人教A版（2019）高中数学高考一轮复习第三章平面向量3.3平面向量的数量积（讲义）（原卷版+解析版）

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\l "_Tc193808588" 2知识点02平面向量的数量积 PAGEREF _Tc193808588 \h 2
\l "_Tc193808589" 3知识点03向量数量积的运算性质 PAGEREF _Tc193808589 \h 2
\l "_Tc193808590" 4知识点04向量的投影 PAGEREF _Tc193808590 \h 3
\l "_Tc193808591" 5知识点05常见角的余弦值 PAGEREF _Tc193808591 \h 3
\l "_Tc193808592" 6题型一、判断向量夹角的大小 PAGEREF _Tc193808592 \h 4
\l "_Tc193808593" 7题型二、向量的数量积的运算 PAGEREF _Tc193808593 \h 8
\l "_Tc193808594" 8题型三、向量夹角的余弦值 PAGEREF _Tc193808594 \h 11
\l "_Tc193808595" 9题型四、向量垂直 PAGEREF _Tc193808595 \h 14
\l "_Tc193808596" 10题型五、向量的投影和投影向量 PAGEREF _Tc193808596 \h 17
知识点01向量夹角
已知两个非零向量a与b
θ
θ为钝角
①a与b在平面内相交时所形成的角度；如图：
θ
θ为锐角
②a与b在平面内共起点时所形成的角度；如图
θ为锐角
θ
θ为钝角
θ
知识点02平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|csθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a⋅b，即a⋅b=|a||b|csθ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ，则：
①a⋅b=b⋅a
②(λa)⋅b=λ(a⋅b)=a⋅(λb)
③(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
知识点03向量数量积的运算性质
设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
①e⋅a=a⋅e=|a|csθ
②a⊥b⇔a⋅b=0
③当a与b同向时，a⋅b=|a||b|；当a与b反向时，a⋅b=-|a||b|
④a⋅a=|a|2或|a|=a⋅a
⑤csθ=a⋅b|a||b|(|a||b|≠0)
知识点04向量的投影
向量的投影长度
①定义：向量的投影长度（也称为标量投影）是指一个向量在另一个向量方向上的“分量”的大小。它是一个标量值，表示一个向量在另一个向量方向上的“影子”有多长。
②投影长度的公式
a在b方向上的投影长度：a⋅b|b|
b在a方向上的投影长度：a⋅b|a|
向量的投影向量
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ,b|b|与b是方向相同的单位向量，AB=a,CD=b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1,B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|csθ∙b|b|或者a⋅b|b|∙b|b|
知识点05常见角的余弦值
题型一、判断向量夹角的大小
1．△ABC中，“AB⋅AC0，可得csa,b>0，则a和b的夹角为锐角，
反之，若a和b的夹角为锐角，可得csa,b>0，则a⋅b>0，
所以命题p是命题q成立的充要条件．
故选：C．
7．在△ABC中，下列说法错误的是（ ）
A．“AB+AC=BC”是“A为直角”的充要条件
B．“AB+AC>BC”是“A为锐角”的充要条件
C．“AB⋅AC>0”是“△ABC是锐角三角形”的充分不必要条件
D．“AB⋅ACBC，可得AB+AC>AC-AB，可得AB⋅AC>0，
所以∠A为锐角，所以充分性成立，
当∠A为锐角，可得AB⋅AC>0，可得AB+AC>AC-AB，即AB+AC>BC，所以必要性也成立，所以B正确；
对于C中，由AB⋅AC>0，可得∠A为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形，所以充分性不成立，所以C错误；
对于D中，由AB⋅AC