福建省龙岩第一中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份福建省龙岩第一中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知平面向量，且，则（ ）
A．B．C．D．3
3．在中，，则（ ）
A． 或B． C． 或D． 或
4．甲船在B岛正南方向的A处，AB＝10 km，若甲船以4 km/h 的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是（ ）
A． hB． h
C． hD． h
5．如图，在中，设，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知非零向量满足，且，则是（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形
7．点在边长为的正三角形的外接圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．对任意两个非零的平面向量α和β，定义.若两个非零的平面向量和，满足与的夹角，且和都在集合中，则=
A．B．C．1D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知点是所在平面内一点，下列命题正确的是（ ）
A．若，则点是的重心
B．若点是的外心，则
C．若，则点是的垂心
D．若点是的垂心，则
11．在中，，（为常数），的最大值为12，则（ ）
A．为锐角B．面积的最大值为8
C．D．周长的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 ．
13．正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 .
14．英国数学家泰勒发现了如下公式：
，
，
其中，
（1） .
（2）已知在中，，边，则面积的最大值为 .
（以上两空均用小数作答，且精确到0.001）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，．
(1)当，求的值；
(2)当取得最大值时，是否存在实数，使，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由．
16．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
17．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
18．某景区拟开辟一个平面示意图是如图所示的五边形ABCDE的观光步行道，BE为景点电动车专用道，，，，．
(1)求景点电动车专用道BE的长；
(2)由于受资金的限制，折线步行道BAE（即）不能超过20km，问景区可不可以铺设该步行道？
19．对于一组向量，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
(1)设，且，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围；
(2)若且，向量组是否存在“长向量”？若存在，求出正整数；若不存在，请说明理由；
(3)已知均是向量组的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】对于A， 是两个单位向量，而，所以A错误，
对于B， 是两个单位向量，而，
对于C，因为是两个单位向量，所以，所以C正确，
对于D，因为是两个单位向量，所以，所以D错误.
故选C.
2．【答案】A
【详解】向量，则，
由，得，所以.
故选A.
3．【答案】A
【详解】解：在中，，
则由正弦定理得，即，解得，
因为且，所以或.
故选A.
4．【答案】B
【详解】
设航行h时，甲船在处，乙船在处，甲、乙两船相距km，
如图所示，在中，由余弦定理，知，
即，
所以当时，最小，即最小.
故选.
5．【答案】C
【详解】因为，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
故选C.
6．【答案】D
【详解】由得的角平分线与垂直，所以，
又因为，，所以，
所以为等边三角形，
故选D.
7．【答案】A
【分析】先证明，然后给出的例子，即可得到的最大值是.
【详解】设外接圆圆心为，则，.
①一方面，我们有
，
故一定有.
②另一方面，当时，有，故在的外接圆上，此时
.
综合①②两个方面，可知的最大值是.
故选：A.
8．【答案】D
【详解】由条件知: ===,===,因为和都在集合中，且与的夹角，故可取,=得: =,故选D.
9．【答案】AC
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，
同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说，故D错误；
故选AC.
10．【答案】ACD
【分析】利用三角形重心、外心、垂心的性质，结合向量数量积的运算，根据选项逐个验证可得答案.
【详解】对于A，取的中点，
则，
因为，所以，即点在中线上；
同理可得点在中线上，所以点是的重心，A正确.

对于B，设为的中点，因为点是的外心，所以;
，B不正确.

对于C，因为，所以，
即点在边上的高线上，同理可得点也在边上的高线上，
所以点是的垂心；C正确.
对于D，因为
，即.
因为点是的垂心，所以，所以，
所以存在，使得，D正确.
故选：ACD.
11．【答案】BD
【详解】对于A，由的最大值为12, （为常数）知点的轨迹为圆（去除BC两点），且BC不是直径，故可以为钝角，故A错误；
对于B，C,记由余弦定理，，
即，可得，当且仅当时取等号，于是，
即得，依题意，，解得，，此时，即，
面积，故其最大值为：，故B正确，C错误；
对于D，因的周长为，
由正弦定理，可得，，
于是，其中，，
故当时，的周长取得最大值为，故D正确.
故选BD.
12．【答案】
【详解】由题意可得，，
所以，又，
所以，
所以，
故与的夹角为．
13．【答案】
【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，

因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，
设，则，，，，
则，
而等于与所成的角．
所以．
14．【答案】 0.540 0.642
【详解】泰勒公式，令可知：，
三角形中，由余弦定理得：
（当且仅当时取等号），
则（当且仅当时取等号），则，
即当时，面积的最大值为，
泰勒公式，令可知：，
，则面积的最大值为.
15．【答案】(1)或
(2)存在，且
【详解】（1）因为向量，，则，
因为，则，解得或.
（2）由向量，知，
所以，
当时，取得最大值，此时，
若存在实数，使，则，
又因为，，，
所以，即，解得，
因此，存在实数，且，使得.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得，
故，
在中，，，所以，
可得，而，故即.
（2）由正弦定理的得，，
因为，则，
所以，
因为为锐角三角形，则，，，故，
所以周长的取值范围.
18．【答案】(1)15km．
(2)景区可以铺设该步行道．
【详解】（1）
连接BD，在中，，，
所以，
所以．由题意可知，所以．
在中，，
所以，即景点电动车专用道BE的长为15km．
（2）设，则，，．
在中，由正弦定理得，
所以，
，
所以．
设，，则．
因为在上单调递增，所以．
因为，所以景区可以铺设该步行道．
19．【答案】(1)
(2)存在“长向量”，
(3)4044
【详解】（1）由题意可得：，，，
则，解得：
（2）存在“长向量”，且“长向量”为，理由如下：
由题意可得，若存在“长向量”，只需使，
因为，，，，，，
所以，故只需使
，
当，均符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为.
（3）由题意，得，，即，
即，同理，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由，解得，
即
设，则依题意得：，
得，
故，
，
所以，
因为
所以，
当且仅当时等号成立，
所以.