2023年江苏省常州市中考数学结课试卷（含解析）

2023年江苏省常州市中考数学结课试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  点关于原点的对称点是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  方程的解是(    )

A.  B.  C. ， D. ，

3.  若线段，线段，则，的比例中项为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是(    )

A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定

5.  九班名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如图，在中，弦，相交于点，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标的和为零，则称点为“零和点”已知二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，直线与轴、轴分别相交于点、，过点作，使，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.  在函数中，自变量的取值范围是          ．

10.  若，则______．

11.  若关于的方程为常数有两个相等的实数根，则        ．

12.  如果圆锥的底面半径为，母线长为，那么它的侧面积______．

13.  在一个不透明的盒子中装有个大小相同的乒乓球，做了次摸球试验，摸到红球的频数是，估计盒子中的红球的个数是        ．

14.  在中，，，，则的长是        ．

15.  下表中两个变量与的数据满足我们初中学过的二次函数关系：

则这个二次函数图象的对称轴为        ．

16.  如图，在边长为的正方形网格中，、、、为格点，连接、相交于点，则的长为______．

17.  如图，是等边三角形，边在轴上，反比例函数的图象经过点，若，点的坐标为，则的值为        ．

18.  图是一个正方形网格，两条网格线的交点叫做格点，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：
游戏规则
两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；
新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点；
已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；
当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．
如图，甲先画出线段，乙随后画出线段若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是______填“甲”，“乙”或“不确定”．

三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
解方程：
；
．

21.  本小题分
某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目每位同学仅选一项根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：

请根据以上图表信息解答下列问题：
频数分布表中的 ______ ， ______ ；
在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为______ ；
根据统计数据估计该校名中学生中，最喜爱乒乓球这项运动的大约有多少人？

22.  本小题分
进出校园测量体温是学校常态化疫情防控的重要举措，学校有、两个测温通道，甲、乙、丙三个同学上学进校园，随机选择一个通道测量体温
甲同学通过通道进入校园的概率是______；
请用列表或画树状图的方法求出甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率．

23.  本小题分
已知在中，，是的角平分线，以上一点为圆心，为弦作．
用尺规作图作出；不写作法，保留作图痕迹
判断直线与的位置关系，并说明理由．

24.  本小题分
某小区门口安装了汽车出入道闸，道闸关闭时，如图，四边形为矩形，长米，长米，点距地面为米，道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．

如图，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为米，求点到的距离的长．

25.  本小题分
已知直线：过点，点为直线上一点，其横坐标为，过点作轴的垂线，与函数的图象交于点．
求的值；
求点的坐标用含的式子表示；
若的面积等于，求出点的横坐标的值．

26.  本小题分
如图，点是中边上一点，以为直径的与相切于点，连接．
判断与是否相似？并说明理由．
若的半径为，，求的长度．

27.  本小题分
在平面直角坐标系中，、为平面内不重合的两个点，若到、两点的距离相等，则称点是线段的“似中点”．
已知，，在点、、中，线段的“似中点”是点        ；
直线与轴交于点，与轴交于点．
求在坐标轴上的线段的“似中点”；
若的半径为，圆心在轴上，坐标为，上存在线段的“似中点”，请直接写出的取值范围．
 

28.  本小题分
如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接．

求该抛物线的解析式；
抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
抛物线上存在一点，使，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点是．
故选：．
根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，即可求解．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
，．
故选：．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则，即，
解得，线段是正数，负值舍去．
故选：．
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出的值，注意线段不能为负．
本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
 

4.【答案】 

【解析】解：的半径为，圆心到直线的距离为，且，
，
直线与的位置关系是相离，
故选：．
根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．
本题考查直线和圆的位置关系，正确记忆直线和圆的位置关系的判断方法是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：数据出现的次数最多，所以众数是；
个数据从小到大排列后，排在第位的是，故中位数是．
故选：．
根据众数、中位数的概念分别求得这组数据的众数、中位数．
本题考查了中位数、众数的概念．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

6.【答案】 

【解析】解：和都是所对的圆周角，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理得到，然后根据三角形外角的性质计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
由“零和点”的定义可得点在直线上，令，根据求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系．
【解答】
解：由题意得点在直线上，
的图象上有且只有一个“零和点”时，方程有两个相同的解，
，
解得，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：直线与轴、轴分别相交于点、，
当时，，
点坐标为，
，
当时，，
点坐标为，
，
过点作轴于点，如图所示：
则，
，
，
，
，
，
，
∽，
：：：，
，
，，
，
点坐标为，
将绕点顺时针旋转，每次旋转，
次，
个，
第次旋转结束时，点与点重合，
点坐标为，
点落在反比例函数的图象上，
，
故选：．
先求出点和点坐标，过点作轴于点，再证明∽，根据相似三角形的性质可得：：：，进一步求出点坐标，根据的旋转可知，旋转次一循环，旋转次是个循环，此时点与点重合，将点代入反比例函数解析式求解即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，规律型，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．
根据被开方数大于等于可知：，解得的范围．
【解答】
解：根据题意得：，
解得，．  

10.【答案】 

【解析】解：设，则，，
．
故答案为：．
设，则，，代入求解即可．
本题考查比例线段，解题的关键是掌握比例线段的性质，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于的方程为常数有两个相等的实数根，
，解得．
故答案为：．
先根据方程有两个相等的实数根得出，求出的值即可．
本题考查的是根的判别式，孰知当时，一元二次方程有两个相等的实数根是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：底面圆的半径为，则底面周长，侧面面积．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：做了次摸球试验，摸到红球的频数为，
摸到红球的频率是：，
估计盒子中的红球的个数为：个；
故答案为：．
根据概率公式先求出摸到红球的概率，然后乘以总球的个数即可得出答案．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，，
，
，
解得：或舍去，
故答案为：．
在中，利用锐角三角函数的定义可得，然后再利用勾股定理，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：当和当时，的值都是，
点和点关于该抛物线的对称轴对称，
该抛物线的对称轴为直线，即．
故答案为：．
根据表格中的数据知，当和当时，所对应的值相等，据此求得该抛物线的对称轴．
本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，根据表格中的数据得到点和点的对称轴即为抛物线的对称轴是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】 解：根据题意可知：，，，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据题意可得，，所以，进而可以解决问题．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形性质和勾股定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，
是等边三角形，边在轴上，，
，，，
，
，
，
，

反比例数经过点，
，
故答案为：．
作轴于，根据等边三角形的性质得出，，，解直角三角形求得，即可得到点的坐标，代入即可求得的值．
本题考查了等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，求得点的坐标是解题的关键．
 

18.【答案】乙 

【解析】解：如图中，甲只能画次线段，乙可以画次线段后，甲不能画线段了，

所以，乙一定能获胜．
故答案为：乙．
如图中，甲只能画次线段，乙可以画次线段后，甲不能画线段了，乙能获胜．
本题考查作图应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
 

20.【答案】解：，
，
则或--，
解得，；
，
，
，
则或，
解得，． 

【解析】先移项，再两边直接开平方即可得出答案；
利用配方法将方程的左边配成完全平方式后求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

21.【答案】解  ，；
；
根据统计数据估计该校名中学生中，最喜爱乒乓球这项运动的大约有
人．
答：估计该校名中学生中，最喜爱乒乓球这项运动的大约有人． 

【解析】解：人，
，
，
故答案为：，；

．
即在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为．
故答案为：；
见答案．

根据篮球的人数和频率求出总人数，再用总人数乘以羽毛球的频率，求出的值；再用乒乓球的人数除以总人数，求出的值；
用乘以最喜爱乒乓球所占的百分比，即可求出对应的扇形圆心角的度数；
用乘以样本中最喜爱乒乓球所占的百分比，即可得出答案．
本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】解：甲同学通过通道进入校园的概率是；
故答案为：；
画出树状图如图：

共种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的结果有种，
则甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的概率为． 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与画树状图法求概率：利用列表法或画树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
直接根据概率公式求解即可；
画出树状图，共种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的结果有种，由概率公式即可得出答案．  

23.【答案】解：如图，作的垂直平分线交于点，再以点为圆心，为半径作圆，
则为所作；

直线与相切．
理由如下：
连接，如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
而为的半径，
为的切线． 

【解析】作的垂直平分线交于点，然后给以点为圆心，为半径作圆即可；
连接，如图，证明得到，则，所以，则根据切线的判定方法可判断为的切线．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和直线与圆的位置关系．
 

24.【答案】解：如图，过点作于点，
由题意得：米，米，米，，

则，
四边形是矩形，
米，，
米，
，，
，
在中，，
米，
米，
米，
，
四边形是矩形，
米．
答：点到的距离的长为米． 

【解析】过点作于点，先证得四边形是矩形，可得米，，得出米，由，可得米，利用即可求得答案．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

25.【答案】解：直线：过点，
，
；
直线：，
点为直线上一点，其横坐标为，
点纵坐标为，
过点作轴的垂线，与函数的图象交于点，
点纵坐标为，
，
，
点坐标为；
，
的面积为，
的面积等于，
，
解得舍去或，
． 

【解析】将点代入求解即可；
先求出点纵坐标，根据过点作轴的垂线，与函数的图象交于点，可知点纵坐标，代入反比例函数解析式，求出点的横坐标即可；
根据的面积为，可得，求出的值即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形面积，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

26.【答案】解：与相似，理由：
连接，如图，
为的切线，
，
．
为直径，
，
，
，
，
．
，
∽；
由知：，
，
，
．
∽，
．
的半径为，
．
设，则，，
，
，
解得：不合题意，舍去或．
． 

【解析】连接，利用圆的切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质，等角的余角相等和相似三角形的判定定理解答即可；
利用直角三角形的边角关系定理，相似三角形的性质定理得到，设，则，，利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的性质定理，圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

27.【答案】 

【解析】解：根据两点间距离公式得，，
，
，，
，
，
只有，
线段的“似中点”是点，
故答案为：；
由题意知，，，
，，
所求的点为的垂直平分线与坐标轴的交点，
，
，，
，，
，；
设点到直线的距离为，

当时，上存在线段的“似中点”，
，
，
，
解得．
根据两点间的距离公式可得答案；
线段的“似中点”为的垂直平分线与坐标轴的交点，根据含角的直角三角形的性质可得答案；
设点到直线的距离为，当时，上存在线段的“似中点”，根据，即可解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了两点间的距离公式，线段垂直平分线的性质，直线与圆的位置关系，含角的直角三角形的性质等知识，找到临界状态是解题的关键．
 

28.【答案】解：把，，三点代入抛物线解析式得：
，解得：，
该抛物线的解析式为；

存在，理由：
由，
则顶点，对称轴为直线，
，
，，
，，
直线解析式为，
点，
如图，过点作，交抛物线于，此时与的面积相等，

由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则直线的表达式为：，
联立并整理得：，
解得：，
则点的坐标为或；
对于直线，设交轴于点，
令，
解得：，即点，
则，
取点使，过点作的平行线，如上图，则点，
则直线的表达式为：，
联立和得：，
则，无解，
故在点的右侧不存在点，
综上，点的坐标为或；

，，
，
，
若点在直线的上方时，

，，
，
，
，
，
，
即，
，
点，
直线解析式为：，
联立得：，
解得：，
点的坐标为；
若点在直线的下方时，
由对称性可得：点，
直线解析式为：，
联立得：，
解得：，
点的坐标为，
综上所述：点的坐标为：或 

【解析】把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式；
由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点的坐标；
分两种情况讨论，由锐角三角函数可求的长，可求点坐标，可得解析式，联立方程组可求点坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，三角形的面积公式，一次函数的性质，联立方程组求点的坐标是本题的关键．