河南省驻马店高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份河南省驻马店高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知数列为递增数列，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据递增数列得即，从而得的取值范围为.
【详解】因为数列为递增数列，所以，即.
和显然不能满足，所以且，
为了使得不等式成立，指数函数必须在上单调递增，因此的取值范围为，
故选：C.
2. 双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线的标准方程求得，结合双曲线的焦点位置，即可求得渐近线方程.
【详解】在双曲线标准方程中，，由题意得双曲线焦点在轴上，
所以渐近线方程为.
故选:
3. 圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将圆方程化为标准方程，根据圆心所在象限以及半径为正列出不等式组，求解即可.
【详解】由，配方得
，圆心坐标为.
因为圆心在第三象限，所以，解得.
故选：A
4. 设等差数列{an}的前n项和为，已知，则（ ）
A. 11B. 9C. 8D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由条件结合等差数列性质可求，再由等差数列求和公式及等差数列性质化简方程可求.
【详解】因为数列为等差数列，
所以，，
又，所以，故或，
因为，故，则，
所以，所以.
故选：D.
5. 已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，可求出首项，继而结合的关系可判断为等比数列，即可求得答案.
【详解】由题意知，当时，，即，
当时，，则，
即，
故是以为首项，3为公比的等比数列，
故，，
故选：C
6. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式计算得解.
【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”，
于是，
因此，
所以.
故选：D
7. 已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由数形结合得出最大角及最小角，利用三角恒等变换得解.
【详解】如图，
过点向圆引两条切线，切点分别为，
则与分别为的最大､最小角，设，
由，可得，
由可知,
所以.
故选：D.
8. 双曲线的右支上一点在第一象限，、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为，直线、的斜率分别为、，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先推出的横坐标为，由双曲线的方程可得、、，求得内心的坐标为，再由直线的斜率公式，计算可得所求值.
【详解】如图所示：可设、，设内切圆与轴的切点是点，
、分别与内切圆的切点分别为、，
由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，
故，即，
设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为，
故，解得.
由双曲线的，，，
由题意可得的纵坐标为，即，
又、，可得，
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查三角形的内切圆的性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题.
二、多选题
9. 记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（ ）
A. B. 5C. 6D. 7
【答案】BD
【解析】
【分析】由等比数列的性质求得，然后由得出的可能情形，再计算和．
【详解】∵是等比数列，∴，
∴，
又，，
∴分别为或或或，
或.
故选：BD．
10. 已知等差数列，其前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 当时最大
C. 使的n的最大值为16
D. 数列中的最小项为第9项
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等差数列通项性质与前项和性质逐项判断即可.
【详解】∵等差数列，，∴，
又∵，∴，，∴，A正确；
∵，，∴当，，，，所以当时最大，B正确；
∵，∴，，使的n的最大值为15，C错误；
∵当时，，时，；当，，，
∴当时，，当时，，且递减，且递减，
∴最小，故D正确．
故选：ABD.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为
C. 若是棱的中点，则点到平面的距离为
D. 若与平面所成的角为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A选项，，由题 面，所以不论在棱上如何运动，锥体的底和高都不会发生变化；对于B选项，作出过的平面截正方体所得截面，再求出相关线段的长即可；对于C选项，运用等体积法计算即可；对于D选项，以为坐标原点，建立坐标系，用向量法求出设面的法向量，代入线面角公式即可求范围.
【详解】对于A选项，，因为，可得面，
所以不论在棱上如何运动，锥体的底和高都不会发生变化，
即为定值，故A选项正确；
对于B选项，四边形为过的平面截正方体所得截面，
因为平面平面，且面平面，
面面，
有，又因为为中点，所以为四等分点，
则，故B选项错误；
对于C，当是棱的中点时，，，.
由余弦定理，则.
所以.
，又.
设点到平面的距离为，根据，即，解得，所以选项C正确.
对于D选项，以为坐标原点，建立坐标系如图，
则，，，设，，所以，，，设面的法向量为，则，令，解得，所以，当时，，当时，，当且仅当时等号成立，因此，故D选项正确；
故选：ACD.
三、填空题
12. 已知，若，则___________．
【答案】0
【解析】
【分析】先根据条件求出，然后由赋值法即可求解.
【详解】由题意，所以，即，
令，则，令，则，
所以.
故答案为：0.
13. 已知两点，，动点M满足，抛物线的焦点为F，动点N在C上，则的最小值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】设，由已知求得点M的轨迹方程，数形结合可求得的最小值.
【详解】因为点M满足，
设，则，
两边平方整理得，
即点M的轨迹为圆心，半径为2的圆，
的最小值是M到准线的最短距离，
因为N可以选择在抛物线上，使得N到M的距离加上N到准线的距离最小，
圆心到准线的距离是，
圆的半径是2，所以M 到准线的最短距离是，
因此，的最小值是
故答案为：
14. 已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列.表示不超过x的最大整数，如，则数列的前35项和为___________.
【答案】397
【解析】
【分析】利用数列的通项公式与前n项和的关系可得，利用数列的新定义可得数列的各项，即求.
【详解】由题可得，
所以，
当时，，
当时，，
又也适合上式，
∴，
令，
则，，，，，，，…，，，，
所以，，，，，，，…，，，，
所以数列前35项的和为
.
故答案为：397.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据新定义的特点，分析数列各项，使问题得到解决.
四、解答题
15. 随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
（1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴.
（i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？
（ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围.
参考公式：，.
【答案】（1）
（2）（i）5028万元（ii）
【解析】
【分析】（1）利用题中的数据代入参考公式，即求出线性回归方程；
（2）（i）直接将将x=120代入（1）中所求的线性回归方程计算即可；
（ii）先求出小江、小沈两人中考研人数的数学期望，再求出考研补贴的总期望，根据题意列出不等式组求解p的范围.
【小问1详解】
由题意得，，
又，

，
，
，
所以，
故得y关于x的线性回归方程为；
【小问2详解】
（i）将x=120代入，
估计该省要发放补贴的总金额为（万元）；
（ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、，
，
，
，
，
，可得，
又因为，可得，
故.
16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，△，△均为等边三角形，．
（1）证明：平面平面．
（2）若点到平面的距离为，求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析 （2）16
【解析】
【分析】（1）如图，设，则，根据余弦定理的应用和勾股定理的逆定理计算可得，结合线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点面距建立关于的方程，再次利用空间向量法求出点到平面的距离，结合锥体的体积公式计算即可求解.
【小问1详解】
设，取的中点，连接，如图，
则，且，
在中，，
在中，有，所以，
又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）知，两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，
由，得，
所以，解得，即，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，即，
所以点到平面的距离为，
解得，所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，
所以点到平面的距离为，
又平行四边形的面积为，
所以四棱锥的体积为.
17. 数列满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）若，证明：数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)构造结合等比数列的定义判断即可；
(2)根据（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式；
(3)根据裂项相消求和证明即可.
【小问1详解】
由可得，解得，则.
且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证.
小问2详解】
由（1），故
【小问3详解】
，
故
，即得证.
18. 已知函数.
（1）求证为定值；
（2）若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数的解析式得出的表达式，化简后可得为定值；
（2）由于，可得，即，倒序相加可得.
【小问1详解】
证明：由于函数，
则，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，
则，其中为正整数，，
即，且，
所以，其中为正整数，，
且，
，①
变化前项顺序后，可得：，②
①②得：，
因此.
19. 已知和为椭圆：上两点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）.
（i）若的面积为，求直线的方程；
（ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据给定的点A和B在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率；
（2）（i）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可.
【小问1详解】
由可知，求出，
代入，得，，
则，，
可知椭圆的离心率为.
【小问2详解】
（i）由（1）可知椭圆方程为，
设，，过点的直线为，
与联立得：.恒成立.
所以，
得，所以，直线的方程为：.
（ii）由（i）可知，
直线的方程为，令，得
直线方程为，令，得，
记以为直径的圆与轴交于，两点，
由圆的弦长公式可知，
所以，为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.
A大学
B大学
C大学
D大学
年毕业人数（千人）
年考研人数（千人）