湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期月考卷（八）数学试卷（含答案）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期月考卷（八）数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A=x|x−2x−32)=0.2
10.设α，β，γ表示三个不同的平面，m表示直线，则下列选项中，使得α//β的是( )
A. m//α，m//βB. m⊥α，m⊥βC. γ//α，γ//βD. γ⊥α，γ⊥β
11.已知曲线C:(x−y)2+λ(y−1)2=5，λ∈R，则下列选项正确的是( )
A. ∃λ∈R，使得曲线C为圆
B. ∀λ∈R，曲线C都关于点(1,1)中心对称
C. 当λ=1时，x∈1− 10,1+ 10
D. 当λ=−1时，直线y=x+12是曲线C的一条渐近线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)= ．①fx1x2=fx1+fx2；②f(x)在(0,+∞)上是增函数．
13.已知F为双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，A是E的右顶点，P是E上一点，且PF⊥PA，∠PFA=60°，则E的离心率为 ．
14.数列an的前n项和为Sn，且满足an+1−an=1,3，a1=2，则S10可能的不同取值的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD⊥CD,AB//CD，AB=AD=PD=2,CD=4，点E是棱PC上靠近P端的三等分点．
(1)证明：PA//平面BDE；
(2)求平面BDE与平面PBC夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知tanC+ 3=tanB 3tanC−1．
(1)求角A；
(2)若a= 3，▵ABC所在平面内有一点D满足∠BDC=23π，且BC平分∠ABD，设∠ABC=x．
(i)求▵ACD面积表达式φ(x)；
(ii)确定▵ACD面积的取值范围．
17.(本小题15分)
椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，过F且斜率为k1的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，OA+OB=OD，设直线OD的斜率为k2，且k1⋅k2=−12．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上一点，且O为▵PAB的重心，求|AB|+|PF|．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=xlnx．
(1)若f(x)在区间(a,+∞)上单调，求实数a的取值范围；
(2)若函数g(x)=f(x)−bx2有两个不同的零点．
(i)求实数b的取值范围；
(ii)若xlnx−bx2x2−cx+d≤0恒成立，求证：2c0，知函数φ(x)=4sin3xcsx在区间0,π3上单调递增，
又φ(0)=0，φπ3=3 34，故▵ACD面积的取值范围为0,3 34．

17.(1)设Ax1,y1，Bx2,y2，则Dx1+x2,y1+y2，又A，B在椭圆C上，
∴x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，两式作差x12−x22a2+y12−y22b2=0，整理得：k1⋅k2=y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=−b2a2=−12，
∴a2=2b2，又a2−b2=1，
∴a2=2，b2=1，故椭圆C的方程为x22+y2=1．
(2)设直线l的方程为y=k(x−1)，
与椭圆C联立并整理得：2k2+1x2−4k2x+2k2−2=0，Δ=8(k2+1)>0，
∴x1+x2=4k22k2+1，则y1+y2=kx1+x2−2=−2k2k2+1，
又O恰为△PAB的重心，故P坐标为−x1−x2,−y1−y2，即P−4k22k2+1,2k2k2+1
因为P在椭圆C上，即(−4k22k2+1)2+22k2k2+12=2，
故16k4+8k2=22k2+12，即4k4=1，解得k2=12，
∴|PF|= −4k22k2+1−12+2k2k2+12= (−1−1)2+12=3 22，
而x1+x2=4k22k2+1=1，x1⋅x2=2k2−22k2+1=−12，
故|AB|= 1+k2⋅ x1+x22−4x1x2= 1+12⋅ 1−4×−12=3 22；
∴|AB|+|PF|=3 22+3 22=3 2．

18.(1)由题设f′(x)=lnx+1，当00，即ℎ(x)在定义域上递增，所以函数至多有1个零点，不符；
当b>0时，01b时ℎ′(x)0，得b