江西省宜春市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试强基班数学试题（含答案解析）

这是一份江西省宜春市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试强基班数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知空间向量，若，则（ ）
2. 数列中，，，则的值为（ ）
3. 某电脑公司有3名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表所示：
由表中数据算出经验回归方程中的.若第4名推销员的工作年限为7年，则估计他的年推销金额为（ ）
4. 3月15日是国际消费者权益日.中央电视台特地推出3.15公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识.一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话.通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客.假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的25%，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为（ ）
5. 2024年4月22日至23日，习近平总书记在重庆市考察调研，某街道办派甲、乙等6名志愿者到三个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口两位引导员，若甲和乙不能去同一个路口，则不同的安排方案总数为（ ）
6. 已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则下列结论错误的是（ ）
7. 已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ）
8. 如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ）.

二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ）
10. 如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（ ）
11. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为________.
13. 由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个．
14. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是_______________；为的中点，则三棱锥体积的最小值为______________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
15. 已知点，圆．
（1）若直线过点且在两坐标轴上截距之和等于，求直线的方程；
（2）设是圆上的动点，求（为坐标原点）的取值范围．
16. 已知非零数列满足：，．
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列的前项和.
17. 目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种，某公司为了了解该市电动车消费者对这两种电池电动车的偏好，随机调查了500名电动车用户，其中男性用户300名，在被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2×2列联表：
(1)根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与性别有关；
(2)从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7名用户中抽取2人进行座谈，在有女性用户参加座谈的条件下，求恰有两名女性用户参加座谈的概率；
(3)用样本的频率估计概率，在该市所有女性电动车用户中随机抽取3名进行新车试驾，记3名参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，求X的分布列.
参考公式：，其中.
参考数据：
18. 如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知，，动点满足，
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设在点处曲线的切线为，若，为上两点，且满足，，
（i）证明：点在定直线上，并求出定直线方程；
（ii）是否存在点使成立，若存在，求出点横坐标；若不存在，请说明理由.
江西省宜春市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试强基班数学试题
整体难度：适中
考试范围：空间向量与立体几何、数列、计数原理与概率统计、平面解析几何、三角函数与解三角形、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．3
C．
D．2
A．
B．
C．5
D．
推销员编号
1
2
3
工作年限年
3
5
10
推销金额万元
2
3
4
A．3.08万元
B．3.14万元
C．3.21万元
D．3.27万元
A．0.103
B．0.301
C．0.897
D．0.699
A．108种
B．54种
C．36种
D．72种
A．直线的方程为
B．
C．均与圆相切
D．四边形的面积为
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则
B．若，则
C．在的展开式中，常数项为60
D．的展开式中，的系数为5
A．三棱锥的体积为定值．
B．无论点在线段的什么位置，都有平面平面
C．线段上存在点，使平面平面．
D．为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小
A．若，则
B．若，则的面积为
C．若，则
D．若，的中点在的准线上的投影为，则
偏好石墨烯电池电动车
偏好铅酸电池电动车
合计
男性用户
200
300
女性用户
合计
500
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
3
适中
10
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
空间向量垂直的坐标表示
2
0.94
根据数列递推公式写出数列的项；数列周期性的应用
3
0.94
求回归直线方程；根据回归方程进行数据估计；计算样本的中心点；根据样本中心点求参数
4
0.85
利用全概率公式求概率
5
0.85
分组分配问题
6
0.65
相交圆的公共弦方程；两圆的公共弦长
7
0.65
由韦达定理或斜率求弦中点；由椭圆的离心率求参数的取值范围
8
0.65
余弦定理解三角形；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
二、多选题
9
0.65
求指定项的系数；二项展开式各项的系数和
10
0.65
空间位置关系的向量证明；异面直线夹角的向量求法；锥体体积的有关计算；证明面面垂直
11
0.65
抛物线中的三角形或四边形面积问题；直线与抛物线交点相关问题；余弦定理解三角形；根据韦达定理求参数
三、填空题
12
0.85
正态分布的实际应用
13
0.65
元素（位置）有限制的排列问题；排列组合综合
14
0.4
点到平面距离的向量求法；立体几何中的轨迹问题；锥体体积的有关计算
四、解答题
15
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；辅助角公式；数量积的坐标表示；直线截距式方程及辨析
16
0.65
由递推关系证明数列是等差数列；裂项相消法求和；利用定义求等差数列通项公式
17
0.65
完善列联表；卡方的计算；独立性检验解决实际问题；写出简单离散型随机变量分布列
18
0.4
线面角的向量求法；面面角的向量求法；空间位置关系的向量证明
19
0.15
利用双曲线定义求方程；双曲线中存在定点满足某条件问题；双曲线中的动点在定直线上问题
序号
知识点
对应题号
1
空间向量与立体几何
1,10,14,18
2
数列
2,16
3
计数原理与概率统计
3,4,5,9,12,13,17
4
平面解析几何
6,7,8,11,14,15,19
5
三角函数与解三角形
8,11,15
6
平面向量
15