河南省驻马店高级中学2024−2025学年高二下学期4月月考数学试题（含解析）

这是一份河南省驻马店高级中学2024−2025学年高二下学期4月月考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（ ）
A．5B．4C．3D．2
4．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ）
A．240B．480C．384D．1440
7．有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有 （ ）
A．种B．种C．种D．72种
8．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共7项B．x项系数为－280
C．所有项的系数之和为1D．所有项的二项式系数之和为128
10．将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ）
A．该几何体的表面积为
B．该几何体的体积为
C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D．直线平面
11．在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（ ）
A．的最小值为2B．以线段为直径的圆与轴相切
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．平面向量满足，，，则 ．
13．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则 .
14．某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示）
（1）有 种不同的安排方法；
（2）由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有 种不同的安排方法．
四、解答题（本大题共5小题）
15．中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问：
(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.
16．已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求
(1)与所成角的余弦值；
(2)与平面所成角的正弦值；
(3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由.
17．已知函数在处的切线为.
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间.
18．已知定义在正实数集上的函数，．
(1)设两曲线，有公共点为，且在点处的切线相同，若，求点的横坐标；
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)若，，函数在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围．
19．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，，
.
故选D.
2．【答案】B
【分析】由建立的等量关系，求解，从而判断选项.
【详解】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件.
故选B．
3．【答案】C
【详解】由等差数列为单调递增数列，可得公差，
因为与的等差中项为8，可得，可得，即，
又因为，可得，
即，解得或（舍去）.
故选C.
4．【答案】A
【详解】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，
则二项式的展开式共项，即，解得.
故选A.
5．【答案】A
【分析】根据题意，对等式两边求导，再令，求出，从而求得的值
【详解】因为，所以，令，则，，
则，所以.
故选A.
6．【答案】B
【详解】鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式，
此时形成个空位，选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式，
由乘法原理可知不同的上菜顺序种数为，
故选.
7．【答案】C
【详解】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，
则既会跳舞又会唱歌的有人，
只会唱歌的有人，只会跳舞的有人;
若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，则有种选法，
若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法，
若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法，
综上共有种选法.
故选C.
8．【答案】C
【详解】因为，，则，
又，即，
所以，故B错误；
，，∴，
∴，故A错误；
，，∴，故C正确.
因为，
，∴，∴，
∴，故D错误.
故选C.
9．【答案】BD
【详解】由题意得展开式共8项，故A错；
通项为，令，解得，
所以项系数为，故B正确；
令中得，
所以所有项的系数之和为，故C错；
所有项的二项式系数和为，故D正确.
故选BD.
10．【答案】AC
【分析】对于A，首先求得其中一个正三角形的面积，进一步即可验算；对于B，首先求得，进一步即可验算；对于C，证明面面即可判断；对于D，建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可.
【详解】对于A，，所以表面积为，故A正确；
对于B，如图所示：
设点在平面内的投影为，为的中点，则由对称性可知为三角形的重心，
所以，又因为，
所以正三棱锥的高为，
所以题图所示几何体的体积为，故B错误；
对于C，由B选项可知面，由对称性可知三点共线，
所以面，而面，
所以面面，故C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系：
其中轴平行，因为，
所以，
设平面的法向量为，所以，
不妨取，解得，所以取，
又，
而，所以直线与平面不平行，故D错误.
故选AC.
11．【答案】BC
【详解】由题意可知，抛物线的焦点，准线为，
直线的斜率不为零，设直线为，，
由，得，
因为，所以，
所以，
所以，
对于A，因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4，所以A错误，
对于B，因为线段的中点为，，
则到轴的距离为，而以线段为直径的圆的半径为，
所以圆心到轴的距离等于圆的半径，所以以线段为直径的圆与轴相切，所以B正确，
对于C，因为
，所以C正确，
对于D，因为
，所以D错误，
故选BC.
12．【答案】
【详解】设向量，由可得，
又，则，
解得，，则，
所以.
13．【答案】2
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以.
方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，
平方得：，所以.
14．【答案】 540 100
【详解】（1）6位同学分为3组可以分三类.
第一类：1人，1人，4人分组，有种；
第二类：1人，2人，3人分组，有种；
第三类：2人，2人，2人分组，有种.
根据分类加法计数原理，共种.
再将3组按照全排列的方式分到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.
根据分步乘法计数原理，共种.
（2）由题意可知，还有乙与4位同学，其中乙不去涟水战役烈士纪念馆.
按照去涟水战役烈士纪念馆的人数可以分为3类.
第一类：恰有1人去涟水战役烈士纪念馆.
第一步，除去乙同学外的4人选取1人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的4位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第一类共种.
第二类：恰有2人去涟水战役烈士纪念馆.
第一步，除去乙同学外的4人选取2人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的3位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第二类共种.
第三类：恰有3人去涟水战役烈士纪念馆.
第一步，除去乙同学外的4人选取3人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的2位同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第三类共种.
根据分类加法计数原理，共种.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设事件“取出饺子是肉馅”，，
（2）设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，
事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，
（3）设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.
设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，
16．【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【详解】（1）在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直，
且平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系
则
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为;
（2）平面BCD的法向量，
所以，
则与平面所成角的正弦值为；
（3）假设存在，设，
设平面CDP的法向量，
，取，则，，
则，
所以或
则点P存在
所以或.
17．【答案】（1）（2）减区间为增区间为
【详解】（1）依题意可得：
又函数在处的切线为，
解得：
（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，
当时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴的单调减区间为的单调增区间为.
18．【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）函数的定义域为，设曲线的公共点，
求导得，依题意，，
即，由，得，，
所以点的横坐标为.
（2）由（1）知，设，，
求导得，当时，，当时，，
则函数在上递减，在上递增，
因此，
即当时，，所以.
（3）依题意，，定义域为，
由，得，令，
由函数在定义域内有两个不同的零点，得直线与函数的图象有两个交点，
而，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，而，且当时，恒有，
则当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个不同零点，
所以实数的取值范围是.
19．【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1），定义域为，
当时，，
当时，，当时，
在上单调递增，上单调递减；
当时，，
若，即时，，所以在上单调递增；
若，即时，
令，得，
当或时，，
当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
当时，时，，当时，，
∴在上单调递增，上单调递减，
综上所述，当时，在上递增，上递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上递增，
在上递减；
当时，在上递增，上递减；
（2），
∵函数存在单调递减区间，∴在上有解，
∵，设，则，
当时，显然在上有解；
当时，，，
由韦达定理知，，
所以必有一个正根，满足条件，
当时，有，解得，
综上，实数的取值范围为；
（3）由题意可知，，
∵有两个极值点，
∴是的两个根，则，
∴
，
∴要证，即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，
令，则，
∴在上单调递增，
则，即，
所以原不等式成立.