2024-2025学年广西钦州市高二上学期第一次月考数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年广西钦州市高二上学期第一次月考数学检测试题合集2套（附解析），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．复数满足：（其中是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知向量，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
3．某中学高一年级有189名女生，现采用按比例分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为60的样本，已知样本中有32名男生，则该中学高一年级的学生数量是（ ）
A．405名B．393名C．400名D．395名
4．已知平面向量满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．一般地，多项选择题有四个选项，其中有两个或三个选项正确，其赋分规则是：选对部分正确选项得部分分，选对全部正确选项得满分6分，有错误选项得0分.某道多项选择题有四个选项，其中有三个选项正确，答题时只能选一个､两个或三个选项.小明随机作答，则他得0分的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面ABCD，，E为线段PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（ ）
A．0.5B．0.6C．0.57D．0.575
8．已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心，，若，则m的值为（ ）
A．B．C．1D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．学校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，…，分成六组，得到如图所示的频率分布立方图，则下列说法正确的是（ ）

A．a的值为0.05
B．估计测试成绩低于70分的有240人
C．估计测试成绩的众数为75
D．估计测试成绩的平均数为71
10．一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到2号球的概率分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．在正方体中，，E为棱的中点，F是正方形内部（含边界）的一个动点，且平面．下列四个结论中正确的是（ ）
A．动点F的轨迹是一段圆弧
B．不存在符合条件的点F，使得
C．三棱锥的体积的最大值为
D．设直线与平面所成角为，则的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为___________.
13．已知，，则 .
14．一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．
(1)若，求证：直线平面PAB；
(2)在（1）的条件下，求三棱锥的体积．
17．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求乙选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求至多有一名选手通过全部考核的概率．
18．设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求锐角的面积的取值范围．
19．对于平面向量，定义“变换”：，
(1)若向量，，求；
(2)求证：；
(3)已知，，且与不平行，，，求证：．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由，
得，
则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D.
2．【答案】D
【分析】先进行向量的线性坐标运算，再利用向量垂直的数量积坐标表示求解可得.
【详解】因为，所以.
因为，所以，
则，解得.
故选D.
3．【答案】A
【详解】易知样本中女生人数为人，
设高一年级男生人数为，则，所以；
所以该中学高一年级的学生数量为.
故选：A
4．【答案】C
【详解】因为在上的投影向量为，即，所以，
又，
，
所以，
且，则.
故选：C
5．【答案】D
【分析】列举所有基本事件，即可根据古典概型概率公式求解.
【详解】不妨设四个选项为其正确选项为，
该考生随机作答的所有选择结果构成的样本空间为,,,,,,,,,,,,,，
由上，得0分的事件有 ,,,,,,
所以得0分的概率为，
故选D.
6．【答案】B
【详解】取中点，连接.又因为E为线段PB的中点，所以，故或其补角为异面直线AE与PC所成的角.
因为底面ABCD为菱形，，所以，，又因为平面ABCD，平面ABCD，所以，，所以，所以，.
在中，由余弦定理得，
所以异面直线AE与PC所成角的余弦值为.
故选：B.

7．【答案】D
【详解】由题意知，
一二局甲胜的概率为：，
一三局甲胜的概率为：，
二三局甲胜的概率为：，
因此最终甲胜的概率为，
故选：D.
8．【答案】C
【详解】如图所示：

取AB的中点D，则，
代入，
得，
两边同乘以得，
化简得，
由正弦定理得，
化简得，
则，
.
故选：C
9．【答案】BCD
【详解】对于A，由图知，解得，故A错误；
对于B，由图知测试成绩低于70分的有人，故B正确；
对于C，由图知估计测试成绩的众数为，故C正确；
对于D，由图知估计测试成绩的平均数为
，故D正确.
故选：BCD.
10．【答案】CD
【详解】方案一：易得“选到2号球”的概率；
方案二：先后有放回的摸出两个球的基本事件有，共件，
其中“选到2号球”的基本事件有，共件，
所以“选到2号球”的概率为；
方案三：同时摸出两个球的基本事件有，共3件，
其中“选到2号球”的基本事件有，共1件，
所以“选到2号球”的概率为；
所以，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
11．【答案】CD
【详解】对于A，分别取和的中点，连接，，，，
由正方体性质知，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又平面，，所以平面平面，
因为平面，则当在上运动时，有平面，
故动点的轨迹是线段，故A错误；
对于B，当为线段中点时，，
，又，，故B错误；
对于C，三棱锥的体积，
又，此时与点重合，
所以三棱锥的体积的最大值为，故C正确；
对于D，连接，因为平面，
则与平面所成角，则，
当与或重合时，，当时，，
则，所以的取值范围是，故D正确；
故选：CD.

12．【答案】
【详解】因为数据的平均数是7，
所以，解得，
因为，
所以这组数据的第百分位数为第位数，即.
13．【答案】/
【详解】由可得：，所以，
则，
因为，
所以
.
故答案为：.
14．【答案】/
【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，
为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点，
连接是球与侧面的切点，可知在上，，
设内切球半径为，
则，
由△∽△可知，即，解得，
所以内切球表面积.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【详解】（1）由函数的部分图象可知，，
所以，所以，所以函数，
又，所以，
解得，由可得，
所以.
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
所以在上的最大值为，最小值为.
16．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）取PA上一点Q，满足，连接MQ，QB，
由，得且，
由，且，点N为BC中点，得，且，
因此且，则四边形为平行四边形，
则，平面，平面，
所以直线平面．
（2）由（1）知，，平面，平面，所以平面，
而，平面，，所以三棱锥的体积
.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设事件表示“乙选手能正确回答第轮问题”，
所以，
设事件表示“乙选手进入第三轮才被淘汰”，即甲选手第一、二轮的问题回答正确，而第三轮的问题回答错误，
则.
（2）设事件表示“甲选手能正确回答第轮问题”，
所以，
设表示“甲选手通过全部考核”，
则．
设表示“乙选手通过全部考核”，
则．
则至多有一名选手通过全部考核的概率为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理，得．
又在中，，
所以，则，
又，则，所以，
又，所以.
（2）因为，则，
所以，
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
故，则.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）因为向量
所以
所以.
（2）因为.
所以
.
.
，所以.
（3）方法一：，
，
由（2）可得，
又因为
，即，
可得，
且在内单调递减，，
可知，
所以.
所以
方法二:设，
，
因为，
，
所以
，
所以.
2024-2025学年广西钦州市高二上学期第一次月考数学检测试题（二）
一、单选题
1．设集合M={x|x2−x−60,a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则1m+2n的最小值为（ ）
A．4B．42
C．22D．8
4．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果错误的是（ ）
A．PB= 710B．PA∩B=0
C．PB∩C=7100D．PA∪B=910
5．已知平面向量m,n满足：m=n=2，且m在n上的投影向量为12n，则向量m与向量n−m的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
6．设点A−2,3,B3,2，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−43∪52,+∞B．−43,52
C．−52,43D．−∞,−52∪43,+∞
7．点P−2,−1到直线l:1+3λx+1+λy−2−4λ=0λ∈R的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．13;2x−3y+1=0B．11;3x+y−4=0
C．13;3x+2y−5=0D．11;2x−3y+1=0
8．已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列数学命题不正确的是（ ）
A．平面ACB1//平面A1C1D，且两平面的距离为33
B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变
C．与所有12条棱都相切的球的体积为23π
D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是3−22
二、多选题
9．已知{a,b,c}为空间的一个基底，则下列向量不能作为空间的一个基底的是（ ）
A．a+b，b+c，a−cB．a+2b，b，a−c
C．2a+b，b+2c，a+b+cD．a+c，b+2a，b−2c
10．已知复数z1,z2，下列结论正确的有（ ）
A．若z1=z2，则z12=z22
B．若z1−z2>0，则z1>z2
C．若复数z2满足z2=5i2−i+5i，则z2在复平面对应的点是−1,7
D．若z1=−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一个根，则p=8
11．在△ABC中，已知A=π3,AC=3.那么（ ）
A．若△ABC是钝角三角形，则BC>3
B．若BC=332，则△ABC仅有一解
C．ABBC的最大值是233
D．AB+BC的最大值是6
三、填空题
12．直线l过原点，且垂直于向量1,−3．若角α的终边落在直线l上，则sinα−csαsinα+csα= ．
13．若直线l1：y=kx+4与直线l2关于点M1,2对称，则当l2经过点N0,−1时，点M到直线l2的距离为 .
14．已知正四棱锥P−ABCD的底边长为2，过棱PA上点A1作平行于底面的截面A1B1C1D1，截面A1B1C1D1边长为1,
AA1=2，则截得的台体ABCD−A1B1C1D1的体积为 ．
四、解答题
15．（13分）已知直线l过点1,2，根据下列条件分别求直线l的方程：
(1)直线l的倾斜角比直线3x−3y+1=0的倾斜角大π12；
(2)直线l的一个方向向量为a=1,1；
(3)若直线l在y轴截距是x轴截距的2倍；
(4)若直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积最小时，求直线l的方程．
16．（15分）已知函数fx=lgx+2−lg2−x.
(1)求fx的定义域；
(2)判断fx的奇偶性并予以证明；
(3)求不等式fx>1的解集.
17．（15分）如图，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB//CD,PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E,F,M分别为AP,CD,BQ的中点.
(1)求证：EF//平面CPM；
(2)求平面QPM与平面CPM夹角的正弦值；
(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求N到平面CPM的距离.
18．（15分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间50,60,60,70,⋅⋅⋅,90,100分成5组，得到图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果?
(3)在日销售量为70,90kg苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在80,90的概率.
19．（17分）已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A,B,C的对边，A=π4，a=2，AO=OB=OC=R（R为△ABC外接圆的半径）.
(1)证明：OA=−sin2B⋅OB+cs2B⋅OC；
(2)求3OA+2OB+OC的最小值.
参考答案
1．D【详解】M={x|x2−x−60,
1m+2n=2m+nm+4m+2nn=4+nm+4mn≥4+2nm⋅4mn=8，当且仅当nm=4mn,即m=14,n=12时取等号.
4．C【详解】由题意可知，A，B，C为互斥事件，PA∩B=0，PB∩C=0，故B正确，C错误，
抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，
则PA=20100=15，PB=70100=710，故A正确，
PA∪B=PA+PB−PAB=15+710−0=910，故D正确．
5．C【详解】因为m在n上的投影向量为m⋅nn⋅nn=12n，即m⋅n2=1，所以m⋅n=2，
又m⋅n−m=m⋅n−m2=2−22=−2，
n−m=n−m2=n2−2m⋅n+m2=4−2×2+4=2，
所以csm,n−m=m⋅n−mmn−m=−22×2=−12，且0°≤m,n−m≤180°，则m,n−m=120°.
6．A【详解】由直线ax+y+2=0，可得y=−ax−2，
可得直线的斜率为k=−a，且恒过定点P(0,−2)，则kPA=−52,kPB=43，
如图所示，要使得直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则−a≤−52或−a≥43，
可得a≤−43或a≥52，即实数k的取值范围为−∞,−43∪52,+∞.
7．C【详解】直线l的方程1+3λx+1+λy−2−4λ=0可化为x+y−2+λ3x+y−4=0，
联立x+y−2=03x+y−4=0，解得x=1y=1，所以直线l经过定点C1,1，
当PC⊥l时，点P到直线l的距离最大，最大距离为PC=−2−12+−1−12=13，
因为直线PC的斜率kPC=1+11+2=23，PC⊥l，所以直线l的斜率kl=−32，
所以−1+3λ1+λ=−32 解得λ=13，所以直线l的方程为3x+2y−5=0.
8．D【详解】对于选项A，∵AB1//DC1,AB1⊄平面A1C1D,DC1⊂平面A1C1D，
∴AB1//平面A1C1D，同理可证AC//平面A1C1D，
AB1∩AC=A,AB1,AC⊂平面ACB1，∴平面ACB1//平面A1C1D，
正方体的对角线BD1=3，设B到平面ACB1的距离为ℎ，则VB−ACB1=VC−ABB1,13×ℎ×34×(2)2=13×1×12×12，
ℎ=33，则平面ACB1与平面A1C1D的距离为d=3−2ℎ=33，故A正确；
对于选项B，点P在线段AB上运动，点P到底面A1B1C1的距离不变，底面积不变，则体积不变，故B正确；
对于选项C，与所有12条棱都相切的球直径等于面的对角线B1C=2，则球的半径为22，球的体积为V=43×π×(22)3=2π3，故C正确；
对于选项D，设正方体的内切球的球心和外接球的球心为O，则△ACB1的外接圆是正方体外接球的一个小圆，
∵M是正方体的内切球的球面上任意一点，
N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，
∴线段MN的最小值为正方体的外接球的半径减去正方体内切球的半径，
∵正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，
∴线段MN的最小值为32−12，故D错误.
9．ACD【详解】对于A,a+b=(b+c)+(a−c)，三个向量共面，不能作为空间的基底；
对于B,假设a+2b，b，a−c共面，则存在λ、μ∈R,使a+2b=λb+μ(a−c),
所以μ=1λ=2−μ=0，此方程组无解，所以假设不成立，即a+2b，b，a−c不共面，可以作为空间的基底；
对于C,a+b+c=12(2a+b)+12(b+2c),三个向量共面，不能作为空间的基底；
对于D,a+c=12(b+2a)+12(b−2c)，三个向量共面，不能作为空间的基底,
10．CD【详解】若z1=z2，则z12=z22不一定成立，比如z1=1−i ,z2=2i，
满足z1=z2=2，但z12=−2i,z22=−2，不满足z12=z22，A选项错误；
比如z1=2+i ,z2=1+i，满足z1−z2=1>0，
由复数定义可知，两个复数不能比大小，故z1,z2大小无法判断，B选项错误；
z2=5i2−i+5i=5i2+i2−i2+i+5i=−1+2i+5i=−1+7i，所以z2在复平面对应的点是−1,7，C选项正确；
若z1=−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一个根，则−4−3i为方程另一个根，
故−p=−4−3i+−4+3i=−8，即p=8，D选项正确.
11．BC【详解】对于A，当B为钝角时，BC