2025年江苏省常州市中考数学结课试卷附答案

这是一份2025年江苏省常州市中考数学结课试卷附答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）点A（1，2025）关于y轴的对称点是（ ）
A．（﹣1，2025）B．（1，﹣2025）
C．（﹣1，﹣2025）D．（2025，1）
2．（2分）方程x2﹣2x＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
3．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tanB等于（ ）
A．513B．125C．1213D．512
4．（2分）某校航模兴趣小组共有40位同学，他们的年龄分布如表：
则这40名同学年龄的中位数是（ ）
A．12岁B．13岁C．14岁D．15岁
5．（2分）如图，在△ABC中，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．其中点B，C，D，E处的读数分别为8，16，10.5，14.5，若直尺宽为3cm，则△ABC中BC边上的高为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
6．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象的顶点坐标为（﹣4，2），且与x轴的两个交点位于原点两侧，则a，b，c中为正数的（ ）
A．只有aB．只有bC．只有cD．均为正数
7．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°，AB＝2，BC边上有一动点D，作点B关于直线AD的对称点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（ ）
A．π2B．2π2C．πD．2π
8．（2分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数y＝mx﹣3m的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为（ ）
A．﹣1B．−12C．34D．1
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）若3a＝2b，则ba的值为 ．
10．（2分）一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为34，则n的值为 ．
11．（2分）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长6cm，则它的侧面积为 cm2．
12．（2分）若关于x的方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
13．（2分）已知A（3，y1），B（4，y2）是直线y＝（k﹣2）x+b上的两点，若y1＜y2，则k的取值范围是 ．
14．（2分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BECE的值是 ．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点A，AB⊥x轴，垂足为B，P是y轴上一点，若△ABP的面积为1，则k的值为 ．
16．（2分）若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是 ．
17．（2分）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，连接格点A，B，点M，N是线段AB与网格线的交点，则AM：MN：NB＝ ．
18．（2分）现有3张扑克牌，它们所标数字分别为正整数a、b、c，且1≤a＜b＜c≤9．甲、乙、丙三个同学同时从这3张扑克牌中随机各拿一张，获得与扑克牌所标数字相同数量的糖果后，完成一次游戏．已知甲、乙、丙3次游戏获得糖果之和分别为20颗、10颗、9颗，则正整数a、b、c分别为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出演算步骤）
19．（6分）计算：tan45°+2cs60°−23sin30°．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）（x﹣2）2＝（2x+3）2．
21．（8分）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中C对应圆心角的度数为 °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．
22．（8分）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“雨水”、“惊蛰”、“春分”的字样，将卡片的背面朝上．
（1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“惊蛰”的卡片的概率等于 ；
（2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“雨水”，一张写有“春分”的卡片的概率．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象l与反比例函数y=kx的图象交于M(12，4)，N(n，1)两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）点P在函数y=kx的图象上，若S△MOP＞S△MON，直接写出点P的横坐标p的取值范围．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P、Q分别在边AC、BC上，且PQ∥AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作菱形PQMN，使点M、N在边AB上；（画出一个即可，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图中，AP＝5，PC＝3，连接AQ，若AQ恰好平分∠BAC，求BC的长．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O与y轴交于点A（0，﹣1），一次函数y=−33x+b（b＞0）的图象分别交x，y轴于点B，C．
（1）如图1，当b=233时，求证：直线BC与⊙O相切；
（2）如图2，直线BC与⊙O相交，交点分别为D，E，若∠DAE＝45°，求b的值．
26．（10分）小丽对下面问题进行了一些想考，请你根据思考内容完成对应的任务．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B，与y轴相交于点C，其对称轴是直线x＝1．
（1）a＝ ，b＝ ：
（2）连接BC，P是抛物线上一动点，记点P横坐标为p，满足1＜p＜3．过点P分别作PD∥x轴，交抛物线于点D，作PE⊥BC，垂足为E，求PD+2PE的最大值；
（3）将原抛物线向右平移一定距离，使得平移后的抛物线经过点B，M是第二象限函数物线上的一点，过点M作直线MB，交平移后抛物线于点N，记点M、N的横坐标分别为m、n，判断n﹣m的值是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是；请说明理由．
28．（10分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是边BC上的动点（不与端点重合），作射线AD，在射线AD上取点P，使AP＝BD，以AP为边作正方形APMN（点M、C在射线AD同侧），则称该正方形为点D的“伴随正方形”．
（1）如图1，当PM∥BC时，点D的“伴随正方形”的边长为 ；
（2）当点D的“伴随正方形”的某个顶点（除点A外）恰好落在△ABC的边上时，求此时“伴随正方形”的边长（求出一个即可）；
（3）当边AC所在直线将点D的“伴随正方形”分成面积比为1：2的两个部分时，求此时“伴随正方形”的边长．
一．选择题（共8小题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案应接填写在答题卡相应的位置上）
1．【答案】A
【解答】解：点A（1，2025）关于y轴的对称点是（﹣1，2025）．
故选：A．
2．【答案】C
【解答】解：x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故选：C．
3．【答案】D
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴tanB=ACBC=512，
故选：D．
4．【答案】B
【解答】解：∵该班有40名同学，
∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数，
∵排序后12岁的5人，13岁的18人，
∴第20和第21个数据为13岁，13岁，
∴这个班同学年龄的中位数是13岁．
故选：B．
5．【答案】D
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于N，
∵DE∥BC，
∴AN⊥DE，
由题意可知：BC＝8cm，DE＝4cm，MN＝3cm，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ANAM=DEBC，即AM−3AM=48，
解得：AM＝6，
故选：D．
6．【答案】C
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+4）2+2，
即y＝ax2+8ax+16a+2，则b＝8a，c＝16a+2，
∵抛物线与x轴的两个交点，
∴Δ＝（8a）2﹣4a（16a+2）＞0，
解得a＜0，
∴b＝8a＜0，
∵抛物线与x轴的两个交点位于原点两侧，
∴16a+2a＜0，
∴16a+2＞0，
∴c＞0．
故选：C．
7．【答案】C
【解答】解：延长BC到点F，使FC＝BC，连接AF、AE，
∵∠C＝90°，∠BAC＝45°，AB＝2，
∴AC垂直平分BF，∠ABF＝∠BAC＝45°，
∴AF＝AB＝2，∠AFB＝∠ABF＝45°，
∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝90°，
∵点E与点B关于直线AD对称，
∴AD垂直平分BE，
∴AE＝AB＝2，
∴点E在以A为圆心，半径长为2的圆弧上运动，
∵当点D与点B重合时，则点E与点B重合；当点D与点C重合时，则点E与点F重合，
∴点E的运动路径为长以A为圆心，半径长为2，且圆心角为90°的BF的长，
∴lBF=90π×2180=π，
故选：C．
8．【答案】B
【解答】解：由题意，∵y＝mx﹣3m＝m（x﹣3），
∴一次函数y＝mx﹣3m经过（3，0），
分两种情况：
①当m＞0时，如图1，
当x＝1时，y＝m﹣3m＝﹣2m，
∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，
∴﹣1≤﹣2m＜0，
∴0＜m≤12；
②当m＜0时，如图2，
由①知：点A的坐标为（1，﹣2m），
∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，
∴0＜﹣2m≤1，
∴−12≤m＜0；
综上，m的取值范围为：0＜m≤12或−12≤m＜0．
∴符合题意的选项为B．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．【答案】32．
【解答】解：∵3a＝2b，
∴ba=32．
故答案为：32．
10．【答案】9．
【解答】解：∵摸出一个球是红球的概率为34，
∴nn+3=34，
解得n＝9，
经检验n＝9符合题意，
∴n的值为9．
故答案为：9．
11．【答案】24π．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，
∴圆锥的侧面积＝π×4×6＝24π（cm2）．
故答案为：24π．
12．【答案】1．
【解答】解：∵方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4c＝0，
解得c＝1，
故答案为：1．
13．【答案】k＞2．
【解答】解：∵3＜4，y1＜y2，
∴y＝（k﹣2）x+b中，y随x的增大而增大，
∴k﹣2＞0，
解得k＞2；
故答案为：k＞2．
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设AC＝BC＝x，
则CD=ACtanD=x33=3x，
∵∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴BECE=ABCD=x3x=33，
故答案为：33
15．【答案】2．
【解答】解：连接OA，
，
∵AB⊥x轴，垂足为B，
∴AB∥y轴，
∵点P是y轴上一点，
∴S△APB＝S△AOB＝1，
∴k＝2×1＝2，
故答案为：2．
16．【答案】3．
【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则k+b=1−k+b=−1，
解得：k=1b=1，
∴直线AB的解析式为y＝x，
当点C（m，3）在直线AB上时，m＝3，
则当m＝3时，点A，B，C不能确定一个圆，
故答案为：3．
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：取格点C、E、F，连接AC、ME、NF、BC，则BC经过点E、F，
∵网格中每个小正方形的边长均为1，
∴CE＝1，EF＝3，FB＝2，
∵AC∥ME∥NF，
∴AM：MN：NB＝CE：EF：FB＝1：3：2，
故答案为：1：3：2．
18．【答案】1，4，8．
【解答】解：根据题意得：3（a+b+c）＝20+10+9，
∴a+b+c＝13，
∵1≤a＜b＜c≤9，
∴a=1b=3c=9或a=1b=4c=8或a=1b=5c=7或a=2b=3c=8或a=2b=4c=7或a=2b=5c=6或a=3b=4c=6，
又∵甲、乙、丙3次游戏获得糖果之和分别为20颗、10颗、9颗，且8+8+4＝20，8+1+1＝10，4+4+1＝9，
∴a=1b=4c=8，
∴这三张牌的数字分别是1，4，8．
故答案为：1，4，8．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出演算步骤）
19．【答案】2−3．
【解答】解：tan45°+2cs60°−23sin30°
＝1+2×12−23×12
＝1+1−3
=2−3．
20．【答案】（1）x1=2+7，x2=2−7；
（2）x1=−13，x2=−5．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x+4＝3+4，
（x﹣2）2＝7，
则x﹣2=±7，
所以x1=2+7，x2=2−7．
（2）（x﹣2）2＝（2x+3）2，
（x﹣2）2﹣（2x+3）2＝0，
（x﹣2+2x+3）（x﹣2﹣2x﹣3）＝0，
（3x+1）（﹣x﹣5）＝0，
则3x+1＝0或﹣x﹣5＝0，
所以x1=−13，x2=−5．
21．【答案】（1）200，36；
（2）答案见解析；
（3）460名．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是50÷25%＝200，
扇形统计图中C对应圆心角的度数为：360°×20200=36°．
故答案为：200，36；
（2）B项目的人数为：200﹣54﹣20﹣50﹣46＝30，
补全条形统计图如下：
（3）2000×46200=460（名），
答：估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460名．
22．【答案】（1）13．
（2）13．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到写有“惊蛰”的卡片的结果有1种，
∴抽到写有“惊蛰”的卡片的概率为13．
故答案为：13．
（2）将“雨水”、“惊蛰”、“春分”3张卡片分别记为A，B，C，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“雨水”，一张写有“春分”的卡片的结果有：（A，C），（C，A），共2种，
∴抽到一张写有“雨水”，一张写有“春分”的卡片的概率为26=13．
23．【答案】（1）反比例函数的解析式为y=2x；一次函数的表达式为y＝﹣2x+5；
（2）点P的横坐标p的取值范围为p＞2或p＜﹣2或0＜P＜18或−18＜p＜0．
【解答】解：（1）把M（12，4）代入y=kx得4=k12，∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
把N（n，1）代入y=2x得，n＝2，
∴N（2，1），
设一次函数的表达式为y＝mx+b，
∴12m+b=42m+b=1，
解得m=−2b=5，
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+5；
（2）当P点在第一象限时，
∵点P在函数y=kx的图象上，S△MOP＞S△MON，
∴点P在点N的下方，
当△OPM的面积＝△OMN的面积时，P（2，1）
∴点P的横坐标p的取值范围为P＞2；
当P点在第三象限时，N点关于O点的对称点为（﹣2，﹣1），
当P点为（﹣2，﹣1）时，S△MOP＝S△MON，
∴p＜﹣2时，S△MOP＞S△MON，
当点P在点M的上方时，设P（p，2p），
当△MPO的面积＝△MON的面积时，
2×4−1−1−12×3×32=12×2P−1﹣1−12（12−p）（2p−4），
解得p=18（不符合题意的根舍去），
∴满足条件的p的值为0＜P＜18，
根据对称性，−18＜p＜0时也符合题意，
综上所述：p＞2或p＜﹣2或0＜P＜18或−18＜p＜0．
24．【答案】（1）见解答．
（2）323．
【解答】解：（1）如图，以点P为圆心，PQ的长为半径画弧，交AB于点N，再以点Q为圆心，PQ的长为半径画弧，交AB于点M，连接PN，QM，
则四边形PQMN即为所求．
（2）∵AQ平分∠BAC，
∴∠CAQ＝∠BAQ．
∵PQ∥AB，
∴∠CPQ＝∠CAB，
∴∠CPQ＝∠CAQ+∠BAQ＝2∠CAQ，
∵∠CPQ＝∠CAQ+∠AQP，
∴∠AQP＝∠CAQ，
∴PQ＝AP＝5．
∵∠C＝90°，PC＝3，
∴CQ=PQ2−CP2=52−32=4．
∵PQ∥AB，
∴CQCB=PCAC，
即4CB=35+3，
∴BC=323．
25．【答案】（1）证明见解答；
（2）b=63．
【解答】（1）证明：∵点A（0，﹣1），
∴OA＝1，即⊙O的半径为1，
如图1，过点O作OM⊥BC于M，
当b=233时，y=−33x+233，
当x＝0时，y=233，
∴点C的坐标为（0，233），
∴OC=233，
当y＝0时，−33x+233=0，
∴x＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴OB＝2，
由勾股定理得：BC=OC2+OB2=(233)2+22=433，
∵S△COB=12•OC•OB=12•BC•OM，
∴12×233×2=12×433×OM，
∴OM＝1，
∴直线BC与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接OD，OE，过点D作DG⊥x轴于G，过点E作EF⊥x轴于F，
∴∠DGO＝∠OFE＝90°，
∴∠EOF+∠OEF＝90°，
设OF＝a，EF＝m，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DOE＝90°，
∴∠EOF+∠DOG＝90°，
∴∠OEF＝∠DOG，
∵OD＝OE，
∴△DGO≌△OFE（AAS），
∴DG＝OF＝a，OG＝EF＝m，
∴D（﹣m，a），E（a，m），
∵点D，E在直线y=−33x+b（b＞0）上，
∴m=−33a+b①a=33m+b②，
把①代入②得：a=33（−33a+b）+b，
∴a=(3+3)b4，
∴m=−33×（3+34）b+b=3−34b，
∵a2+m2＝12，
∴[(3+3)b4]2+[(3−3)b4]2＝1，
∴b＝±63，
∵b＞0，
∴b=63．
26．【答案】（1）5；
（2）2a；
（3）△DPQ的周长等于边AB的2倍．
【解答】解：（1）设BM＝x，则CM＝BC﹣BM＝8﹣x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝8，∠C＝90°，
由折叠得，
PM＝BM＝x，
在Rt△PCM中，CP=12CD=4，
由勾股定理得，
CP2+CM2＝PM2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴BM＝5，
故答案为：5；
（2）由（1）得，
CP2+CM2＝PM2，
∴(13a)2+CM2=(a−CM)2，
∴CM=49a，PM＝a−49a=59a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠CMP+∠CPM＝90°，
由折叠知，
∠MPE＝∠B＝90°，
∴∠CPM+∠DPQ＝90°，
∴∠DPQ＝∠CMP，
∴△PDQ∽△MCP，
∴DQCP=DPCM=PQPM
∴DQ13a=23a49a=PQ59a，
∴DQ=12a，PQ=56a，
∴DQ+PQ+PD=12a+56a+23a=2a，
即△DPQ的周长为：2a；
（3）如图，
△DPQ的周长等于边AB的2倍，理由如下：
连接BM，作BW⊥PE于W，连接BQ，
∴∠BWP＝∠BWQ＝90°，
由折叠得，
∠ABP＝∠EPB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABP＝∠CPB，
∴∠EPB＝∠CPB，
∵∠BWP＝∠C＝90°，BW＝BW，
∴△BCP≌△BWP（AAS），
∴BC＝BW，CP＝PW，
∴BW＝AB，
∵∠A＝∠BWQ＝90°，BQ＝BQ，
∴△BWQ≌△ABQ（AAS），
∴AQ＝QW，
∴DQ+PQ+PD＝DQ+QW+PW+DP＝DQ+AQ+CP+DP＝AD+CD＝2AB，
即：△DPQ的周长等于边AB的2倍．
27．【答案】（1）1，﹣2；
（2）174；
（3）n﹣m＝8为定值．
【解答】解：（1）由题意得：x=1=−b2aa−b−3=0，
解得：a=1b=−2，
故答案为：1，﹣2；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，则点B（3，0），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
过点P作PH∥y轴交BC于点H，
由点B、C的坐标知，∠OBC＝45°＝∠HPE，则PE=22PH，
设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），则点D（2﹣x，x2﹣2x﹣3），
则PH＝﹣x2+3x，
则PD+2PE＝x﹣2+x+PH＝2x﹣2﹣x2+3x＝﹣x2+5x﹣2＝﹣（x−52）2+174≤174，
即PD+2PE的最大值为174；
（3）是定值，理由：
将原抛物线向右平移一定距离，使得平移后的抛物线经过点B，则抛物线向右平移了4个单位，
则新抛物线的表达式为：y＝（x﹣4）2﹣2（x﹣4）﹣3＝x2﹣10x+21，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），
由点B、M的坐标得，直线BM的表达式为：y＝（m+1）（x﹣3），
联立上式和新抛物线的表达式得：x2﹣10x+21＝（m+1）（x﹣3），
解得：x＝3（舍去）或x＝m+8＝n，
即n﹣m＝8为定值．
28．【答案】（1）3；
（2）177；
（3）2717或299．
【解答】解：（1）∵四边形APMN是正方形，
∴∠APM＝90°，
∵PM∥BC，
∴∠ADC＝∠APM＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD=12BC=3，
∴AP＝BD＝3，
故答案为：3；
（2）如图1，
当点M在AC上时，作DE⊥AC于E，作AF⊥BC于F，设DE＝a，
可得∠PAM＝45°，
∴AE＝DE＝a，
∴CE＝AC﹣AE＝5﹣a，
∴AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF＝3，
∴AF＝4，
∴tanC=AFCF=43，sinC=45，
∴tanC=DECE=43
∴a5−a=43，
∴a=207，
∴CD=DEsinC=20745=257，
∴AP＝BD＝BC﹣CD＝6−257=177；
（3）如图2，
当设AC交MN于F，
当S△AFN：S四边形APMF＝1：2时，
∴S△AFN=13S正方形APMN，
∴12AN•EN=13AN2，
∴EN=23AN，
∴tan∠PAF＝tan∠AFN=ENAN=23，
∴DEAE=32，
设DE＝2k，AE＝3k，
\∴CE＝5﹣2k，
∵tanC=DECE，
∴3k5−2k=43，
∴k=2017，
∴DE＝3k=6017，
∴CD=601745=7517，
∴AP＝BD＝6−7517=2717，
如图3，
当S△APF：S四边形AFMN＝1：2时，
∴12AP⋅PF=13AP2，
∴PF=23AP，
∴tan∠DAC=PFAP=23，
∴DEAE=23，
设DE＝2x，AE＝3x，
∴CE＝5﹣3x，
∵tanC=DECE=43，
∴2x5−3x=43，
∴x=109，
∴DE=209，
∴CD=20945=259，
∴AP＝BD＝6−259=299，
综上所述：“伴随正方形”的边长为：2717或299．
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12
13
14
15
人数（人）
5
18
14
3
【问题】如图1，在正方形纸片ABCD中，P是边CD上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点B与点P重合，折痕分别交边BC、AD于点M、N，AB的对应边为PE，PE与AD交于点Q．探究△DPQ的周长与边AB的等量关系，并证明你的结论．
【思考1】先从简单的、特殊的情况开始研究：
【任务1】若AB＝8，P恰好是边CD的中点，则BM＝ ；
【思考2】对正方形的边长一般化处理，并改变点P的位置；
【任务2】如图2，若AB=a，CP=13a，求△DPQ的周长（用含a的代数式表示）；
【思考3】通过任务1、2的解决，可猜想出△DPQ的周长与边AB的等量关系．但由于边长的一般化及点P位置的不确定，会导致DP、DQ、PQ的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？
【任务3】请猜想△DPQ的周长与边AB的等量关系，并证明你的结论．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
B
D
C
C
B
A
B
C
A
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）