重庆市万州第二高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考试题 数学试题（原卷版+解析版）

这是一份重庆市万州第二高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考试题 数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（总分：150分； 时间：120分钟）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 中，三边之比，则等于（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，已知，且满足，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
6. 在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知是内的一点，且，则的最小值是（ ）
A 8B. 4C. 2D. 1
8. 如图所示，已知在四边形ABCD中，，且点A，B，C，D共圆，点M，N分别是AD和BC的中点，则的值为（ ）

A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（ ）
A.
B.
C. 满足的复数对应的点形成的图形的周长是
D. 满足的复数对应的点形成的图形的面积是
10. 如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ）

A.
B.
C. 最大值为
D ，，三点共线时
11. 的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
13. “文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢赞叹李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经个寒暑，三易其稿，完成了万字的巨著本草纲目，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点、、，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为_________米
14. 已知为单位向量，且，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设复数（其中），.
（1）若是实数，求的值；
（2）若是纯虚数，求.
16. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，且AD＝4DC.
（1）求BD的长；
（2）求sin∠BDC的值.
17. 如图，在等腰梯形中，，，线段中点，与交于点，
（1）用和表示；
（2）求；
18. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，求边上的角平分线长；
（3）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
19. 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．
（1）求∠BAC；
（2）若，，，求C的坐标；
（3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围．
高2024级高一下月考数学试题
出题人：杨柳 审题人：何金晶
（总分：150分； 时间：120分钟）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．
【详解】解：化简可得
，
的共轭复数，
故选：B．
2. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量平行的坐标表示求解即可.
【详解】当时，，，
此时，故，故充分性成立，
当时，满足，解得，
故此时必要性成立，故C正确.
故选：C
3. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为,所以
所以在上的投影向量的坐标为：
，
故选 ：C.
4. 中，三边之比，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，利用正弦定理角化边，即可求得答案.
【详解】中，三边之比，设，
则由正弦定理得，
故选：D
5. 在中，已知，且满足，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理和余弦定理得，再根据向量数量积得，则得到，即可判断三角形形状.
【详解】由题意得，
即，由正弦定理得，
即，则，因为，所以，
又，
所以,
故，因为，所以．
综上可知三角形为等边三角形．
故选：C.
6. 在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据条件确定是等边三角形，再建立坐标系，用坐标法求数量积的范围.
【详解】，，，，可得， ，，若，则，，，可得，，，即，即是等边三角形.如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，，，.由题意设，则，，.
因为，所以.
故选：C.

7. 已知是内的一点，且，则的最小值是（ ）
A. 8B. 4C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据判断点的位置，进而根据三角形的面积公式可得,所以,进而根据不等式即可求解最小值.
【详解】由得
取边中点为,则,
因此可知：在过且与平行的中位线上，
由得,由于为三角形的内角，因此,
所以,所以,
因此,
设，
故，
当且仅当时，即时，等号成立，
故最小值为8，
故选：A
8. 如图所示，已知在四边形ABCD中，，且点A，B，C，D共圆，点M，N分别是AD和BC的中点，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据圆的几何性质，结合余弦定理，求和，再利用向量转化，结合数量积公式，即可求解.
【详解】由提设，则，
在中，，
在中，，
所以，可得，故，
，，
中，，
中，，
所以，得
得，

又，分别是和的中点，
所以，
所以，
.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（ ）
A.
B.
C. 满足的复数对应的点形成的图形的周长是
D. 满足的复数对应的点形成的图形的面积是
【答案】BC
【解析】
【分析】由复数的几何意义以及模长公式即可判断AB，先确定复数对应的点的轨迹，即可得到其周长以及面积，即可判断CD.
【详解】对于A，，则，
且，，而，故A错误；
对于B，因为，则，即，
故B正确；
对于C，设，且，由可得，即，
以复数对应的点形成的图形是以原点为圆心，为半径的圆，
其周长为，故C正确；
对于D，因为，，由可得，
复数对应的点形成的图形是以原点为圆心，
半径与的两个圆所夹圆环内点的集合，
其面积为，故D错误；
故选：BC
10. 如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ）

A.
B.
C. 最大值为
D. ，，三点共线时
【答案】ACD
【解析】
【分析】依题意可得为的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A，建立平面直角坐标系，求出圆的方程，设，，利用坐标法判断B、C，由三点共线得到，即可求出，从而求出，，即可判断D.
【详解】因为，即为的中点，所以，故A正确；
如图建立平面直角坐标，则，，，，
所以，，则，故B错误；
又，
所以圆的方程为，
设，，
则，又，
所以，
因，所以，
所以，
所以，故最大值为，故C正确；
因，，三点共线，所以，
又，，
所以，即，
所以，
所以，又，，
且，即，
所以，所以，所以，故D正确.
故选：ACD

11. 的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，对已知条件结合正弦定理可说明其正确；
B选项，通过内切圆半径和面积法推出；
C选项，由A先等价推出，由三角形的面积公式可算出；
D选项，根据的取值结合和正弦定理可计算.
【详解】
如图，设内切圆圆心为，则到三边的距离均为，于是，即，则，得到，B选项正确；
由可得，
结合正弦定理可得，，即，A选项正确；
根据诱导公式，，，
，按照整体展开得到，，而，于是，即，故，由三角形面积公式，，解得，C选项正确；
由正弦定理结合B选项，，即，D选项错误.
故选：ABC
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
【答案】5
【解析】
【详解】 由复数在复平面内对应的点分别为，
又三点是共线的，所以．
13. “文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经个寒暑，三易其稿，完成了万字的巨著本草纲目，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点、、，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为_________米
【答案】30
【解析】
【分析】利用解直角三角形得到三边长，再利用余弦定理得到五边关系，从而可求解高度.
【详解】
设雕像高为，设雕像底部为点，根据直角三角形正切函数可得：
再由，结合两个三角形的余弦定理可得：
因为，
所以
即，
解得：，
故答案为：.
14. 已知为单位向量，且，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值.
【详解】因为为单位向量，有，得，
由，得，得，
所以，又，所以，
而，
则
当且仅当与方向相反时“=”成立
所以的最小值为；
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设复数（其中），.
（1）若是实数，求的值；
（2）若是纯虚数，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题知为实数，所以，求得，再进行复数的乘法运算即可；
（2）由题知为纯虚数，所以，求得，再根据复数的模长公式计算即可.
【小问1详解】
由已知，
是实数，
，即，
【小问2详解】
，
由于是纯虚数，，解得，
则.
.
16. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，且AD＝4DC.
（1）求BD的长；
（2）求sin∠BDC的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出，在中，再利用余弦定理即可求解.
（2）在中，利用正弦定理即可求解.
【详解】（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
则，所以，
由AD＝4DC，则，，
在中，，
所以.
（2）由，，BC＝3，
在中，，
即，解得
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理内容，属于基础题.
17. 如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，
（1）用和表示；
（2）求；
【答案】（1）．
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据向量得线性运算即可求得答案；
（2）设，从而得出，根据共起点的三向量终点共线的充要条件求出t，即可求得答案.
【小问1详解】
由向量的线性运算法则，可得，
，
因为为线段中点，则，
联立得：，
整理得：．
【小问2详解】
由与交于点，设，
得，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．
所以，即得.
18. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，求边上的角平分线长；
（3）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得；
（3）延长交于，延长交于，设，，分别求出、，再根据三角恒等变换化一，结合正切函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以，
由正弦定理得，
则，
因为，所以；
【小问2详解】
因为，，，
即，解得，
设边上角平分线长为，
则，即，
即，解得，即边上的角平分线长为；
【小问3详解】
延长交于，延长交于，
设，，所以，
在中，
在中，，所以，
在中，同理可得，
所以
，
因为，所以，所以，所以，
即的取值范围为.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
19. 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．
（1）求∠BAC；
（2）若，，，求C的坐标；
（3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据与同向，设，利用夹角公式，结合，得到，再由，得到求解；
（2）由（1）知，，得到是正三角形，利用边长相等求解；
（3）设BC的中点为D，由，得到G为的重心，且为的中心，不妨设与的夹角为，，分别表示数量积求解.
【小问1详解】
解：因为与同向，设，
则，
，
又∠GAB，．
因为，所以，
所以，
由，得，
又，所以，．
【小问2详解】
由（1）知，．
所以，
因为，，，
所以，，，
则，解得
所以C的坐标为．
【小问3详解】
设BC的中点为D，则，又，
所以，即G为重心，又是正三角形，点G是的中心，
所以，，，
由对称性，不妨设与的夹角为，，
如图所示，
，
，
由图可知，与，与的夹角分别为，，
所以，的值分别为，，
当时，，
所以，其取值范围是．
所以的取值范围是．