2021年广东省汕头市濠江区中考数学一模试卷

这是一份2021年广东省汕头市濠江区中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省汕头市濠江区中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.
1．在﹣，﹣3，0，5这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣ B．﹣3 C．0 D．5
2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”顺利升空，当“天问一号”探测器抵达火星附近时，总飞行里程将达到470000000公里．470000000这个数字用科学记数法表示为（　　）
A．4.7×107 B．4.7×108 C．4.7×109 D．47×107
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．a2•a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．（ab）2＝a2b2
5．已知一组数据：2，5，x，7，9的平均数是6，则这组数据的众数是（　　）
A．9 B．7 C．5 D．2
6．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（　　）
A． B．
C． D．
7．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，直线y＝kx+b过点A（﹣2，0），B（0，3），则不等式kx+b＞0的解集是（　　）

A．x＞3 B．﹣2＜x＜0 C．﹣2＜x＜3 D．x＞﹣2
9．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，将线段AD绕点D顺时针旋转90°后，点A的对应点E恰好落在AC边上，若AD＝，BC＝，则AC的长为（　　）

A．3 B．4 C． D．2
10．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，作射线PD，使∠APD＝60°，PD交AC于点D，已知AB＝a，设CD＝y，BP＝x，则y与x函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题7题，每小题4分，共28分）.请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11．分式方程＝的解是　 　．
12．分解因式：a2﹣4b2＝　 　．
13．若a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a2﹣4a+3的值为 　 　．
14．将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则∠α的度数是　 　．

15．若，则以x+y的值为边数的多边形的内角和为 　 　．
16．如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与BC相切于点B，CO的延长线交⊙O于点E，连接AE，若AB＝2，则图中阴影的面积为 　 　．

17．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，点P、M、N分别在边AB、BC、CA上，连接PM、MN，NP，则△PMN周长的最小值为　 　．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．计算：．
19．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝．
20．“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　 　人，条形统计图中m的值为　 　；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为　 　；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为　 　人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）假设砌墙所用的每块砖块的厚度相同，请你帮小明求出tan∠BCE的值．
22．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
23．如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝2BC，点O在边AB上，且BO＝AB，以O为圆心，OB长为半径的圆分别交AB，BC于D，E两点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）判断由D，O，E及切点所构成的四边形的形状，并说明理由．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
25．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．
（1）AE＝　 　（用含有k的代数式表示）；
（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．



参考答案
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.
1．在﹣，﹣3，0，5这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣ B．﹣3 C．0 D．5
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，即可得出答案．
解：∵||＝，|﹣3|＝3，而，
∴，
∴在﹣，﹣3，0，5这四个数中，最小的数是﹣3．
故选：B．
2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”顺利升空，当“天问一号”探测器抵达火星附近时，总飞行里程将达到470000000公里．470000000这个数字用科学记数法表示为（　　）
A．4.7×107 B．4.7×108 C．4.7×109 D．47×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：470000000＝4.7×108．
故选：B．
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．a2•a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．（ab）2＝a2b2
【分析】运算合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则逐个计算得结论．
解：a2+a2＝2a2≠a4，故选项A运算错误，不符合题意；
a2•a3＝a2+3＝a5≠a6，故选项B运算错误，不符合题意；
（a2）3＝a6≠a5故选项C运算错误，不符合题意；
（ab）2＝a2b2故选项D运算正确，符合题意．
故选：D．
5．已知一组数据：2，5，x，7，9的平均数是6，则这组数据的众数是（　　）
A．9 B．7 C．5 D．2
【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义即可得出答案．
解：∵数据2，5，x，7，9的平均数为6，
∴x＝6×5﹣2﹣5﹣7﹣9＝7，
∴这组数据的众数为7；
故选：B．
6．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．
解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
故选：B．
7．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先将每一个不等式解出来，然后根据求解的口诀即可解答．
解：，
解不等式①得：x≥﹣5，
解不等式②得：x＜2，
由大于向右画，小于向左画，有等号画实点，无等号画空心，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：


故选：C．
8．如图，直线y＝kx+b过点A（﹣2，0），B（0，3），则不等式kx+b＞0的解集是（　　）

A．x＞3 B．﹣2＜x＜0 C．﹣2＜x＜3 D．x＞﹣2
【分析】看在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
解：由图象可以看出，x轴上方的函数图象所对应自变量的取值为x＞﹣2，
则不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2．
故选：D．
9．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，将线段AD绕点D顺时针旋转90°后，点A的对应点E恰好落在AC边上，若AD＝，BC＝，则AC的长为（　　）

A．3 B．4 C． D．2
【分析】由旋转的性质可得AD＝DE＝，∠ADE＝90°，由等腰直角三角形的性质可求AE＝AD＝2，∠AED＝45°，BE＝DE＝2，∠BED＝45°，由勾股定理可求CE，即可求解．
解：如图，连接BE，

∵CD是△ABC的边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∵将线段AD绕点D顺时针旋转90°，
∴AD＝DE＝，∠ADE＝90°，
∴BD＝DE＝，AE＝AD＝2，∠AED＝45°，
∴BE＝DE＝2，∠BED＝45°，
∴∠AEB＝90°，
∴CE＝＝＝1，
∴AC＝2+1＝3，
故选：A．
10．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，作射线PD，使∠APD＝60°，PD交AC于点D，已知AB＝a，设CD＝y，BP＝x，则y与x函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据等边三角形的性质可得出∠B＝∠C＝60°，由等角的补角相等可得出∠BAP＝∠CPD，进而即可证出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质即可得出y＝﹣x2+x，对照四个选项即可得出结论．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AB＝a，PC＝a﹣x．
∵∠APD＝60°，∠B＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝120°，∠APB+∠CPD＝120°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴＝，即＝，
∴y＝﹣x2+x．
故选：C．

二、填空题（本大题7题，每小题4分，共28分）.请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11．分式方程＝的解是　x＝2　．
【分析】观察可得这个分式方程的最简公分母为x（x﹣1），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
解：两边都乘以x（x﹣1）得：x＝2（x﹣1），
去括号，得：x＝2x﹣2，
移项、合并同类项，得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（x﹣1）＝2≠0，
∴原分式方程的解为：x＝2，
故答案为：x＝2．
12．分解因式：a2﹣4b2＝　（a+2b）（a﹣2b）　．
【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．
13．若a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a2﹣4a+3的值为 　5　．
【分析】将a2﹣2a﹣1＝0变形为a2﹣2a＝1，然后将整体代入所求的代数式进行化简求值．
解：∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a+3
＝2（a2﹣2a）+3
＝2×1+3
＝2+3
＝5．
故答案为：5．
14．将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则∠α的度数是　75°　．

【分析】先根据∠DAC+∠ACB＝180°，判定AD∥BC，进而得出∠B＝∠DAE＝30°，再根据∠DEB＝∠D+∠DAE进行计算即可．
解：∵∠DAC+∠ACB＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠DAE＝30°，
∴∠DEB＝∠D+∠DAE＝45°+30°＝75°，
即∠α的度数是75°．
故答案为：75°．

15．若，则以x+y的值为边数的多边形的内角和为 　900°　．
【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性求出x，y的值，再根据多边形的内角和公式求解即可．
解：∵+|y+2|＝0，≥0，|y+2|≥0，
∴＝0，|y+2|＝0，
∴x＝9，y＝﹣2，
∴x+y＝9+（﹣2）＝7，
∴以x+y的值为边数的多边形的内角和为：（7﹣2）×180°＝900°，
故答案为：900°．
16．如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与BC相切于点B，CO的延长线交⊙O于点E，连接AE，若AB＝2，则图中阴影的面积为 　π　．

【分析】连接OB，根据切线的性质得到∠OBC＝90°，根据平行四边形的性质得到OA∥BC，CO∥AB，于是得到∠AOB＝∠OBC＝90°，S△AOB＝S△AEB，由扇形的面积公式即可得到结论．
解：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，CO∥AB，
∴∠AOB＝∠OBC＝90°，S△AOB＝S△AEB，
∴图中阴影的面积＝S扇形AOB＝＝π，
故答案为：π．

17．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，点P、M、N分别在边AB、BC、CA上，连接PM、MN，NP，则△PMN周长的最小值为　2　．

【分析】如图，作点M关于直线AB、直线AC的对称点K、H，连接HK交AB于P，交AC于N．根据△PMN的周长＝PM+MN+PN＝Pk+PN+HN＝HK，所以HK最小时△PMN的周长最小，根据对称性，AM＝AK＝AH，∠MAB＝∠BAK，∠MAC＝∠CAH，推出∠KAH＝2（∠MAB+∠MAC）＝90°，推出KH＝AM，所以AM最短时，△PMN的周长最短＝AM，由此即可解决问题．
解：如图，作点M关于直线AB、直线AC的对称点K、H，连接HK交AB于P，交AC于N．

∵△PMN的周长＝PM+MN+PN＝Pk+PN+HN＝HK，
∴HK最小时△PMN的周长最小，
根据对称性，AM＝AK＝AH，∠MAB＝∠BAK，∠MAC＝∠CAH，
∴∠KAH＝2（∠MAB+∠MAC）＝90°，
∴KH＝AM，
∴AM最短时，△PMN的周长最短＝AM，
当AM⊥BC时，AM的值最短，
在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，AB＝4，∠B＝60°，
∴AM＝AB＝2，AM＝＝＝2，KH＝2，
∴△PMN的周长的最小值为2．
故答案为：2．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．计算：．
【分析】先分别化简二次根式，绝对值，零指数幂，有理数的乘方，然后再计算．
解：原式＝2+1﹣1
＝2．
19．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可．
解：
＝÷
＝
＝，
当a＝2，b＝时，原式＝＝2+．
20．“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　60　人，条形统计图中m的值为　10　；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为　96°　；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为　1020　人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用360°乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可；
（3）用总人数1800乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），m＝60﹣4﹣30﹣16＝10；
故答案为：60，10；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数＝360°×＝96°；
故答案为：96°；
（3）该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：1800×＝1020（人）；
故答案为：1020；
（4）由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）假设砌墙所用的每块砖块的厚度相同，请你帮小明求出tan∠BCE的值．
【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
（2）根据全等可得DC＝BE＝3a，CE＝AD＝4a，再根据正切的定义可得答案．
【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）解：由题意得：
∵一块墙砖的厚度为a，
∴AD＝4a，BE＝3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE＝3a，CE＝AD＝4a，
∴tan∠BCE＝＝．
22．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价＝原价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据“总利润＝第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2＝324，
解得：x＝10，或x＝190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．
23．如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝2BC，点O在边AB上，且BO＝AB，以O为圆心，OB长为半径的圆分别交AB，BC于D，E两点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）判断由D，O，E及切点所构成的四边形的形状，并说明理由．

【分析】（1）作OF⊥AC于F，如图，理由三角函数可得到∠A＝30°，则OA＝2OF，再利用BO＝AB得到OA＝2OB，所以OF＝OB，于是根据切线的判定方法可判定AC是⊙O的切线；
（2）先证明△OFD和△OBE都是等边三角形得到OD＝DF，∠BOE＝60°，则可计算出∠EOF＝60°，从而可判定△OEF为等边三角形，所以EF＝OE，则有OD＝DF＝EF＝OE，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ODFE为菱形．
【解答】（1）证明：作OF⊥AC于F，如图，
∵∠C＝90°，AB＝2BC，
∴sinA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴OA＝2OF，
∵BO＝AB，
∴OA＝2OB，
∴OF＝OB，
∴AC是⊙O的切线；

（2）四边形ODFE为菱形．理由如下：
∵∠A＝30°，
∴∠AOF＝∠B＝60°，
∴△OFD和△OBE都是等边三角形，
∴OD＝DF，∠BOE＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△OEF为等边三角形，
∴EF＝OE，
∴OD＝DF＝EF＝OE，
∴四边形ODFE为菱形．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）连接BC交对称轴于Q，在y＝﹣x2﹣2x+3中，得对称轴为直线x＝﹣1，C（0，3），AC＝，要使得△QAC的周长最小，只需Q、B、C共线，设直线BC解析式为y＝kx+t，可得直线BC解析式为y＝x+3，即可得Q（﹣1，2）；
（3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），则F（a，0），可得EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，即可求出S四边形BOCE＝S△BEF+S四边形EFO＝，故当时，S四边形BOCE最大，且最大值为，点E坐标为．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在Q（﹣1，2），理由如下：
连接BC交对称轴于Q，如图：

在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴C（0，3），
而A（1，0），
∴AC＝，
要使得△QAC的周长最小，只需QC+AQ最小，又A、B关于对称轴对称，有QA＝QB，
∴只需QC+QB最小即可，
∴Q、B、C共线时，△QAC的周长最小，
设直线BC解析式为y＝kx+t，则，
解得，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
令x＝﹣1得y＝2，
∴Q（﹣1，2）；
（3）过点E作EF⊥x轴于点F，如图：

设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），则F（a，0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a﹣（﹣3）＝a+3，OF＝0﹣a＝﹣a，
∴S△BEF＝BF•EF＝（a+3）（﹣a2﹣2a+3），S四边形EFOC＝（OC+EF）•OF＝（﹣a2﹣2a+3+3）•（﹣a），
∴S四边形BOCE＝S△BEF+S四边形EFOC＝＝，
∴当时，S四边形BOCE最大，且最大值为，
此时﹣a2﹣2a+3＝，
∴点E坐标为．
25．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．
（1）AE＝　4﹣　（用含有k的代数式表示）；
（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．

【分析】（1）根据点A的坐标可得点E的纵坐标为3，所以得CE＝，从而得AE的长；
（2）如图2中，连接AD交EF于M，想办法证明△AEF∽△ACB，推出EF∥BC，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明AE＝EC＝2即可；
（3）分三种情况讨论：①AD＝BD，②AD＝AB，③AB＝BD，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答．
解：（1）∵四边形ABOC是矩形，且A（4，3），
∴AC＝4，OC＝3，
∵点E在反比例函数y＝上，
∴E（，3），
∴CE＝，
∴AE＝4﹣；
故答案为：4﹣；
（2）如图2，∵A（4，3），
∴AC＝4，AB＝3，
∴，
∴点F在y＝上，
∴F（4，），
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠FED＝∠CDE，
连接AD交EF于M点，

∴△AEF≌△DEF，
∴∠AEM＝∠DEM，AE＝DE，
∴∠FED＝∠CDE＝∠AEF＝∠ACB，
∴CE＝DE＝AE＝AC＝2；
（3）过D点作DN⊥AB，
①当BD＝AD时，如图3，有∠AND＝90°，AN＝BN＝AB＝，

∴∠DAN+∠ADN＝90°，
∵∠DAN+∠AFM＝90°，
∴∠ADN＝∠AFM，
∴tan∠ADN＝tan∠AFM＝，
∴，
∵AN＝，
∴DN＝，
∴D（4﹣，），即D（，）；
②当AB＝AD＝3时，如图4，

在Rt△ADN中，sin∠ADN＝sin∠AFM＝，
∴，
∴AN＝AD＝＝，
∴BN＝3﹣AN＝3﹣＝，
∵DN＝AN＝＝，
∴D（4﹣，），即D（，）；
③当AB＝BD时，△AEF≌△DEF，
∴DF＝AF，
∴DF+BF＝AF+BF，即DF+BF＝AB，
∴DF+BF＝BD，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，
∴AB≠BD，
综上所述，所求D点坐标为（，）或（，）．