河南省驻马店高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月） 数学试题（含解析）

这是一份河南省驻马店高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月） 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 单位向量都相等
B. 平行向量不一定是共线向量
C. 对于任意向量，必有
D. 若满足且与同向，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若同向共线，，
若反向共线，，
若不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知.
综上可知对于任意向量，必有，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
2. 集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对按奇偶分类讨论可得．
【详解】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此时的终边和0≤≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，此时的终边和π≤≤π＋的终边一样．
故选：B．
3. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图形结合向量的线性运算求解.
【详解】因为为的中点，为的中点，
所以.
故选：D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意原式为，再利用诱导公式化简计算可得；
【详解】解：因为，所以
故选：B
5. 已知函数是R上的奇函数，对于，都有且时，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由,得到，即函数的周期是4 ,利用函数的周期性和奇偶性即可进行求值.
【详解】，
，即函数的周期是4，
，
是上的奇函数，，
当时，，
，
所以，
故选：D.
6. 有以下变换方式：
①先向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍；
②先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；
③先将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；
④先将每个点横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度.
其中能将函数的图像变为函数的图像的是（ ）
A. ①和④B. ①和③C. ②和④D. ②和③
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用函数的图像的平移变换和伸缩变换的规律求出结果.
【详解】解：①函数的图像先向右平移个单位长度，得到，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍，可得的图像，故①正确；、
②函数的图像先向左平移个单位长度，得到，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，可得，故②不正确；
③函数的图像先将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到，再向左平移个单位长度，可得，故③不正确；
④函数的图像先将每个点的横坐标缩短为原来的倍，得到，再向右平移个单位长度，得到，故④正确，
故选：A
【点睛】此题考查了函数的图像变换规律，属于中档题.
7. 将函数的图象向右平移个单位，到得函数的图象，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移理论结合已知条件得，再利用诱导公式得，进而得到，从而求出，再结合已知条件即可求出的最小值.
【详解】由题意得，
又
所以，
所以，，
又因为，所以的最小值为.
故选：A.
8. 如图所示，平面内有三个向量，，，与的夹角为，与的夹角为，且，，若（），则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出的相反向量，再以射线，为邻边，以为对角线作，根据向量加法求解即可.
【详解】作出的相反向量，再以射线，为邻边，以为对角线作，
由题意知，
，，
所以，
所以，
即．
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 有下列命题中，正确的是（ ）
A. 在与角终边相同的角中，最小的正角为 ；
B. ，则 ；
C. 函数的对称中心为；
D. 若一扇形弧长为 ，圆心角为 ，则该扇形的面积为 ．
【答案】ABD
【解析】
【分析】由终边相同的角的定义可得A正确；由正余弦函数的单调性和角度与弧度的转化可得B正确；由正切函数的对称中心可得C错误；由扇形的弧长与面积公式可得D正确.
【详解】对于A，由，取可得，故A正确；
对于B，因为，所以，
即，故B正确；
对于C，由正切函数的对称中心可得函数的对称中心为，故C错误；
对于D，扇形的半径为，由扇形的面积公式可得，故D正确；
故选：ABD
10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（ ）
A. 点P所满足的函数表达式为
B. 点P第一次到达最高点需用时5秒
C. P再次接触水面需用时10秒
D. 当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【详解】函数中，所以，
时，，解得，因为，所以，
所以，A错误；
令得，则，解得，
所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确；
由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确；
当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．
故选：BC
11. 若函数图象的一个最高点为，且相邻两条对称轴间的距离为，将的图象向左平移个单位长度得到，则（ ）
A.
B.
C. 为偶函数
D. 的解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意求出、及可判断A B；点在图象上结合的范围求出，再利用奇偶性的定义可判断C；根据图象平移规律得到的解析式，再解不等式可判断D.
【详解】由题意知，，则，故A正确，B不正确；
对于C，由，得，
即，由得，
所以，因为，定义域关于原点对称，
，
所以不是偶函数，故C不正确；
对于D，将的图象向左平移个单位得到
，
由，得，
可得，
解得，
所以的解集为，故D正确.
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 函数的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】由题知：，所以.
解得：，.
所以函数的定义域为
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数的定义域，同时考查了对数函数的定义域，属于简单题.
13. 在平行四边形中，已知，，，且，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据得到是矩形，，计算得到答案.
【详解】，，，故，则平行四边形是矩形，
，，，
，则.
故答案为：.
14. 已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦函数性质求出单调递增关系，进而确定单调递增区间，建立不等式得到，利用正弦函数性质求出零点，得到，与，最后再求出参数范围即可.
【详解】令，
则，
解得，
令，则，而在区间上单调递增，
得到，解得，
令，得到，解得，
令，，令，，令,得到，
因为在区间上有且只有一个零点，所以π6ω≤π7π6ω>π，
解得，综上，的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边上一点的坐标是.
（1）求及的值；
（2）求的值.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义求解即可；
（2）由诱导公式化简并结合（1）即可求解；
【小问1详解】
因为角的终边上一点的坐标是，
由三角函数的定义可得，
，
.
【小问2详解】
原式
.
16. 设是不共线两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【小问1详解】
由，
得,
,
所以，且有公共点B，
所以三点共线.
【小问2详解】
由与共线，
则存在实数，使得，
即，又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或，
实数k的值是
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式及其单调递增区间；
（2）将函数的图象上所有的点向左平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上有三个不相等的实数根，求的值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象可求周期与振幅，再根据最高点可求初相位，从而可得函数解析式；
（2）利用图象变换可求，根据在上的单调性可求的值，从而可求的值.
【小问1详解】
由图可得
又，所以，所以，
所以，
又因为过点，
所以，
又，所以，
所以.
令，
所以递增区间.
【小问2详解】
将函数的图象上所有的点向左平移个单位，
则所得图象对应的解析式为，
再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得的图象，
则，
当时，，
而在上为减函数，在上为增函数，
在上为减函数，
故在上为减函数，在上为增函数，为减函数，
，，故当时， 函数的函数图像如下，
因为在上有三个不相等的实数根，故.
且，，
所以，故.
18. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点．
（1）若，求实数x，y的值；
（2）若，求实数的值；
（3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解；
（2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值；
（3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值.
【小问1详解】
因为所以，
所以,
所以.
小问2详解】
由题意可知：，
，
又因为三点共线，所以存在实数使得,
，
所以，解得：，
所以.
【小问3详解】
易知，
由（2）知，
又因为三点共线,所以，又，
所以：，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
19. 已知，相邻两个最值点间的距离为.
（1）求函数的解析式及其对称中心；
（2）求不等式在上的解集；
（3）若关于的方程在上有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1），对称中心见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出参数，得到解析式后利用整体代入法求解对称中心求解即可.
（2）利用余弦函数的性质求解不等式即可.
（3）先对目标式合理换元，再结合二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可
【小问1详解】
因为，所以，
因为相邻两个最值点间的距离为，
所以由勾股定理得，
解得，则，
令，解得，
故的对称中心为.
【小问2详解】
由，因此，
得，得，
因为，所以或，故或，
故不等式在上的解集为或.
【小问3详解】
由，得，故，
因此函数的值域为，函数设，
要使关于的方程在上有三个不相等的实数根，
当且仅当关于的方程在和上分别有一个实数根，
或有一个实数根为1，另一实数根在区间上；
令，
①当关于的方程在和上分别有一个实数根时，
解得：；
②当方程的一个根是时，，
另一个根，不满足条件；
③当方程的一个根是1时，，
另一个根为，不满足条件.
综上，满足条件的实数的取值范围是.