点，设为x0，确定g（x）的单调性，求出g（x）的最小值即可；
（3）根据题意得，构造，求解证明即可．
【解答】解：（1）根据题意，函数f′（x）＝csx，所以，
则g′（x）＝﹣sinx+x（x≥0），故g′′（x）＝﹣csx+1≥0在[0，+∞）上恒成立，
所以g′（x）在[0，+∞）上单调递增，则有g′（x）≥g′（0）＝0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
则有g（x）≥g（0）＝cs0+0﹣1＝0，故y＝g（x）（x≥0）的最小值为0；
解：（2）根据题意得：sinx+1≥ax+csx在[0，π]上恒成立，
当x＝0时，a∈R；当x∈（0，π]时，，设，
，
设h（x）＝xcsx+xsinx﹣sinx+csx﹣1，h′（x）＝x（csx﹣sinx），
则时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；时，h′（x）＜0，
h（x）单调递减．而，
所以h（x）在上存在唯一零点，设为x0，则x∈（0，x0）时，h（x）＞0，g′（x）＞0；
x∈（x0，π]时，h（x）＜0，g′（x）＜0，所以g（x）在x0处取得最大值，
在x＝π处取得最小值，所以，综上所述：实数a的取值范围为．
证明：（3）由（2）知：x∈[0，π]时，，所以，所以，
即，
所以
＝，
所以．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查学生的运算能力，属于难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/6/12 11:34:41；用户：高中数学；邮箱：hnyx7@qq.cm；学号：47305390成绩
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
5
10
15
10
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赞成人数
4
8
12
5
2
1
成绩不低于80分的人数
成绩低于80分的人数
合计
赞成
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合计
P（K2≥k0）
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
成绩
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
5
10
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10
5
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赞成人数
4
8
12
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成绩不低于80分的人数
成绩低于80分的人数
合计
赞成
不赞成
合计
P（K2≥k0）
0.050
0.025
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k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
成绩不低于80分的人数
成绩低于80分的人数
合计
赞成
3
29
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不赞成
7
11
18
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