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2023年江苏省常州外国语学校中考数学结课试卷
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这是一份2023年江苏省常州外国语学校中考数学结课试卷，共26页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省常州外国语学校中考数学结课试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分在每小题所给出的四个选项中，只有
1．（2分）﹣3的倒数为（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
2．（2分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0
3．（2分）为了有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止2022年5月底，我国疫苗接种高达3390000000剂次，数据3390000000用科学记数法表示为（ ）
A．339×107 B．3.39×109 C．33.9×109 D．0.339×1010
4．（2分）如果有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x≤0 C．x≥5 D．x≤5
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
6．（2分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），B（0，），点C是线段OA的中点，点D是线段AB上一点，将△ACD沿直线CD翻折得到△ECD，点E落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若CE⊥AB，则k的值是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．18
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）计算：＝ ．
10．（2分）计算：x3÷x＝ ．
11．（2分）分式的值为0，则x的值是 ．
12．（2分）分解因式：x2﹣4y2＝ ．
13．（2分）在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴对称的点P′的坐标是 ．
14．（2分）二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（m，4），则m＝ ．
15．（2分）如图，直线a∥b，将一个直角的顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2＝ ．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 ．
17．（2分）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB＝，AF＝2BF，那么GB＝ ．
18．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，AD是BC边上的高，将△ABC绕点C旋转到△EFC（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段AD上，连接AE，则cos∠EAF＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤
19．（6分）计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣1﹣（﹣2）2．
20．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
21．（8分）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动情况，抽样调查了该校m名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如图所示的尚不完整的两幅统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级1200名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的学生人数．
22．（8分）如图，甲、乙两个带指针的转盘分别被分割成三个面积相等和两个面积相等的扇形，转盘甲上标注的数字分别是﹣1，﹣6，8，转盘乙上标注的数字分别是﹣4，5．（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）．
（1）转动转盘甲，指针指向正数的概率是 ；
（2）若同时转动两个转盘，转盘甲的指针所指向的数记为a，转盘乙的指针所指向的数记为b，求满足a+b＜0的概率．
23．（8分）如图，矩形纸片ABCD，点E、F分别是边AD、BC上一点，将矩形纸片沿直线EF折叠，使得点B与点D重合．
（1）请用直尺和圆规作出直线EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．
24．（8分）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC．点D是x轴正半轴上一点，连接CD，∠ODC＝45°．
（1）求b和k的值；
（2）求△ACD的面积．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D、E分别是边AB、边BC上的点，连接CD，∠CDE＝∠B，F是DE延长线上一点，连接CF，∠FCE＝∠ACD．
（1）判断△CDF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝4，求的值；
（3）若sinB＝，BD＝BE．
①求的值；
②求CF的长．
27．（10分）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）填空：点B的坐标是 ；
（2）若DE＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）的表达式；
（3）在（2）的条件下，点G是第一象限内抛物线对称轴l上一点，且∠BGC＝∠BCO，求点G的坐标．
28．（10分）已知平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径是4，交x轴于点A，B．对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“弦中点”．
（1）如图1，已知点C（﹣2，0）；
①点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是关于MN的“弦中点”的是 ；
②若一次函数y＝x+b的图象上只存在一个关于MN的“弦中点”，求b的值；
（2）如图2，若C（﹣6，0），一次函数y＝x+b的图象上存在关于MN的“弦中点”，直接写出b的取值范围．
2023年江苏省常州外国语学校中考数学结课试卷
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分在每小题所给出的四个选项中，只有
1．（2分）﹣3的倒数为（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：A．
2．（2分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0
【解答】解：根据数轴得到a＜0＜b，|a|＜|b|，
则a＜b，|a|＜|b|，﹣a＜b，a+b＞0，
故选：C．
3．（2分）为了有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止2022年5月底，我国疫苗接种高达3390000000剂次，数据3390000000用科学记数法表示为（ ）
A．339×107 B．3.39×109 C．33.9×109 D．0.339×1010
【解答】解：3390000000＝3.39×109．
故选：B．
4．（2分）如果有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x≤0 C．x≥5 D．x≤5
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5．
故选：C．
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、（ab）2＝a2b2，故本选项不符合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故本选项符合题意．
故选：D．
6．（2分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：x2+x﹣1＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴一元二次方程x2+x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，
故选：A．
7．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【解答】解：∵∠BOC＝130°，
∴∠BAC＝∠BOC＝65°，
故选：C．
8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），B（0，），点C是线段OA的中点，点D是线段AB上一点，将△ACD沿直线CD翻折得到△ECD，点E落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若CE⊥AB，则k的值是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．18
【解答】解：延长ED交x轴于H，如图，
∵点A（10，0），B（0，），
∴OA＝10，OB＝，
∴AB＝＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AFC＝∠AOB＝90°，
∵∠CAF＝∠BAO，
∴△ACF∽△ABO，
∴，
∵C是OA的中点，
∴AC＝OC＝5，
∴＝＝，
∴CF＝3，AF＝4，
∵△ACD沿直线CD翻折，使得点A落在点E处，
∴CE＝AC＝OC＝5，∠CAD＝∠CED，
∵∠ACF＝∠ECH，
∴△ACF≌△ECH（ASA），
∴EH＝AF＝4，CH＝CF＝3，
∴OH＝5+3＝8，
∴E（8，4），
∵点E落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝8×4＝32，
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）计算：＝ ﹣2 ．
【解答】解：＝﹣2．
故答案为：﹣2．
10．（2分）计算：x3÷x＝ x2 ．
【解答】解：x3÷x＝x3﹣1＝x2．
故应填：x2．
11．（2分）分式的值为0，则x的值是 1 ．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
12．（2分）分解因式：x2﹣4y2＝ （x+2y）（x﹣2y） ．
【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．
13．（2分）在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴对称的点P′的坐标是 （﹣3，1） ．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
14．（2分）二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（m，4），则m＝ 2 ．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+h，
∴对称轴为直线x＝1，
∵二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（m，4），
∴A、B关于对称轴对称，
∴，
∴m＝2，
故答案为：2．
15．（2分）如图，直线a∥b，将一个直角的顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2＝ 40° ．
【解答】解：由图可知，∠3＝180°﹣90°﹣∠1＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°，
故答案为：40°．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 10°或100° ．
【解答】解：如图，点D即为所求；
在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
由作图可知：AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣80°）＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；
由作图可知：AC＝AD′，
∴∠ACD′＝∠AD′C，
∵∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，
∴∠AD′C＝40°，
∴∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．
故答案为：10°或100°．
17．（2分）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB＝，AF＝2BF，那么GB＝ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△AFE∽△BFG，
∴，
∵AF＝2BF，
∴AE＝2BG，
设BG＝a，则AE＝2a，
∵CE平分∠DCB，EF平分∠AEC，
∴∠DCE＝∠ECB，∠AEF＝∠CEF，
∵AD∥CG，
∴∠AEF＝∠G，∠DEC＝∠ECG，
∴∠CEF＝∠G，∠DEC＝∠DCB，
∴CD＝DE＝AB＝3，CE＝CG＝CD＝×＝6，
∴a+2a+3＝6，
∴a＝2﹣，
∴GB＝2﹣．
故答案为：2﹣．
18．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，AD是BC边上的高，将△ABC绕点C旋转到△EFC（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段AD上，连接AE，则cos∠EAF＝ ．
【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于点G，
∵将△ABC绕点C旋转，点B落在线段AD上的点F处，
∴CF＝BC＝4，CE＝EF＝AB＝AC＝5，
∵AB＝AC，AD是边BC上的高，
∴BD＝CD＝2，
∴cos∠FCD＝，
∴∠FCD＝60°，
∴DF＝CF•sin∠FCD＝4×sin60°＝2，
∵∠ACE＝∠FCD＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝EF＝5，
在Rt△ACD中，AD＝＝＝，
∴AF＝AD﹣DF＝﹣2，
∵AE＝EF，EG⊥AD，
∴AG＝FG＝，
∴cos∠EAF＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共84分如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤
19．（6分）计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣1﹣（﹣2）2．
【解答】解：原式＝3+1﹣3﹣4
＝﹣3．
20．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
①+②×2，得：3x＝6，
解得x＝2，
将x＝2代入②，得：2﹣y＝1，
解得：y＝1，
则方程组的解为；
（2）由2x+1＞7﹣x得：x＞2，
由x≤得：x≤3，
则不等式组的解集为2＜x≤3．
21．（8分）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动情况，抽样调查了该校m名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如图所示的尚不完整的两幅统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 200 ，n＝ 30 ；
（2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级1200名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的学生人数．
【解答】解：（1）n%＝＝30%，
∴n＝30，
m＝40÷20%＝200；
故答案为：200，30；
（2）参加“综合与实践”活动天数为3天的学生人数为200×15%＝30（名），
补全条形图如下：
（3）估计该校九年级1200名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的人数为1200×＝420（名）．
答：估计该校九年级1200名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的人数为420名．
22．（8分）如图，甲、乙两个带指针的转盘分别被分割成三个面积相等和两个面积相等的扇形，转盘甲上标注的数字分别是﹣1，﹣6，8，转盘乙上标注的数字分别是﹣4，5．（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）．
（1）转动转盘甲，指针指向正数的概率是 ；
（2）若同时转动两个转盘，转盘甲的指针所指向的数记为a，转盘乙的指针所指向的数记为b，求满足a+b＜0的概率．
【解答】解：（1）由题意得，转动转盘甲，指针指向正数的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，a+b的值分别为：﹣5，4，﹣10，﹣1，4，13，
其中满足a+b＜0的结果有3种，
∴满足a+b＜0的概率为＝．
23．（8分）如图，矩形纸片ABCD，点E、F分别是边AD、BC上一点，将矩形纸片沿直线EF折叠，使得点B与点D重合．
（1）请用直尺和圆规作出直线EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．
【解答】解：（1）如图，EF为所作；
（2）EF交BD于O点，如图，
∵矩形纸片沿直线EF折叠，使得点B与点D重合，
∴EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴OE＝OF，
∴EF和BD互相垂直平分，
∴四边形BFDE为菱形．
24．（8分）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
【解答】解：（1）设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦（x+2）公顷，
依题意得：＝，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝3+2＝5．
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
（2）设安排m台A型收割机，则安排（12﹣m）台B型收割机，
依题意得：5m+3（12﹣m）≥50，
解得：m≥7．
答：至少要安排7台A型收割机．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC．点D是x轴正半轴上一点，连接CD，∠ODC＝45°．
（1）求b和k的值；
（2）求△ACD的面积．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）代入一次函数y＝2x+b，
得﹣2+b＝0，
解得b＝2，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
在y＝2x+2中，令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴OA＝1，
过点C作CH⊥x轴于点H，则CH∥OB，
∴，
∵AB＝BC，
∴，
∴AH＝2，CH＝4，
∴OH＝OA＝1，
∴C（1，4），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点C，
∴k＝1×4＝4；
（2）∵∠ODC＝45°，CH⊥x轴于点H，
∴∠DCH＝45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴DH＝CH＝4，
∴AD＝1+1+4＝6，
∴△ACD的面积为：＝＝12．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D、E分别是边AB、边BC上的点，连接CD，∠CDE＝∠B，F是DE延长线上一点，连接CF，∠FCE＝∠ACD．
（1）判断△CDF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝4，求的值；
（3）若sinB＝，BD＝BE．
①求的值；
②求CF的长．
【解答】解：（1）结论：△CDF是等腰三角形．
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，，
∵∠FCE＝∠ACD，
∴∠FCD＝∠ACB，
∵∠CDE＝∠B，
∴∠FCD＝∠CDF，
∴FC＝FD，
∴△FCD是等腰三角形；
（2）∵∠ECF＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCF．
∵∠B＝∠CDE，
∴△ABC∽△FCD，
∴∠BAC＝∠F．
∵AB＝AC，
∴FD＝FC．
∵∠BAC＝∠F，∠ACD＝∠FCE，
∴△ACD∽△FCE，
∴＝，
∵AB＝10，AD＝4，
∴＝＝，
∵DE+EF＝FC，
∴＝；
（3）①过点E作EK⊥AB于点K，如图，
由题意得：sinB＝，
∴＝，
∴EK＝BE＝BD，
∴BK＝BD，
∴DK＝BD．
∴DE＝＝BD，
∴＝；
②∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝．
由（1）知：△ABC∽△FCD，
∴＝，
∴＝．
∴CF＝2．
27．（10分）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）填空：点B的坐标是 （4，0） ；
（2）若DE＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）的表达式；
（3）在（2）的条件下，点G是第一象限内抛物线对称轴l上一点，且∠BGC＝∠BCO，求点G的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0），
∴抛物线的的对称轴是直线x＝﹣＝，
∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，
∴点B（4，0）；
故答案为：（4，0）；
（2）当x＝时，y＝a﹣a﹣4a＝﹣a，
∴点D（，﹣a），
∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0），与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣4a），
又∵点B（4，0），
∴直线BC的解析式为y＝ax﹣4a，
当x＝时，y＝a﹣4a＝﹣a，
∴点E（，﹣a），
∵DE＝，
∴＝﹣a+a，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（3）如图，
∵点B（4，0），点A（﹣1，0），点C（0，2），
∴OA＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，
∴＝＝，
又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠CAO＝∠BCO，
∵∠BGC＝∠BCO，
∴∠CAO＝∠BGC，
∴点A，点C，点B，点G四点共圆，
∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠BCO+∠ACO＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∴点F是圆心，
∴GF＝AF＝BF＝，
∴点G（，）．
28．（10分）已知平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径是4，交x轴于点A，B．对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“弦中点”．
（1）如图1，已知点C（﹣2，0）；
①点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是关于MN的“弦中点”的是 P1，P2 ；
②若一次函数y＝x+b的图象上只存在一个关于MN的“弦中点”，求b的值；
（2）如图2，若C（﹣6，0），一次函数y＝x+b的图象上存在关于MN的“弦中点”，直接写出b的取值范围．
【解答】解：（1）①作直线OP，
∵P点是弦MN的中点，
∴OP⊥MN，
∴∠CPO＝90°，
∴P点在以CO为直径的圆上，
∵C（﹣2，0），
∴P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，
∵点P1（0，0），P2（﹣1，1）在该圆上，
∴点P1（0，0），P2（﹣1，1）是关于MN的“弦中点”，
故答案为：P1，P2；
②由①可知，P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，
设圆心D（﹣1，0），
∵直线y＝x+b上只存在一个关于MN的“弦中点”，
∴直线y＝x+b与圆D相切，
过点D作DF垂直直线y＝x+b交于点F，
∵直线y＝x+b与x轴交于点E（﹣2b，0），与y轴交于点G（0，b），
∴DE＝﹣1﹣2b，OG＝b，
∵∠DFE＝∠EOG＝90°，∠DEF＝∠GEO，
∴△EGO∽△EDF，
∴，
∴，
解得b＝；
（2）由（1）可知，P点在以OC为直径的圆上，
∵直线y＝x+b上存在关于MN的“弦中点”，
∴直线y＝x+b与圆D相交或相切，
过D点作DF⊥直线y＝x+b交于点F，
∵直线y＝x+b与x轴交于点（﹣b，0），与y轴交于点（0，b），
∴OE＝OG，
∴∠DEF＝45°，
∵C（﹣6，0），
∴圆D的半径为3，
∴DF＝OD＝3，
∴DE＝3，
∴OE＝3﹣3，
∴OE＝OG＝3﹣3，
∴b＝3﹣3，
过O点作OF′⊥直线y＝x+b交于点F′，
∵直线y＝x+b与x轴交于点（﹣b，0），与y轴交于点（0，b），
∴OE′＝OG′，∴∠DE′F′＝45°，
∵圆O的半径为4，
∴OE′＝OG′＝4，
∴b＝4，
∴b的取值范围为3﹣3≤b＜4．
2023年江苏省常州外国语学校中考数学结课试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分在每小题所给出的四个选项中，只有
1．（2分）﹣3的倒数为（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
2．（2分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0
3．（2分）为了有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止2022年5月底，我国疫苗接种高达3390000000剂次，数据3390000000用科学记数法表示为（ ）
A．339×107 B．3.39×109 C．33.9×109 D．0.339×1010
4．（2分）如果有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x≤0 C．x≥5 D．x≤5
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
6．（2分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），B（0，），点C是线段OA的中点，点D是线段AB上一点，将△ACD沿直线CD翻折得到△ECD，点E落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若CE⊥AB，则k的值是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．18
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）计算：＝ ．
10．（2分）计算：x3÷x＝ ．
11．（2分）分式的值为0，则x的值是 ．
12．（2分）分解因式：x2﹣4y2＝ ．
13．（2分）在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴对称的点P′的坐标是 ．
14．（2分）二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（m，4），则m＝ ．
15．（2分）如图，直线a∥b，将一个直角的顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2＝ ．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 ．
17．（2分）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB＝，AF＝2BF，那么GB＝ ．
18．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，AD是BC边上的高，将△ABC绕点C旋转到△EFC（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段AD上，连接AE，则cos∠EAF＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤
19．（6分）计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣1﹣（﹣2）2．
20．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
21．（8分）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动情况，抽样调查了该校m名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如图所示的尚不完整的两幅统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级1200名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的学生人数．
22．（8分）如图，甲、乙两个带指针的转盘分别被分割成三个面积相等和两个面积相等的扇形，转盘甲上标注的数字分别是﹣1，﹣6，8，转盘乙上标注的数字分别是﹣4，5．（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）．
（1）转动转盘甲，指针指向正数的概率是 ；
（2）若同时转动两个转盘，转盘甲的指针所指向的数记为a，转盘乙的指针所指向的数记为b，求满足a+b＜0的概率．
23．（8分）如图，矩形纸片ABCD，点E、F分别是边AD、BC上一点，将矩形纸片沿直线EF折叠，使得点B与点D重合．
（1）请用直尺和圆规作出直线EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．
24．（8分）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC．点D是x轴正半轴上一点，连接CD，∠ODC＝45°．
（1）求b和k的值；
（2）求△ACD的面积．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D、E分别是边AB、边BC上的点，连接CD，∠CDE＝∠B，F是DE延长线上一点，连接CF，∠FCE＝∠ACD．
（1）判断△CDF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝4，求的值；
（3）若sinB＝，BD＝BE．
①求的值；
②求CF的长．
27．（10分）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）填空：点B的坐标是 ；
（2）若DE＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）的表达式；
（3）在（2）的条件下，点G是第一象限内抛物线对称轴l上一点，且∠BGC＝∠BCO，求点G的坐标．
28．（10分）已知平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径是4，交x轴于点A，B．对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“弦中点”．
（1）如图1，已知点C（﹣2，0）；
①点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是关于MN的“弦中点”的是 ；
②若一次函数y＝x+b的图象上只存在一个关于MN的“弦中点”，求b的值；
（2）如图2，若C（﹣6，0），一次函数y＝x+b的图象上存在关于MN的“弦中点”，直接写出b的取值范围．
2023年江苏省常州外国语学校中考数学结课试卷
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分在每小题所给出的四个选项中，只有
1．（2分）﹣3的倒数为（ ）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：A．
2．（2分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0
【解答】解：根据数轴得到a＜0＜b，|a|＜|b|，
则a＜b，|a|＜|b|，﹣a＜b，a+b＞0，
故选：C．
3．（2分）为了有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止2022年5月底，我国疫苗接种高达3390000000剂次，数据3390000000用科学记数法表示为（ ）
A．339×107 B．3.39×109 C．33.9×109 D．0.339×1010
【解答】解：3390000000＝3.39×109．
故选：B．
4．（2分）如果有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x≤0 C．x≥5 D．x≤5
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5．
故选：C．
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、（ab）2＝a2b2，故本选项不符合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故本选项符合题意．
故选：D．
6．（2分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：x2+x﹣1＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴一元二次方程x2+x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，
故选：A．
7．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠BOC＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【解答】解：∵∠BOC＝130°，
∴∠BAC＝∠BOC＝65°，
故选：C．
8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），B（0，），点C是线段OA的中点，点D是线段AB上一点，将△ACD沿直线CD翻折得到△ECD，点E落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若CE⊥AB，则k的值是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．18
【解答】解：延长ED交x轴于H，如图，
∵点A（10，0），B（0，），
∴OA＝10，OB＝，
∴AB＝＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AFC＝∠AOB＝90°，
∵∠CAF＝∠BAO，
∴△ACF∽△ABO，
∴，
∵C是OA的中点，
∴AC＝OC＝5，
∴＝＝，
∴CF＝3，AF＝4，
∵△ACD沿直线CD翻折，使得点A落在点E处，
∴CE＝AC＝OC＝5，∠CAD＝∠CED，
∵∠ACF＝∠ECH，
∴△ACF≌△ECH（ASA），
∴EH＝AF＝4，CH＝CF＝3，
∴OH＝5+3＝8，
∴E（8，4），
∵点E落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝8×4＝32，
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）计算：＝ ﹣2 ．
【解答】解：＝﹣2．
故答案为：﹣2．
10．（2分）计算：x3÷x＝ x2 ．
【解答】解：x3÷x＝x3﹣1＝x2．
故应填：x2．
11．（2分）分式的值为0，则x的值是 1 ．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
12．（2分）分解因式：x2﹣4y2＝ （x+2y）（x﹣2y） ．
【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．
13．（2分）在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴对称的点P′的坐标是 （﹣3，1） ．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
14．（2分）二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（m，4），则m＝ 2 ．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+h，
∴对称轴为直线x＝1，
∵二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（m，4），
∴A、B关于对称轴对称，
∴，
∴m＝2，
故答案为：2．
15．（2分）如图，直线a∥b，将一个直角的顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2＝ 40° ．
【解答】解：由图可知，∠3＝180°﹣90°﹣∠1＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°，
故答案为：40°．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 10°或100° ．
【解答】解：如图，点D即为所求；
在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
由作图可知：AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣80°）＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；
由作图可知：AC＝AD′，
∴∠ACD′＝∠AD′C，
∵∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，
∴∠AD′C＝40°，
∴∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．
故答案为：10°或100°．
17．（2分）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB＝，AF＝2BF，那么GB＝ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△AFE∽△BFG，
∴，
∵AF＝2BF，
∴AE＝2BG，
设BG＝a，则AE＝2a，
∵CE平分∠DCB，EF平分∠AEC，
∴∠DCE＝∠ECB，∠AEF＝∠CEF，
∵AD∥CG，
∴∠AEF＝∠G，∠DEC＝∠ECG，
∴∠CEF＝∠G，∠DEC＝∠DCB，
∴CD＝DE＝AB＝3，CE＝CG＝CD＝×＝6，
∴a+2a+3＝6，
∴a＝2﹣，
∴GB＝2﹣．
故答案为：2﹣．
18．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，AD是BC边上的高，将△ABC绕点C旋转到△EFC（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段AD上，连接AE，则cos∠EAF＝ ．
【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于点G，
∵将△ABC绕点C旋转，点B落在线段AD上的点F处，
∴CF＝BC＝4，CE＝EF＝AB＝AC＝5，
∵AB＝AC，AD是边BC上的高，
∴BD＝CD＝2，
∴cos∠FCD＝，
∴∠FCD＝60°，
∴DF＝CF•sin∠FCD＝4×sin60°＝2，
∵∠ACE＝∠FCD＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝EF＝5，
在Rt△ACD中，AD＝＝＝，
∴AF＝AD﹣DF＝﹣2，
∵AE＝EF，EG⊥AD，
∴AG＝FG＝，
∴cos∠EAF＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共84分如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤
19．（6分）计算：+（2﹣π）0﹣（）﹣1﹣（﹣2）2．
【解答】解：原式＝3+1﹣3﹣4
＝﹣3．
20．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
①+②×2，得：3x＝6，
解得x＝2，
将x＝2代入②，得：2﹣y＝1，
解得：y＝1，
则方程组的解为；
（2）由2x+1＞7﹣x得：x＞2，
由x≤得：x≤3，
则不等式组的解集为2＜x≤3．
21．（8分）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动情况，抽样调查了该校m名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如图所示的尚不完整的两幅统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 200 ，n＝ 30 ；
（2）补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级1200名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的学生人数．
【解答】解：（1）n%＝＝30%，
∴n＝30，
m＝40÷20%＝200；
故答案为：200，30；
（2）参加“综合与实践”活动天数为3天的学生人数为200×15%＝30（名），
补全条形图如下：
（3）估计该校九年级1200名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的人数为1200×＝420（名）．
答：估计该校九年级1200名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的人数为420名．
22．（8分）如图，甲、乙两个带指针的转盘分别被分割成三个面积相等和两个面积相等的扇形，转盘甲上标注的数字分别是﹣1，﹣6，8，转盘乙上标注的数字分别是﹣4，5．（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）．
（1）转动转盘甲，指针指向正数的概率是 ；
（2）若同时转动两个转盘，转盘甲的指针所指向的数记为a，转盘乙的指针所指向的数记为b，求满足a+b＜0的概率．
【解答】解：（1）由题意得，转动转盘甲，指针指向正数的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，a+b的值分别为：﹣5，4，﹣10，﹣1，4，13，
其中满足a+b＜0的结果有3种，
∴满足a+b＜0的概率为＝．
23．（8分）如图，矩形纸片ABCD，点E、F分别是边AD、BC上一点，将矩形纸片沿直线EF折叠，使得点B与点D重合．
（1）请用直尺和圆规作出直线EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．
【解答】解：（1）如图，EF为所作；
（2）EF交BD于O点，如图，
∵矩形纸片沿直线EF折叠，使得点B与点D重合，
∴EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴OE＝OF，
∴EF和BD互相垂直平分，
∴四边形BFDE为菱形．
24．（8分）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
【解答】解：（1）设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦（x+2）公顷，
依题意得：＝，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝3+2＝5．
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
（2）设安排m台A型收割机，则安排（12﹣m）台B型收割机，
依题意得：5m+3（12﹣m）≥50，
解得：m≥7．
答：至少要安排7台A型收割机．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC．点D是x轴正半轴上一点，连接CD，∠ODC＝45°．
（1）求b和k的值；
（2）求△ACD的面积．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）代入一次函数y＝2x+b，
得﹣2+b＝0，
解得b＝2，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
在y＝2x+2中，令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴OA＝1，
过点C作CH⊥x轴于点H，则CH∥OB，
∴，
∵AB＝BC，
∴，
∴AH＝2，CH＝4，
∴OH＝OA＝1，
∴C（1，4），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点C，
∴k＝1×4＝4；
（2）∵∠ODC＝45°，CH⊥x轴于点H，
∴∠DCH＝45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴DH＝CH＝4，
∴AD＝1+1+4＝6，
∴△ACD的面积为：＝＝12．
26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D、E分别是边AB、边BC上的点，连接CD，∠CDE＝∠B，F是DE延长线上一点，连接CF，∠FCE＝∠ACD．
（1）判断△CDF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝4，求的值；
（3）若sinB＝，BD＝BE．
①求的值；
②求CF的长．
【解答】解：（1）结论：△CDF是等腰三角形．
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，，
∵∠FCE＝∠ACD，
∴∠FCD＝∠ACB，
∵∠CDE＝∠B，
∴∠FCD＝∠CDF，
∴FC＝FD，
∴△FCD是等腰三角形；
（2）∵∠ECF＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCF．
∵∠B＝∠CDE，
∴△ABC∽△FCD，
∴∠BAC＝∠F．
∵AB＝AC，
∴FD＝FC．
∵∠BAC＝∠F，∠ACD＝∠FCE，
∴△ACD∽△FCE，
∴＝，
∵AB＝10，AD＝4，
∴＝＝，
∵DE+EF＝FC，
∴＝；
（3）①过点E作EK⊥AB于点K，如图，
由题意得：sinB＝，
∴＝，
∴EK＝BE＝BD，
∴BK＝BD，
∴DK＝BD．
∴DE＝＝BD，
∴＝；
②∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝．
由（1）知：△ABC∽△FCD，
∴＝，
∴＝．
∴CF＝2．
27．（10分）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点E，与x轴交于点F．
（1）填空：点B的坐标是 （4，0） ；
（2）若DE＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）的表达式；
（3）在（2）的条件下，点G是第一象限内抛物线对称轴l上一点，且∠BGC＝∠BCO，求点G的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0），
∴抛物线的的对称轴是直线x＝﹣＝，
∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，
∴点B（4，0）；
故答案为：（4，0）；
（2）当x＝时，y＝a﹣a﹣4a＝﹣a，
∴点D（，﹣a），
∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0），与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣4a），
又∵点B（4，0），
∴直线BC的解析式为y＝ax﹣4a，
当x＝时，y＝a﹣4a＝﹣a，
∴点E（，﹣a），
∵DE＝，
∴＝﹣a+a，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（3）如图，
∵点B（4，0），点A（﹣1，0），点C（0，2），
∴OA＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，
∴＝＝，
又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠CAO＝∠BCO，
∵∠BGC＝∠BCO，
∴∠CAO＝∠BGC，
∴点A，点C，点B，点G四点共圆，
∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠BCO+∠ACO＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∴点F是圆心，
∴GF＝AF＝BF＝，
∴点G（，）．
28．（10分）已知平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径是4，交x轴于点A，B．对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“弦中点”．
（1）如图1，已知点C（﹣2，0）；
①点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是关于MN的“弦中点”的是 P1，P2 ；
②若一次函数y＝x+b的图象上只存在一个关于MN的“弦中点”，求b的值；
（2）如图2，若C（﹣6，0），一次函数y＝x+b的图象上存在关于MN的“弦中点”，直接写出b的取值范围．
【解答】解：（1）①作直线OP，
∵P点是弦MN的中点，
∴OP⊥MN，
∴∠CPO＝90°，
∴P点在以CO为直径的圆上，
∵C（﹣2，0），
∴P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，
∵点P1（0，0），P2（﹣1，1）在该圆上，
∴点P1（0，0），P2（﹣1，1）是关于MN的“弦中点”，
故答案为：P1，P2；
②由①可知，P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，
设圆心D（﹣1，0），
∵直线y＝x+b上只存在一个关于MN的“弦中点”，
∴直线y＝x+b与圆D相切，
过点D作DF垂直直线y＝x+b交于点F，
∵直线y＝x+b与x轴交于点E（﹣2b，0），与y轴交于点G（0，b），
∴DE＝﹣1﹣2b，OG＝b，
∵∠DFE＝∠EOG＝90°，∠DEF＝∠GEO，
∴△EGO∽△EDF，
∴，
∴，
解得b＝；
（2）由（1）可知，P点在以OC为直径的圆上，
∵直线y＝x+b上存在关于MN的“弦中点”，
∴直线y＝x+b与圆D相交或相切，
过D点作DF⊥直线y＝x+b交于点F，
∵直线y＝x+b与x轴交于点（﹣b，0），与y轴交于点（0，b），
∴OE＝OG，
∴∠DEF＝45°，
∵C（﹣6，0），
∴圆D的半径为3，
∴DF＝OD＝3，
∴DE＝3，
∴OE＝3﹣3，
∴OE＝OG＝3﹣3，
∴b＝3﹣3，
过O点作OF′⊥直线y＝x+b交于点F′，
∵直线y＝x+b与x轴交于点（﹣b，0），与y轴交于点（0，b），
∴OE′＝OG′，∴∠DE′F′＝45°，
∵圆O的半径为4，
∴OE′＝OG′＝4，
∴b＝4，
∴b的取值范围为3﹣3≤b＜4．
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