重庆市万州第二高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份重庆市万州第二高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用求导公式和求导法则进行判断即可.
【详解】，故A错误；
因为是个常数，所以，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：C．
2. 若，则（ ）
A. B. 6C. 3D. -3
【答案】C
【解析】
【分析】由导数的定义可得；
【详解】.
故选：C.
3. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即可做出判断.
【详解】因为的图像经过与两点，即，，
由导数的几何意义可知在与处的切线的斜率为，故选项AD错误；
由的图象知，在上恒成立，故在上单调递增，
又在上越来越大，在上越来越小，
所以在上增长速度越来越快，在上增长速度越来越慢，故选项C错误，因此选项B正确.
故选：B.
4. 设函数的导函数为，满足，则当时，与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，注意到已知，可得为单调增函数，最后由，代入函数解析式即可得答案．
【详解】设，
∵，
∴
∴函数为R上的增函数
∵
∴
即
∴
故选：A．
5. 若函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A. -24B. -12C. 24D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得恒成立，进而分离参数即可求解.
【详解】由题意得，则恒成立.
因为，所以.
故选：B.
6. 若直线与曲线相切，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设切点，则，利用导数求曲线的斜率，进而可得.
【详解】设直线与曲线的切点为，故
由得，故，得，故.
故选：B
7. 设点M(，)和点N(，)分别是函数和图象上的点，且，，若直线MN∥x轴，则M，N两点间的距离的最小值为( )
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，，求出其导函数，求得的最小值大于0，由此可知x≥0时，f(x)图像在g(x)图像上方，则M、N两点间距离为，其最小值为h(x)在x≥0时的最小值．
【详解】令，，则，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
故x≥0时，，
∴x≥0，h(x)＞0，即，即，即f(x)＞g(x)，即f(x)图像始终在g(x)图像上方.
由题可知，MN∥x轴时，，则，则，则，
则M，N两点间的距离为，.
根据可知，M，N两点间的距离的最小值即为.
故选：D.
【点睛】本题关键是判断f(x)与g(x)图像在x≥0时情况，通过构造函数h(x)＝f(x)－g(x)可以判断f(x)图像在g(x)图像上方，由此正好将M、N之间的距离转化为函数h(x)的函数值，h(x)函数值的最小值即为M、N之间距离的最小值.
8. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求函数定义域，进而转化为，与两函数有两个交点，利用导函数得到的单调性，得到函数极值和最值，画出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】定义域为，
故有两个不同的根，即，与两函数有两个交点，
其中，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
从而在处取得极大值，也是最大值，
，
且当时，恒成立，
当时，恒成立，
画出的图象如下：
显然要想，与两函数有两个交点，
需要满足，
综上：实数a的取值范围是.
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 题图为的图像，下列判断中正确的是（ ）．
A. 函数在区间上是严格减函数
B. 函数在区间上是严格减函数
C. 函数在区间上是严格增函数
D. 函数在区间上是严格增函数
【答案】AC
【解析】
【分析】借助导函数的正负即可得原函数的单调性.
【详解】对A：在区间上，则函数在区间是严格减函数，故A正确；
对B：在区间上有正有负，故B错误；
对C：在区间上，则函数在区间是严格增函数，故C正确；
对D：在区间上有正有负，故D错误；
故选：AC.
10 已知函数，则（ ）
A. 当时，有两个极值点B. ，使得为单调函数
C. 当时，D. ，的图象恒有对称中心
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出函数的导数，令，根据方程判别式的情况判断A；通过取特殊值，根据导数的正负情况判断B；求出单调递增区间，利用单调性判断C；利用中心对称的意义判断D.
【详解】函数的定义域为，求导得，
对于选项A，当时，，方程有两个不等实根，
所以有两个极值点，故A正确；
对于选项B，当时，，
所以函数为上增函数，故B正确；
对于选项C，当时，令f′x=x2+4x+1>0，
解得或，所以函数在上单调递增，
又因为，所以，故C错误；
对于选项D，
，
所以的图象恒关于点对称，故D正确.
故选：ABD.
11. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是的极小值点
B. 不存在正整数，使得恒成立
C. 函数有2个零点
D. 对任意两个正实数，且，若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，通过导数求解单调区间，验证即可；B选项，将恒成立转化为恒成立，利用导数知识判断有无最小值即可；C选项，利用导数判断函数单调性结合零点存在性定理可判断选项正误；D选项，将判断选项正误转化为证明若，则，后通过函数单调性可证明结论.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的导数 ，
∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
∴是的极小值点，故A正确；
对于B选项，若，可得，
令，则，
令，则，
∴在上，，函数单调递增，上，，函数单调递减，
∴，∴，
∴在上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数，使得成立，故B正确；
对于C选项，，
∴，∴ 函数在上单调递减，
又∵ ，，
∴ 函数有且只有1个零点，故C错误；
对于D选项，由，，结合A选项可知，
要证，即证，且，
由函数在是单调递增函数，所以有，
由于，所以，即证明，
令，
则，所以在是单调递减函数，
所以，即成立，
故成立，所以D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：对于恒成立问题，常转化为求解相关函数的最值；对于零点问题，常利用数形结合思想，或单调性结合零点存在性定理进行处理；对于双变量问题，常见处理手段为利用题目条件将双变量变为单变量问题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的极小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】求导，判断函数的单调性求出极值.
【详解】由，，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，取得极小值，且极小值为，
故答案为：.
13. 已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围.
【详解】由求导得：，
因该函数有三个单调区间，则方程必有两相异实根，
则有，解得.
故答案为：.
14. 设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可.
【详解】由题意，，当时，，，所以；
当时，，，所以，
等号仅当时成立，所以.
所以对，即，即.
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，因此.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）3 （2）⋅
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值；
（2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值.
【小问1详解】
由题意得的定义域，且
因为函数在处取值得极值，所以
解得
此时，，
令得或，令得，
故函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意
所以．
【小问2详解】
由（1）得，，
令，得，所以函数在单调递增，
令，得，所以函数在单调递减，
所以函数在处取极小值，
所以当时，的最小值为
16. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求在点处的切线方程；
（2）分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.
【小问1详解】
当时，，所以，
而，所以在切线斜率，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
因为，其中，
则，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值，
②当时，令，可得，列表如下：
所以，
由题意可得，即，
令，则
因为，
所以函数在单调递增，
所以由，得，
所以实数的取值范围是.
17. 设函数，.
（1）当时，求的单调区间；
（2）令，是否存在实数，当时，函数的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）存在，
【解析】
【小问1详解】
当时，，，得， 令，解得，令，解得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
存在实数，使得当时，的最小值是 理由如下：
因为，，所以，所以，
①当时，易知在上单调递减，所以在上的最小值为，解得，不合题意，舍去；
②当时，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增， 所以在上的最小值为，解得，满足题意；
③当时，时，，在上单调递减，所以在上的最小值为，解得，不合题意，舍去.
综上，存在实数，使得当时，的最小值是.
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若为函数的正零点，证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先得到函数的定义域，求出导函数，然后分三种情况讨论即可求得结果；
（2）根据（1）中的结论得到单调区间，将不等式转化为函数之间的关系，即可得到恒成立问题，构造新的函数，再根据导数讨论单调性即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
，
①当即时，，
函数单调递增，增区间为，没有减区间；
②当时，令，解得，
当，则，即时，
可得函数的减区间为，增区间为；
③当，则，即时，
可得函数的减区间为，增区间为；
综上，当时，增区间为；
当时，减区间为，增区间为；
当时，减区间为，增区间为；
【小问2详解】
由（1）可知当时，函数的减区间为，增区间为，
可知等价于.
因为，为函数的正零点，
所以，等价于证明，
又由，
令，有，
可得
，
令，有，
可得函数单调递减，有，
可得当时，.
故有，可得得证.
【点睛】方法点睛：借助导数讨论函数单调区间的方法：
（1）根据函数解析式得到函数的定义域，单调区间均在定义域内讨论；
（2）求出函数的导函数，根据导函数的正负来判断原函数的单调性，这个时候注意分情况讨论，大多数时候需要令导函数为零求出极值；
（3）本题关键点是利用单调性和零点定义将不等式转化为恒成立问题，然后通过换元构造新的函数，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想和分类讨论思想的应用.
19. 已知函数．
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）若有两个极值点．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，令导函数大于0，可求函数的增区间.
（2）（ⅰ）求导，结合换元法，把问题转化成二次函数有两个不等正根可求参数的取值范围.
（ⅱ）利用（ⅰ）中的有关结论，把化成，设，问题转化成证明.利用导数，分析函数单调性，即可证明结论.
【小问1详解】
当时，，
由，所以
故单调递增区间为.
【小问2详解】
（ⅰ），令，即
令，，则是方程的两个正根，
则，即，
有，，即.
所以的取值范围为：.
（ⅱ）
令
则．
令，则，
则在上单调递减，
又
故存在，使，即，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减
则，
又，故
即.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元的思想，利用换元转化为其他函数，利用导数，转化为隐零点问题求解.
0
+
递减
极小值
递增