2023-2024学年重庆市万州第二高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市万州第二高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(m,1),b=(1,−2),a//b，则m=( )
A. 12B. −12C. 2D. −2
2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，E是CD边上一点，且DE=2EC，则AE=( )
A. a+13bB. a+23bC. 13a+bD. 23a+b
3.在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b.若 5bsinA=2sinB，则a=( )
A. 2 55B. 52C. 55D. 4 55
4.已知|a|=5，|b|=4，与b同向的单位向量为e，若a在b上的投影向量为−52e，则a与b的夹角θ=( )
A. 60°B. 120°C. 135°D. 150°
5.冬奥会会徽以汉字“冬”(如图1甲)为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD(如图乙)，测得AB=3，BD=4，AC=AD=2，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算cs∠ACD的值( )
A. 12B. 1114C. 3 1516D. 1116
6.如图，正六边形的边长为2 2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA⋅MB的取值范围为( )
A. [4,5]
B. [5,7]
C. [4,6]
D. [5,8]
7.在三角形ABC中，点D是AB边上的四等分点且AD=3DB，AC边上存在点E满足EA=λCE(λ>0)，直线CD和直线BE交于点F，若FC=μDF(μ>0)，则λμ的值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8.在△PAB中，∠APB=π3，若点C为AB的中点，则PCAC的取值范围为( )
A. (12, 32]B. (12,1]C. [ 32, 3)D. (1, 3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面给出的关系式中，正确的是( )
A. a⊥b⇒a⋅b=(a⋅b)2B. a⋅b=a⋅c⇒b=c
C. (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)D. |a⋅b|≥a⋅b
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则△ABC为直角三角形
B. 若a=2 3,b=4,A=θ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则θ∈(0,π3)
C. 若△ABC平面内有一点O满足：OA+OB+OC=0，且|OA|=|OB|=|OC|，则△ABC为等边三角形
D. 若tanA+tanB+tanC<0，则△ABC为钝角三角形
11.已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A. 若cs2A>cs2B，则aB. 若满足B=30°，b=6的△ABC恰有一个，则a的取值范围是0C. 若sinB+csB=1−sinB2，则csB=− 74
D. 若c(csA+csB)=a+b，c=1，则该三角形内切圆面积的最大值是3−2 24π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位向量a,b满足|a+2b|=|a−2b|，则|3a+4b|= ______．
13.在△ABC中，BC=2 6，S△ABC= 22AB⋅AC，则△ABC外接圆半径为______．
14.设点A(−2,0)，B(−12,0)，C(0,1)，若动点P满足|PA|=2|PB|，且AP=λAB+μAC，则λ+2μ的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(2,0)，b=(1, 3).
(1)求|2a−b|的值；
(2)若向量ta+b与向量a+tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且acsC+ 3asinC=b+c，
(1)求角A的值；
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．
17.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=π3，∠ADC=π2，BC=2．
(1)若△ABC的面积为3 32，求AC的长；
(2)若AD= 3，∠ACB=∠ACD+π4.求∠ACD的大小．
18.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=2，ab= 33sinC+csC．
(1)求角B；
(2)若M是△ABC内的一动点，且满足BM=MA+MC，则|BM|是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若D是△ABC中AC上的一点，且满足BA⋅BD|BA|=BD⋅BC|BC|，求AD：DC的取值范围．
19.(本小题17分)
将所有平面向量组成的集合记作R2，f是从R2到R2的映射，记作y=f(x)或(y1,y2)=f(x1,x2)，其中x=(x1,x2)，y=(y1,y2)，x1，x2，y1，y2都是实数.定义映射f的模为：在|x|= x12+x22=1的条件下|y|的最大值，记做||f||.若存在非零向量x∈R2，及实数λ使得f(x)=λx，则称λ为f的一个特征值．
(1)若f(x1,x2)=(13x1,x2)，求||f||；
(2)如果f(x1,x2)=(x1+2x2,x1−x2)，计算f的特征值，并求相应的x；
(3)若f(x1,x2)=(a1x1+a2x2,b1x1+b2x2)，要使f有唯一的特征值，实数a1，a2，b1，b2应满足什么条件？试找出一个映射f，满足以下两个条件：①有唯一的特征值λ；②||f||=|λ|，并验证f满足这两个条件．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：向量a=(m,1),b=(1,−2),a//b，
由题意可知−2m=1，则m=−12．
故选：B．
利用向量平行的性质列方程求解．
本题考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，DE=2EC，
则AE=AD+DE=AD+23DC=AD+23AB=b+23a．
故选：D．
由已知得AE=AD+DE=AD+23DC=AD+23AB，代入可求．
本题主要考查了向量的线性表示，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为 5bsinA=2sinB，
又根据正弦定理可知sinA=a2R，sinB=b2R，R是△ABC外接圆半径，
则 5b⋅a2R=2⋅b2R，得a=2 55．
故选：A．
根据题意利用正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=a⋅b|b|⋅e=−52e，
所以a⋅b|b|=−52，即5×4×csθ4=−52，
解得csθ=−12，
由0°≤θ≤180°知，θ=120°．
故选：B．
根据向量在向量上投影向量的定义计算即可得解．
本题主要考查了向量投影的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意，在△ABD中，由余弦定理可得，cs∠ADB=AD2+BD2−AB22AD⋅BD=4+16−92×2×4=1116，
在△ACD中，由AC=AD=2，得cs∠ACD=cs∠ADB=1116．
故选：D．
在△ABD中，由余弦定理求出cs∠ADB，再在△ACD中，由AC=AD=2，得出cs∠ACD=cs∠ADB，即可解得结果．
本题考查余弦定理的应用，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可得：MA⋅MB=(MO+OA)⋅(MO+OB)=(MO+OA)⋅(MO−OA)
=|MO|2−|OA|2=|MO|2−1，
当OM与正六边形的边垂直时，|MO|min= 6，
当点M运动到正六边形的顶点时，|MO|max=2 2，
所以|MO|∈[ 6,2 2]，
则|MO|2∈[6,8]，
即MA⋅MB=(|MO|2−1)∈[5,7]．
故选：B．
根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得MA⋅MB=|MO|2−1，再由|MO|的范围，即可得到结果．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意，EA=λCE(λ>0)，
则BE=BC+CE=BC+11+λCA=BC+11+λ(BA−BC)=11+λBA+λ1+λBC，
同理可得：BF=11+μBC+μ1+μBD=11+μBC+μ4(1+μ)BA，
因为直线CD和直线BE交于点F，
所以BF=mBE=m1+λBA+mλ1+λBC，
即mλ1+λ=11+μm1+λ=μ4(1+μ)，解得λμ=4．
故选：C．
设CD与BE交于点F，根据向量加、减法的三角形法则，共线向量定理可求出BE和BF，利用B，D，E三点共线，得出BF=mBE，根据对应系数相等可求得λμ的值．
本题考查平面向量的基本定理的应用，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为∠APB=π3,C为AB的中点，所以PC=12(PA+PB)，
可得PC=|PC|=12 (PA+PB)2=12 b2+a2+2abcs∠APB=12 a2+b2+ab，
由余弦定理可得AB= a2+b2−2abcs60°= a2+b2−ab，所以AC=12 a2+b2−ab，
所以PCAC= a2+b2+aba2+b2−ab= a2+b2−ab+2aba2+b2−ab= 1+2aba2+b2−ab= 1+2ab+ba−1，
因为ab+ba≥2 ab×ba=2，所以0<2ab+ba−1≤2，当且仅当ab=ba即a=b时取等号，
所以1故选：D．
利用向量加法运算及数量积模的公式求得PC=12 a2+b2+ab，利用余弦定理求得AB= a2+b2−ab，再根据基本不等式求解即可．
本题主要考查三角形中的几何计算，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对A：由a⊥b，得a⋅b=0，而(a⋅b)2=02=0，故A正确；
对B：取a=0，则a⋅b=a⋅c成立，但b=c不一定成立，故B错误；
对C：(a⋅b)⋅c表示与c共线的向量，而a⋅(b⋅c)表示与a共线的向量，
所以(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)不一定成立，故C错误；
对D：因为|a⋅b|=|a|⋅|b|⋅|cs|，a⋅b=|a|⋅|b|cs，
又|cs|≥cs，所以|a⋅b|≥a⋅b，故D正确．
故选：AD．
由向量数量积的概念、性质及运算律即可得出答案．
本题考查平面向量的数量积的运算律，属中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A，因为(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0,AB|AB|,AC|AC|别为单位向量，所以∠A的角平分线与BC垂直，所以AB=AC，所以∠B=∠C.又因为AB|AB|⋅AC|AC|=12，
即csA=12，因为0对于选项B，要使满足条件的三角形有且只有两个，则bsinA对于C，因为OA+OB+OC=0，故|OA+OB|2=|OC|2，即|OA|2+|OB|2+2OA⋅OB=|OC|2，又|OA|=|OB|=|OC|，所以|OA|2+2|OA|⋅|OB|⋅cs∠AOB=0，故cs∠AOB=−12，由于∠AOB∈[0,π]，故∠AOB=2π3，同理可得∠AOC=∠BOC=2π3，结合|OA|=|OB|=|OC|，故△AOB≅△AOC≅△COB，可得|AB|=|AC|=|BC|，故△ABC为等边三角形，C正确；
对于D.，∵tanA+tanB=tan(A+B)(1−tanAtanB)，
∴tanA+tanB=−tanC(1−tanAtanB)，
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，
又tanA+tanB+tanC<0，而A，B，C∈(0,π)，
所以A，B，C中有一个为钝角，D正确．
故选：BCD．
对于A，AB|AB|，AC|AC|分别为单位向量，可得∠A的角平分线与BC垂直，由已知可求角A，进而可判断A；对于B，满足条件的三角形有且只有两个，则bsinA本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A，若cs2A>cs2B，则1−sin2A>1−sin2B，即sin2A因为A，B∈(0,π)，所以sinA>0，sinB>0，
所以sinA由正弦定理得a对于选项B，若满足B=30°，b=6的△ABC恰有一个，则asinB=b或b≥a，
所以a=6sin30∘=12或0对于选项C，若sinB+csB=1−sinB2，则2sinB2csB2+1−2sin2B2=1−sinB2，即2sinB2csB2−2sin2B2=−sinB2，
因为00，
所以2csB2−2sinB2=−1，即csB2−sinB2=−12，
所以(csB2−sinB2)2=14，解得2sinB2csB2=34，
因为00，csB2>0，
所以sinB2+csB2= sin2B2+2sinB2csB2+cs2B2= 1+34= 72，
所以csB=cs2B2−sin2B2=(csB2−sinB2)(csB2+sinB2)=−12× 72=− 74，即选项C正确；
对于选项D，由正弦定理及c(csA+csB)=a+b得，sinC(csA+csB)=sinA+sinB，
所以sinCcsA+sinCcsB=sin(B+C)+sin(A+C)，
即sinCcsA+sinCcsB=sinBcsC+csBsinC+sinAcsC+csAsinC，
整理得(sinB+sinA)csC=0，
因为A，B∈(0,π)，所以sinA>0，sinB>0，所以sinA+sinB>0，
所以csC=0，
又0设该三角形内切圆半径为r，
则S△ABC=12ab=12r(a+b+c)，
又c=1，所以a2+b2=c2=1，
所以r=aba+b+1=ab(a+b−1)(a+b+1)(a+b−1)=ab(a+b−1)(a+b)2−1=ab(a+b−1)a2+b2+2ab−1=ab(a+b−1)2ab=12(a+b−1)，
由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC=1，所以a=sinA，b=sinB，
所以r=12(sinA+sinB−1)=12(sinA+csA−1)= 22sin(A+π4)−12，
因为0所以该三角形内切圆面积的最大值为π⋅( 2−12)2=3−2 24π，即选项D正确．
故选：ACD．
对于A，利用同角三角函数的平方关系化简可得sinA对于B，根据三角形解的个数的结论，即可判断；
对于C，利用二倍角公式化简已知等式，可得csB2−sinB2=−12，再结合同角三角函数的平方关系，求出sinB2+csB2的值，然后由二倍角公式求得csB的值；
对于D，由正弦定理边化角，根据两角和的正弦公式变形可得C=π2，再求出内切圆半径r的最大值，即可得解；
本题考查解三角形与三角函数的综合应用，熟练掌握三角恒等变换公式，正弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
12.【答案】5
【解析】解：因为单位向量a,b满足|a+2b|=|a−2b|，
两边平方得(a+2b)2=(a−2b)2，即a2+4a⋅b+4b2=a2−4a⋅b+4a⋅b+4b2，解得a⋅b=0，
又|a|=|b|=1，所以|3a+4b|= (3a+4b)2= 9a2+24a⋅b+16b2= 9+0+16=5．
故答案为：5．
由向量的数量积和模长运算求出即可．
本题考查了平面向量的数量积与模长运算问题，是基础题．
13.【答案】3
【解析】解：因为S△ABC= 22AB⋅AC= 22AB⋅ACcsA=12AB⋅ACsinA，
所以sinA= 2csA，则A为锐角，
又1=sin2A+cs2A=3cs2A，
所以csA= 33，sinA= 63，
由正弦定理得，2R=2 6 63=6，
故R=3．
故答案为：3．
由已知结合向量数量积的性质及三角形面积公式可得csA= 2sinA，结合同角基本关系可求sinA，再由正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，同角基本关系的应用，属于中档题．
14.【答案】2 2+43
【解析】解：设P(x,y)，则|PA|= (x+2)2+y2，|PB|= (x+12)2+y2，
因为|PA|=2|PB|，所以 (x+2)2+y2=2 (x+12)2+y2，
即(x+2)2+y2=4[(x+12)2+y2]，化简得x2+y2=1，即为动点P的轨迹方程．
因为AP=(x+2,y)，AB=(32,0)，AC=(2,1)，且AP=λAB+μAC，
所以x+2=3λ2+2μy=μ，相加得x+y+2=32(λ+2μ)，所以λ+2μ=23(x+y+2)，
由x2+y2≥2xy，得2(x2+y2)≥(x+y)2，即(x+y)2≤2，x+y≤ 2，当且仅当x=y= 22时，等号成立．
所以当x=y= 22时，λ+2μ的最大值为23( 2+2)=2 2+43．
故答案为：2 2+43．
根据题意设P(x,y)，求出动点P的轨迹方程，结合AP=λAB+μAC计算出λ+2μ=23(x+y+2)，进而利用基本不等式求出λ+2μ的最大值．
本题主要考查动点的轨迹方程求法、向量的坐标运算、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为向量a=(2,0)，b=(1, 3).
所以2a−b=(3,− 3)，故|2a−b|=2 3．
(2)由于ta+b=t(2,0)+(1, 3)=(2t+1, 3)，a+tb=(2,0)+t(1, 3)=(2+t, 3t)，
向量ta+b与向量a+tb的夹角为钝角，
所以(ta+b)⋅(a+tb)<0，且向量ta+b与向量a+tb不能共线，
即(2t+1)(2+t)+ 3× 3t=2t2+8t+2<0(2t+1)× 3t≠ 3(2+t)，
所以−2− 3故实数t的取值范围为：(−2− 3,−1)∪(−1,−2+ 3)．
【解析】(1)求出2a−b的坐标，，然后利用向量求模公式即可；
(2)向量ta+b与向量a+tb的夹角为钝角可得数量积小于0，且两个向量不能共线，列式计算可得取值范围．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
16.【答案】解：(1)已知等式acsC+ 3asinC=b+c，
利用正弦定理化简得：sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcsC+csAsinC+sinC，
整理得： 3sinAsinC=csAsinC+sinC，
∵sinC≠0，∴ 3sinA−csA=1，即sin(A−π6)=12，
∵A∈(0,π)，∴A−π6∈(−π6,5π6)，
∴A−π6=π6，即A=π3；
(2)由余弦定理得：a2=4=b2+c2−2bccsπ3，即4+bc=b2+c2≥2bc，
∴bc≤4，
∴S△ABC=12bcsinA= 34bc≤ 3，当且仅当b=c=2时取等号，
则△ABC面积的最大值为 3．
【解析】(1)已知等式利用正弦定理化简，整理并利用两角和与差的正弦函数公式变形，根据sinC不为0变形后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；
(2)由余弦定理列出关系式，把a，csA的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，进而确定出三角形面积的最大值．
此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，因为BC=2，∠ABC=π3，
△ABC的面积为3 32=12AB⋅BC⋅sin∠ABC，
所以12×2× 32×AB=3 32，解得AB=3，
在△ABC中，由余弦定理，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC=7，
所以AC= 7．
(2)设∠ACD=α，则∠ACB=∠ACD+π4=α+π4，
如图，在Rt△ACD中，因为AD= 3，
所以AC=ADsinα= 3sinα，
在△ABC中，∠BAC=π−∠ACB−∠ABC=5π12−α，
由正弦定理，可得BCsin∠BAC=ACsin∠ABC，即2sin(5π12−α)= 3 32sinα，
所以sin(5π12−α)=sinα，
由α为锐角，可得5π12−α=α，
解得α=5π24，即∠ACD的值为5π24．
【解析】(1)由已知利用三角形的面积公式可求AB的值，在△ABC中，由余弦定理可求AC的值．
(2)设∠ACD=α，由已知可求AC= 3sinα，利用三角形内角和定理可求∠BAC=5π12−α，由正弦定理，可得2sin(5π12−α)= 3 32sinα，求得sin(5π12−α)=sinα，由5π12−α=α，可求∠ACD的值．
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵ab= 33sinC+csC，∴a= 33bsinC+bcsC，
由正弦定理得sinA= 33sinBsinC+sinBcsC，
即sin(B+C)= 33sinBsinC+sinBcsC，
∴sinBcsC+csBsinC= 33sinBsinC+sinBcsC，
∴csBsinC= 33sinBsinC，又∵0又∵0(2)点M是△ABC内的一动点，∴BM=MA+MC=BA−BM+BC−BM=BA+BC−2BM，
∴BM=13(BA+BC)，∴BM2=19(BA2+BC2+2BA⋅BC)=19(c2+a2+ac)，
由余弦定理可知b2=a2+c2−2accsB，∴4=a2+c2−ac，∴a2+c2=ac+4，
由基本不等式可得2ac≤a2+c2，即2ac≤ac+4，∴ac≤4，
∴BM2=19(4+2ac)≤19(4+8)=43，当且仅当a=c=2时等号成立，
∴|BM|max=2 33；
(3)∵BA⋅BD|BA|=BD⋅BC|BC|，∴|BA|⋅|BD|cs∠ABD|BA|=|BD|⋅|BC|cs∠DBC|BC|，∴cs∠ABD=cs∠CBD，
又∵余弦函数y=csx在(0,π )上单调递减，∴∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC，
又∵S△ADB=12AD⋅DB⋅sin∠ADB，S△BDC=12BD⋅DC⋅sin∠BDC，∴S△ADBS△BDC=ADDC①，
又∵S△ADB=12AB⋅DB⋅sin∠ABD，S△BDC=12BD⋅BC⋅sin∠DBC，∴S△ADBS△BDC=ABBC②，
由①②可得ADDC=ABBC，所以ADDC=ABBC=ca=sinCsinA，
=sin(2π3−A)sinA= 32csA+12sinAsinA= 32⋅1tanA+12，
又∵B=π3，且△ABC为锐角三角形，∴A+C=2π3⇒C=2π3−A∈(0,π2)，
∴π6∴ADDC∈(12,2)．
【解析】(1)利用正弦定理边化角以及三角恒等变形即可求解；
(2)先利用向量的线性运算得BM=13(BA+BC)，进而可得BM2=19(c2+a2+ac)，再利用余弦定理以及基本不等式即可求解；
(3)由BA⋅BD|BA|=BD⋅BC|BC|，可知BD平分∠ABC，利用三角形面积公式可得ADDC=ABBC，最后利用正弦定理及三角恒等变形即可求解．
本题考查了正余弦定理的应用，涉及基本不等式，向量的数量积，正切函数的最值，属于难题．
19.【答案】解：(1)∵f(x1,x2)=(13x1,x2)，∴y12+y22=19x12+x22，
∵x12+x22=1，∴y12+y22=19x12+x22=19+89x22≤1(x2=±1时取最大值)，
∴此时有||f||=1；
(2)∵f(x1,x2)=(x1+2x2,x1−x2)=λ(x1,x2)，
∴x1+2x2=λx1x1−x2=λx2，即(1−λ)x1=−2x2x1=(1+λ)x2，
两式相比得：(λ−1)(λ+1)=2，∴λ=± 3，
当λ= 3时，解方程x1+2x2= 3x1x1−x2= 3x2，
此时这两个方程是同一个方程，有无穷多个解，
∴x=m(1− 3,1)，其中m∈R，且m≠0，
当λ=−3时，同理得x=n(1− 3,1)，其中n∈R，且n≠0．
(3)解方程组a1x1+a2x2=λx1b1x1+b2x2=λx2，可得x1(a1−λ,b1)+x2(a2,−b1−λ)=0
从而向量(a1−λ,b1)与(a2,−b1−λ)平行，
从而有a1，a2，b1，b2应满足：(a1−b2)2+4a2b1=0．
当f(λ)=λx时，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|.具体证明为：
由f的定义可知：f(x1,x2)=λ(x1,x2)，所以λ为特征值．
此时a1=λ，a2=0，b1=0，b2=λ满足：(a1−b2)2+4a2b1=0，所以有唯一的特征值．
在x12+x22=1的条件下(λx1)2+(λx2)2=λ2，从而有||f||=|λ|．
【解析】(1)由新定义得y12+y22=19x12+x22，利用x12+x22=1，得到19x12+x22=1−89x12≤1，由此能求出||f||；
(2)由特征值定义可得x1+2x2=λx1x1−x2=λx2，由此能f的特征值，并求出相应的x；
(3)解方程组a1x1+a2x2=λx1b1x1+b2x2=λx2，可得x1(a1−λ,b1)+x2(a2,−b1−λ)=0，从而可得a1，a2，b1，b2应满足的条件，当f(λ)=λx时，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|，再进行证明即可．
本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，正确运用新定义是关键，考查运算求解能力，是难题．