2024-2025学年江西省宜春一中强基班高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省宜春一中强基班高二（上）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知空间向量a=(2,x,1),b=(−1,2,1)，若(a−b)⊥b，则x=( )
A. 72B. 3C. 52D. 2
2.数列{an}中，a1=−14，an=1−1an−1(n≥2)，则a2023的值为( )
A. −14B. 45C. 5D. 54
3.某电脑公司有3名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表所示：
由表中数据算出经验回归方程y​=b​x+a​中的b =726.若第4名推销员的工作年限为7年，则估计他的年推销金额为( )
A. 3.08万元B. 3.14万元C. 3.21万元D. 3.27万元
4.3月15日是国际消费者权益日.中央电视台特地推出3.15公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识.一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话.通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客.假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的25%，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为( )
A. 0.103B. 0.301C. 0.897D. 0.699
5.2024年4月22日至23日，习近平总书记在重庆市考察调研，某街道办派甲、乙等6名志愿者到三个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口两位引导员，若甲和乙不能去同一个路口，则不同的安排方案总数为( )
A. 108种B. 54种C. 36种D. 72种
6.已知圆C：x2+y2−6x−8y+21=0，O为坐标原点，以OC为直径的圆C′与圆C交于A、B两点，则下列结论错误的是( )
A. 直线AB的方程为3x+4y−21=0B. |AB|=4 215
C. OA、OB均与圆C相切D. 四边形CAOB的面积为4 21
7.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在两点M、N关于直线2x−y−1=0对称，若椭圆离心率为 63，则MN的中点坐标为( )
A. (34,12)B. (2,3)C. (38,−14)D. (27,−37)
8.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs∠BAC=−45，AB⊥BD，则E的离心率为( )
A. 52B. 102C. 142D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列关于二项式的命题中，正确的是( )
A. 若二项式(a+b)n的展开式中，第3项的二项式系数最大，则n=5
B. 若(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+...+a8x8，则a1+a2+a3+...+a8=0
C. 在(2x−1 x)6的展开式中，常数项为60
D. (1+x)(1−x)5的展开式中，x2的系数为5
10.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则下列选项中正确的有( )
A. 三棱锥A1−EFG的体积为定值13
B. 无论点G在线段B1C的什么位置，都有平面EFG⊥平面A1B1CD
C. 线段B1C上存在G点，使平面EFG//平面BDC1
D. G为B1C上靠近B1的四等分点时，直线EG与BC1所成角最小
11.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. 若AF=2FB，则|AB|=9
B. 若|AF|=4，则△AOF的面积为 3
C. 若OA⊥OB，则|OA|⋅|OB|≥128
D. 若∠AFB=60°，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则|MN|≤|AB|
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩X近似服从正态分布N(108,σ2)，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在108～140之间的人数约为______．
13.由0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列(由高数位到低数位)，这样的七位数有______个.
14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=12，点E在棱AB上，BE=2AE，动点P满足BP= 3PE，若点P在平面ABCD内运动，则点P对应的轨迹的面积是______；F为C1D1的中点，则三棱锥P−B1CF体积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知点P(1,2)，圆C：x2+y2−6y=0．
(1)若直线l过点P且在两坐标轴上截距之和等于0，求直线l的方程；
(2)设A是圆C上的动点，求OA⋅OP(O为坐标原点)的取值范围．
16.(本小题12分)
已知非零数列{an}满足：a1=1，an−an+1=2an⋅an+1(n∈N∗).
(1)求证：{1an}是等差数列；
(2)求数列{an⋅an+1}的前n项和Sn．
17.(本小题12分)
目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种，某公司为了了解该市电动车消费者对这两种电池电动车的偏好，随机调查了500名电动车用户，其中男性用户300名，在被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车的占35，得到以下的2×2列联表：
(1)根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与性别有关；
(2)从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7名用户中抽取2人进行座谈，在有女性用户参加座谈的条件下，求恰有两名女性用户参加座谈的概率；
(3)用样本的频率估计概率，在该市所有女性电动车用户中随机抽取3名进行新车试驾，记3名参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，求X的分布列．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
18.(本小题12分)
如图，在多面体ABCDEF中，FD⊥平面ABCD，四边形ADEF为平行四边形，AB//CD，AD⊥CD，FD=AB=AD=12CD=2，P为EC的中点．
(1)求证：BF⊥BC；
(2)求直线BD与平面BEF所成角的正弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点H，使得平面DHP与平面BEF的夹角的余弦值为 4214？若存在，求BHBC的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
已知F1(−2,0)，F2(2,0)，动点P满足|PF1|−|PF2|=2 2．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设在P点处曲线C的切线为l：y=kx+m，若M，N为l上两点，且满足OF2⋅MF2=0，PF2⋅NF2=0，
(i)证明：N点在定直线上，并求出定直线方程；
(ii)是否存在点P使tan∠PNF2⋅tan∠PF2M=2成立，若存在，求出P点横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.C
5.D
6.D
7.A
8.B
9.BCD
10.ABD
11.ACD
12.900
13.90
14.48π 108−24 6
15.解：(1)当截距均为0即直线过原点时，设直线方程为y=kx.代入P(1,2)，解得k=2，直线方程为2x−y=0；
当截距均不为0时，由题意可设xa+y−a=1，代入P(1,2)，解得a=−1，直线方程为x−y+1=0；
所以所求直线方程为2x−y=0和x−y+1=0．
(2)解析：(三角换元)
将圆C方程整理为x2+(y−3)2=9，则有x=3csθy−3=3sinθ，
所以可设A(3csθ,3+3sinθ)，
则OA⋅OP=3csθ+2(3+3sinθ)=6+3 5sin(θ+φ)，
由于θ∈R，
所以OA⋅OP∈[6−3 5,6+3 5]．
16.解：(1)证明：因为非零数列{an}满足：a1=1，an−an+1=2an⋅an+1(n∈N∗)，
所以1an+1−1an=2，所以数列{1an}是以1为首项，2为公差的等差数列；
(2)由(1)知，1an=1+2(n−1)=2n−1，则an=12n−1，
所以anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
所以Sn=12(11−13+13−15+…+12n−1−12n+1)
=12(1−12n+1)=n2n+1．
17.解：(1)被调查的女性市民人数为500−200−100=200，
其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为200×35=120．
偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为200−120=80，
所以2×2列联表为：
零假设H0：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关，
根据列联表中的数据可以求得
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=500×(200×120−80×100)2300×200×280×220≈34.632，
由于χ2=34.632>7.879，
根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关．
(2)因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为20080=52，
所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，
设“恰有两名女性市民参加座谈”为事件B，“有女性市民参加座谈”为事件A，
则P(A)=C51C21+C22C72=1121，P(AB)=C22C72=121，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1211121×=111．
(3)根据频率估计概率知，女性用户中偏好石墨烯电池电动车的概率为80200=25，
偏好铅酸电池电动车的概率为120200=35，
参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，X可能取值为0，1，2，3，
P(X=3)=C33(25)3(35)0=8125，
P(X=2)=C32(25)2(35)1=36125，
P(X=0)=C30(25)0(35)3=27125，
P(X=1)=C31(25)1(35)2=54125
故X的分布列如下：

18.解：(1)证明：因为FD⊥平面ABCD，AD，CD⊂平面ABCD，
所以FD⊥AD，FD⊥CD，
又AD⊥CD，所以DA，DC，DF两两垂直，
以DA，DC，DF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(2,0,0)，B(2,2,0)，F(0,0,2)，E(−2,0,2)，C(0,4,0)，P(−1,2,1)，BF=(−2,−2,2),BC=(−2,2,0)，
所以BF⋅BC=0，所以BF⊥BC．
(2)设平面BEF的一个法向量n2=(x2,y2,z2)，
因为BF=(−2,−2,2),EF=(2,0,0)，EF=(2,0,0)，
则n2⊥BFn2⊥EF，所以n2⋅BF=0n2⋅EF=0，即−2x2−2y2+2z2=02x2=0，
令y2=1，则x2=0，z2=1，
所以n2=(0,1,1)，
又DB=(2,2,0)，设直线BD与平面BEF所成角θ，
则sinθ=|DB⋅n2||DB|⋅|n2|=22 2× 2=12．
(3)假设存在，设BH=tBC(0≤t≤1)，则BH=t(−2,2,0)=(−2t,2t,0)，
所以DH=DB+BH=(2−2t,2+2t,0)，
设平面DHP的一个法向量n1=(x1,y1,z1)，因为DP=(−1,2,1)，
则n1⊥DPn1⊥DH，所以n1⋅DP=0n1⋅DH=0，即−x1+2y1+z1=0(2−2t)x1+(2+2t)y1=0，
令x1=1+t，则y1=t−1，z1=3−t，y1=t−1，z1=3−t，
所以n1=(1+t,t−1,3−t)，
由(2)问可知：平面BEF的一个法向量为n2=(0,1,1)，
设平面DHP与平面BEF的夹角为α，
则csα=|cs〈n1,n2〉|=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=2 3t2−6t+11× 2= 4214，
解得t=13或t=53(舍)，
所以存在点H，使得满足要求，此时BH=13BC，即BHBC=13．
19.解：(1)因为|PF1|−|PF2|=2 2