热点题型 专题11 几何中的最值问题（7类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式专练（全国通用）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc12428" 热点题型归纳 PAGEREF _Tc12428 \h 1
\l "_Tc12428" 题型01 将军饮马模型 PAGEREF _Tc12428 \h 1
\l "_Tc25089" 题型02 阿氏圆模型 PAGEREF _Tc25089 \h 9
\l "_Tc3715" 题型03 胡不归模型 PAGEREF _Tc3715 \h 12
\l "_Tc11984" 题型04 隐圆模型 PAGEREF _Tc11984 \h 16
\l "_Tc25378" 题型05 费马点模型 PAGEREF _Tc25378 \h 20
\l "_Tc12908" 题型06 瓜豆模型 PAGEREF _Tc12908 \h 24
\l "_Tc15356" 题型07 代几综合转为二次函数求最值 PAGEREF _Tc15356 \h 28
\l "_Tc17527" 中考练场 PAGEREF _Tc17527 \h 31
题型01 将军饮马模型
将军饮马模型是初中数学几何板块中研究线段和最值问题的重要内容，通过利用轴对称的性质将线段进行转化，从而求解最短路径，在中考数学中分值占比约 3%-5%。
1.考查重点：重点考查学生对将军饮马模型本质的理解，即如何通过作对称点，将 “折线段” 转化为 “直线段”，利用 “两点之间线段最短” 这一基本原理来确定最短路径，进而解决线段和的最值问题。
2.高频题型：高频题型有在平面几何图形（如三角形、四边形、矩形等）中，给定两个定点和一条定直线，求在直线上找一点，使该点到两定点距离之和最小；在坐标系中，结合点的坐标，利用将军饮马模型求函数图象上的点到两定点距离和的最小值；在实际生活场景中，如选址建仓库、铺设管道等问题，抽象出将军饮马模型并求解。
3.高频考点：考点集中在对称点的构造，准确找到对称轴并作出对应点；理解和运用 “两点之间线段最短” 来确定最短路径；将实际问题或复杂图形问题转化为标准的将军饮马模型。
4.能力要求：要求学生具备较强的图形分析能力，能从复杂图形中提炼出将军饮马模型的基本结构；拥有良好的逻辑思维能力，清晰理解利用对称转化线段的原理；掌握一定的运算能力，在涉及坐标等问题时，能够准确计算线段长度。
5.易错点：易错点在于不能准确找到对称轴，导致对称点位置错误；对 “两点之间线段最短” 的应用场景理解不清晰，在构造路径时出现偏差；在将实际问题或复杂图形转化为模型时，对条件分析不全面，遗漏关键信息。
【提分秘籍】
类型一 两定一动模型
（1）已知：定点在直线的两侧，在直线上有一动点,求：的最小值。
连接与直线的交于点,此时的值最小，为线段的长。即
（2）已知：定点在直线的同侧，在直线上有一动点,求：的最小值。
作点关于直线的对称点,连接与直线交于点,此时的值最小，为线段的长。即
（3）已知：定点在直线的同侧，在直线上有一动点,求：的最大值。
连接并延长，与直线交于点,此时的值最大，为线段的长。即
（4）已知：定点在直线的两侧，在直线上有一动点,求：的最大值。
作点关于直线的对称点,连接并 延长，与直线交于点, 此时的值最大，为线段的长。 即
类型二 两动一定模型
已知：为内一定点，在射线上分别有两动点, 求：的最小值。
作点关于射线的对称点,连接与两条射线的交点分别为, 此时的值最小，为线段的长。即，
类型三 两定两动模型
已知：为内两定点，
在射线上分别有两动点, 求：的最小值。
作点Q关于射线的对称点,
作点关于射线的对称点,
连接与两条射线的交点分别为, 此时的值最小，为的长。即，
类型四 两定点一定长模型
（1）已知：直线,分别为直线上方和直线下方的两个定点（直线不与垂直)，在直线上有两动点, 且, 求：的最小值。
将点向下平移得到点,使, 连接,交直线于点,过点作于点,
此时的值最小，为的长
（2）已知：定点在直线的同侧，长度为的线段在直线上移动（点在 点左侧)， 求：
的最小值。
将点向右平移个单位长度得到点, 作点关于直线的对称点,
连接, 交直线于点, 连接, 将点向左平移个单位长度得到点, 此时有最小值，为的长。即，,
类型五 三动点模型
已知：分别为上的动点， 求：的最小值。
作点关于的对称点, 连接, 分别交于点, 连接, 由对称性可知
所以，
所以，当四点共线时，有最小值，最小值为线段的长。 且当时，有最小值。
【典例分析】
例1．（2022·山东德州·中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）

A．B．C．D．
例2．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为 ．
例3．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

例4．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）

A．的最小值为B．的最小值为
C．周长的最小值为6D．四边形面积的最小值为
例5．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．

【变式演练】
1．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．

2．（2023·重庆·中考真题）如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：；
(3)如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______．
4．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
5．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
6．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．
(1)如图，若，，求点与点之间的距离；
(2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；
(3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．
题型02 阿氏圆模型
阿氏圆模型是初中数学几何板块中用于解决线段和差最值问题的进阶内容，它基于平面内到两个定点距离之比为定值（不为 1）的点的轨迹是圆这一特性，通过巧妙构造相似三角形实现线段的转化，从而求解最值，在中考数学中分值占比约 2%-4%。
1.考查重点：重点考查学生对阿氏圆定义及性质的理解，如何识别阿氏圆模型，以及通过构造共边共角型相似三角形，将所求线段和差问题转化为两点之间线段最短问题，进而得出最值。
2.高频题型：高频题型有在给定的几何图形中，存在一个动点在阿氏圆上运动，已知两个定点，求动点到两定点距离之和或差的最小值；在坐标系与圆结合的题目里，根据点的坐标和圆的方程确定阿氏圆，再求解相关线段的最值；在实际问题情境中，如规划物流配送路线、确定信号覆盖范围等，抽象出阿氏圆模型并计算最值。
3.高频考点：考点集中在阿氏圆的判定，即根据已知条件判断出点的轨迹为阿氏圆；构造相似三角形，找到合适的比例关系实现线段的转化；运用两点之间线段最短原理得出线段和差的最值。
4.能力要求：要求学生具备较强的图形识别与分析能力，从复杂图形中精准判断出阿氏圆模型；拥有良好的知识迁移能力，熟练运用相似三角形知识解决阿氏圆相关问题；掌握扎实的运算能力，在涉及坐标、线段长度计算时能准确求解。
5.易错点：易错点在于无法准确判断题目中的阿氏圆模型，错过利用其特性解题的机会；在构造相似三角形时，对应边比例关系找错，导致线段转化错误；在计算过程中，因对阿氏圆性质和相似三角形知识理解不深，出现计算失误。
【提分秘籍】
求最值之阿氏圆问题，又称阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆：在平面上给定两点, 设点在同一平面上且满足, 当且时 ，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。时点的轨迹是线段的中垂线)
证明：设点坐标为点坐标为.
则.
由得
整理得：
所以当时，点的轨迹是个圆，圆心为半径。
所以此时有，所以一定会有。
在初中阶段我们不要求学生能够证明，只要求学生能够记住这个模型中有这样一对相似三角形，并且能够利用这个固定结论构造这样的相似三角形来解决实际问题就可以了。
【典例分析】
例1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为 ．
例2．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ．
【变式演练】
1．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值为 ．

2．如图，点C坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），⊙C的半径为，点B在⊙C上一动点，的最小值为 ．
3．如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．
题型03 胡不归模型
胡不归模型是初中数学几何与代数结合领域中用于求解线段和最值问题的特色内容，它源自古老的数学典故，借助构造直角三角形，利用三角函数实现 “系数不为 1 的线段和” 向 “两点之间线段最短” 的转化，在中考数学中分值占比约 2%-4%。
1.考查重点：重点考查学生对胡不归模型原理的深度理解，即如何通过在速度快的路径一侧构造特定角度的直角三角形，利用三角函数将系数不为 1 的线段转化为常规线段，再依据两点之间线段最短求出最小值。
2.高频题型：高频题型有在直线型路径问题中，已知动点在不同速度的两段路径上运动，求运动时间最短或距离和最小的方案；在平面几何图形，如三角形、四边形中，根据已知条件构建胡不归模型，求解线段和的最小值；在实际生活场景，像物资运输、人员调度等问题里，抽象出胡不归模型并得出最优解。
3.高频考点：考点集中在构造含特定锐角的直角三角形，准确利用三角函数进行线段的转化，以及对两点之间线段最短这一基本原理的灵活应用，确定最短路径。
4.能力要求：要求学生具备较强的问题转化能力，能够从复杂的实际或几何问题中提炼出胡不归模型；拥有良好的几何构图能力，熟练构造出符合要求的直角三角形；掌握扎实的三角函数运算能力，精准完成线段的转化与计算。
5.易错点：易错点在于无法准确识别胡不归模型的适用条件，盲目套用模型；在构造直角三角形时，角度选取错误，导致三角函数运用错误，线段转化出错；在计算过程中，因对模型原理理解不透彻，忽略系数与线段的对应关系，造成计算失误。
【提分秘籍】
胡不归模型
模型来源：有一则古老的历史故事：从前有一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是砂砾地带的直线路径A——B （如图所示，A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道）．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念： “胡不归？胡不…”
早期的科学家曾为这则传说中的小伙子设想了一条路线：在驿道上选一点C．小伙子先从A到C，然后再从C折往B，然后到达驿道目的地B（尽管这条路线长一些，但是速度却可以加快）．他是可以提早抵达家门的．
这两种路面的状况和行走速度值不同，已知在驿道上行走的速度为v1，在砂砾地上行走的速度为V2 （v1＞v2）． 可以在驿道上选一点C，小伙子先从A到C，然后再从C折往目的地B，求他行走的时间．

过定点A在直线AC的下方构造∠CAF，使其满足 ，过点C作CE⊥AF于点E，则，∴CE＝kAC，∴
归纳：胡不归问题就是一个“两动一定”求最值问题
条件：两定一动（动点一般在某确定的直线上运动）
两定：点A、B两点为定点；一定：点P为直线AB外的一个动点
问题：确定动点P，使mPA＋PB最短（0＜m＜1）
更一般地：使mPA ＋nPB最短（不妨设m＞n）
思路：设所求P点在直线AN上，我们在直线AN异于B点的一侧构造∠NAM，使得sin∠NAM＝m（相当于把mPA通过正弦打折化归到直角三角形的直角边上）
我们作BF⊥AM交AN于P点，毫无疑问P点即为所求！mPA＝PF， mPA＋PB＝BF，BF即为mPA＋PB的最小值（而mPA＋PB＜AB）
一般的：更一般地：使mPA ＋nPB最短（不妨设m＞n），我们只须在上式中提取m、n中的较大者，即可化归到上述类型．
，在类似的位置构造一个正弦等于 的角即可．
【典例分析】
例1．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是 ．

例2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
例3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式演练】
1．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为D，且与轴分别交于A、B两点（点A在点B的左边），P为抛物线对称轴上的动点，则的最小值是
题型04 隐圆模型
隐圆模型是初中数学几何板块中极具技巧性与综合性的内容，它巧妙地将圆的存在隐藏于各类几何情境中，考查学生挖掘潜在圆的特征并运用圆的知识解决问题的能力，在中考数学中分值占比约 3%-6%。
1.考查重点：重点考查学生能否敏锐捕捉到定点定长（动点到定点距离恒定，轨迹为圆）、定弦定角（定弦所对圆周角不变，顶点轨迹为圆）、对角互补（四边形对角互补，四点共圆）等隐含圆的几何特征，运用圆的性质（如圆周角定理、垂径定理）建立角度与线段的关系，解决几何证明与计算问题。
2.高频题型：高频题型包括在动点问题里，依据定点定长条件确定动点轨迹为圆，进而求解动点路径长、最值等；利用定弦定角模型，已知定弦和所对角度，求相关线段长度或图形面积；在四边形问题中，通过对角互补判定四点共圆，结合圆的性质证明线段相等、角相等或进行角度计算。
3.高频考点：考点集中在对隐圆不同类型特征的精准判断，将隐圆问题转化为常规圆的问题，运用圆的基本定理（如圆周角定理、圆心角定理），以及与三角形全等、相似等知识的综合应用，通过构建几何关系求解问题。
4.能力要求：要求学生具备较强的图形感知与分析能力，能从复杂几何图形中提炼出隐圆模型；拥有良好的知识迁移能力，将圆的知识灵活应用于隐圆情境；掌握扎实的逻辑推理与运算能力，完成从隐圆识别到问题解决的全过程。
5.易错点：易错点在于无法准确识别隐圆类型，错过利用圆的知识解题的契机；在转化为圆的问题时，对圆的性质应用错误，如圆周角与圆心角关系混淆；在综合图形中，不能有效整合隐圆与其他图形性质，思路中断，导致解题错误。
代数式运算是中考数学的基础核心内容，直接考查频率约10%-15%，且贯穿于方程、函数、几何等综合题型中。
【提分秘籍】
隐圆模型是指在一些几何问题中，通过分析条件可以发现存在一个隐藏的圆，利用圆的性质来解决问题。常见的隐圆模型有以下几种类型：
（1）定点定长型：当题目中出现一个定点和一个动点，且动点到定点的距离始终保持不变时，那么这个动点的轨迹就是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。例如，在平面直角坐标系中，点, 点满足, 根据两点间距离公式, 可 知点的轨迹是以为圆心，5为半径的圆。
（2）定弦定角型：如果一条线段（定弦）所对的角始终为一个固定的角度（定角），那么这个角的顶点的轨迹是一个圆。特别地，当定角为时 ，定弦就是圆的直径。例如，在中，, 那么点的 轨迹是一段圆弧。因为同弧所对的圆周角相等，所以满足条件的点都在以为弦，圆周角为的圆上。
（3）对角互补型：若四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。例如，在四边形中，, 根据圆内接四边形的性质，可知四点共圆。此时，四边形的外接圆直径与四边形的边或对角线存在一定的关系，可通过正弦定理等知识来求解相关线段的长度。
【典例分析】
例1．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为 ．

例2．（2023·四川达州·中考真题）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为 ．
例3．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ，最小值为 .
【变式演练】
1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（ ）
A．2B．C．D．4
2．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3B．C．D．2
4．（2023·四川·中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．

(1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长；
(3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
5．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．

(1)如图1，当时，
①求的大小（用含的式子表示）．
②求证：．
(2)如图2，取线段的中点G，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值．
6．（2023·江苏·中考真题）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．

7．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ．
8．（2024·四川达州·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（ ）

A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④
题型05 费马点模型
费马点模型是初中数学几何板块里用于解决三角形内一点到三个顶点距离之和最小值问题的特殊内容，通过旋转构造等边三角形，将三条线段转化到同一条直线上，依据 “两点之间线段最短” 原理求最值，在中考数学中分值占比约 2%-4%。
1.考查重点：重点考查学生对费马点定义及性质的理解，即如何通过旋转三角形，利用等边三角形性质，把求三角形内某点到三个顶点距离和的最小值转化为求直线段长度的问题。
2.高频题型：高频题型有在给定三角形中，求费马点位置及该点到三个顶点距离之和的最小值；在实际生活场景，如工厂选址、物流配送中心定位等问题中，抽象出费马点模型并求解；在几何图形与函数结合的题目里，根据图形条件确定费马点相关线段长度的最值。
3.高频考点：考点集中在旋转构造等边三角形，利用等边三角形边相等、角相等的性质进行线段转化；运用 “两点之间线段最短” 确定最短路径；准确找到费马点位置，即三角形每个内角都小于 120° 时，费马点与三角形各顶点连线夹角均为 120°。
4.能力要求：要求学生具备较强的图形构造与转化能力，能够根据题目条件合理旋转三角形构造等边三角形；拥有良好的逻辑思维能力，理解并运用线段转化求最值的原理；掌握扎实的运算能力，在涉及线段长度计算时能准确求解。
5.易错点：易错点在于不能准确判断题目是否适用费马点模型，盲目尝试旋转构造；在旋转过程中，对旋转角度、对应边和对应角的关系把握不准，导致线段转化错误；在计算过程中，因对费马点性质理解不深，忽略角度条件，出现计算失误。
【提分秘籍】
费马点模型
【模型分析】
费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．
若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；
1、若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点
如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点
证明：
如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝ ∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP
则△APC≌△APC，PC＝PC
因为∠BAC≥120°
所以∠PAP′＝∠CAC≤60
所以在等腰△PAP中，AP≥PP′
所以PA＋PB＋PC≥PP′＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC
所以点A为△ABC的费马点
2、若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．
如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点
证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC
将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC
所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO
所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D
则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小
此时AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O
3、如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心
【典例分析】
例1．如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA＋PB＋PC的最小值为 ．

例2．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值
【变式演练】
1．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝，∠BAC＝60°，P为平面内一点，求5BP＋7AP＋CP最小值．
2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝6，AC＝4，求最小值
3．如图，在平面直角坐标系xy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，，OE为△BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；
（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.
题型06 瓜豆模型
瓜豆模型是初中数学几何板块中用于研究动点轨迹问题的重要内容，其核心原理为 “种瓜得瓜，种豆得豆”，即一个主动点运动带动另一个从动点运动，且两者轨迹相似，常通过图形的平移、旋转、位似等变换确定动点轨迹，在中考数学中分值占比约 3%-5%。
1.考查重点：重点考查学生能否准确识别瓜豆模型，判断主动点与从动点的运动关系，依据图形变换的性质，确定从动点的轨迹形状，并利用相关知识求解与轨迹相关的问题，如轨迹长度、动点运动路径上的最值等。
2.高频题型：高频题型有给定主动点的运动路径（如线段、圆等）和主动点与从动点的关联条件，求从动点的轨迹；在几何图形中，结合图形性质，根据瓜豆模型确定动点轨迹后，计算线段长度的最值、图形面积的最值等；在实际问题情境中，如机器人移动、物体运动轨迹规划等，抽象出瓜豆模型并解决相关问题。
3.高频考点：考点集中在判断主动点与从动点之间的变换关系（平移、旋转、位似等），根据变换性质确定从动点轨迹形状（线段、圆、圆弧等），以及运用两点之间线段最短、圆的性质等知识，解决与动点轨迹相关的最值问题。
4.能力要求：要求学生具备较强的图形观察与分析能力，能从复杂图形和动态情境中识别瓜豆模型；拥有良好的知识迁移与应用能力，熟练运用图形变换知识确定从动点轨迹；掌握扎实的逻辑推理与运算能力，求解与轨迹相关的各类问题。
5.易错点：易错点在于无法准确判断主动点与从动点之间的变换关系，从而错误确定从动点轨迹；在运用图形变换性质时，忽略变换的条件和细节，导致对轨迹的分析出现偏差；在计算与轨迹相关的问题时，因对轨迹性质理解不深，出现计算错误。
【提分秘籍】
瓜豆原理——主从动点问题
初中数学有一类动态问题叫做主从联动，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题．
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．（古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．）
满足条件：
1.两动一定；
2.动点与定点的连线夹角是定角；
3.动点到定点的距离比值是定值．
结论：若点O为定点，∠POQ为定角α，为定值k，则点Q与点P的运动路径相同．
方法：第一步：找主动点的轨迹 ；
第二步：找从动点与主动点的关系；
第三步：找主动点的起点和终点；
第四步：通过相似确定从动点的轨迹，
第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值．
“瓜豆原理”其实质就是构造旋转、相似．
涉及的知识和方法：
知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值．
位似型（主从一线）
①点O为定点，点P在定直线l上运动，点Q为线段OP的中点，点Q的运动轨迹

②点A为定点，点P在定圆⊙O上运动，点Q为线段AP的中点，点Q的运动轨迹

旋转型（OQ在OP绕点Q顺时针旋转α的方向）
③点O为定点，∠POQ＝α且，点P在定直线l（定圆⊙M）上运动，则点Q的运动轨迹

【典例分析】
例1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．

例2．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上的一点，将点P绕点A（－4，0）逆时针旋转60°得到点Q，则点P在⊙O上运动时，点Q也随之运动，连接OQ． 求当点P在⊙O上运动时，求OQ的最小值．
例3．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）
A．4＋4B．4C．4＋8D．6
【变式演练】
1．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 ．

2．如图，矩形ABCD中，AB＝4， BC ＝3， E为AB边上一动点，以DE为边向右作正方形DEFG，连接CF，则CF的最小值为 ．
题型07 代几综合转为二次函数求最值
代几综合转为二次函数求最值是初中数学中融合代数与几何知识、具有较高综合性的内容，它把几何图形中的数量关系通过代数方法转化为二次函数形式，借助二次函数性质求解最值，在中考数学中分值占比约 5%-8%。
1.考查重点：重点考查学生将几何问题代数化的能力，即如何从几何图形中挖掘线段长度、图形面积等数量关系，构建二次函数表达式，并运用二次函数顶点坐标公式、对称轴性质等求最值。
2.高频题型：高频题型有在几何图形（如三角形、四边形、圆等）中，根据动点位置变化，利用几何性质建立线段长度或图形面积关于动点坐标的二次函数，求其最值；在实际应用场景（如建筑设计、物体运动轨迹等）中，结合几何图形与代数方程，转化为二次函数求最值问题；在函数与几何综合题目里，已知函数图象与几何图形的位置关系，构建二次函数求相关几何量的最值。
3.高频考点：考点集中在几何图形性质（如勾股定理、相似三角形性质、图形面积公式等）与代数知识（二次函数表达式的建立、二次函数性质运用）的融合，准确找到自变量与因变量的关系并构建二次函数，以及利用二次函数对称轴、顶点坐标求最值。
4.能力要求：要求学生具备较强的知识迁移与整合能力，能将几何知识与代数知识有机结合；拥有良好的分析问题与建模能力，从复杂问题中抽象出二次函数模型；掌握扎实的运算能力，准确求解二次函数表达式及最值。
5.易错点：易错点在于几何图形中的数量关系分析错误，导致二次函数表达式构建错误；在运用二次函数性质求最值时，对对称轴、顶点坐标公式理解有误，计算出错；忽略自变量的取值范围，使求得的最值不符合实际问题情境。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结．
(1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长．
(2)如图2，若，设与交于点K．求证：．
(3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由．
例2．（2023·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的动点，过点作交边于点，作交边于点，连接．设的面积为．

(1)求关于的函数解析式；
(2)当取何值时，的值最大？请求出最大值．
【变式演练】
1．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；
(3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
2．（2023·湖南永州·中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
一、单选题
1．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知：如图，直线分别与轴，轴交于、两点，点，若在直线上取一点，在轴上取一点，连接、、NP，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
4．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，中，，，，，为中点，若点为直线下方一点，在异侧，且与相似，则下列结论：
①若，与相交于，则点必为的重心；
②若，则的最大值为；
③若，，则的长为；
④若，则当时，取得最大值．
其中正确的为( )
A．①④B．②③C．②④D．①③④
5．（2024·安徽合肥·二模）如图，P是矩形内的任意一点，连接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，矩形的面积为，，，下列结论中正确的有（ ）个
①若，则周长最小值为8
②若，则最小值为
③若，则最小值为
④的最小值为10
A．4B．3C．2D．1
6．（2024·四川宜宾·二模）正方形边长为6，点E是边上的动点，连接，交于点P，过点A作，交于点F、Q，过点B作于点G，交于点H，连接．以下说法：①当时，点F为的中点；②当时；③；④点E运动过程中，有最小值6．其中结论正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二、填空题
7．（2024·江苏宿迁·二模）如图，中，，，，以为直径作圆，圆心为，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是 ．
8．（2024·四川成都·三模）如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ．
9．（2024·江苏盐城·三模）如图，在梯形中，，，，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得，连接，在左侧有一点，使得为等腰直角三角形，且，连接．则的最小值为 ．
10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，等腰直角中，，，为边上一动点，交斜边于，连接，则的最大值为 ．

11．（2024·江苏无锡·二模）如图，四边形中，，，，，连接，则线段的最小值为 ．
12．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边的边长为3，点D在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为，其中，正确结论的序号为 .
13．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，菱形的边长是10，，交于点E，点P为直线上一点，点P与点关于对称，F为中点，连接，，则的最大值是 ．
14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形的面积为，是边上的中点，是对角线上的动点，连接，若平分，则的最小值为 ．
15．（2024·四川泸州·二模）如图，在中，，，点D在上，点E在上，且，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
16．（2024·重庆·模拟预测）已知为等边三角形，D是边上一点，连接，点E为上一点，连接．
(1)如图1，延长交于点F，若，，求的长；
(2)如图2，将绕点C顺时针旋转到，延长至点H，使得，连接交于点N，求证；
(3)如图3，，点H是上一点，且，连接，点K是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．
17．（2023·重庆九龙坡·三模）如图，在等腰中，，，点D在线段的中垂线上，连接、．
(1)如图1，若时，连接并延长交于点F，若，求的面积；
(2)如图2，连接，若，过点B作于点G，交于点H，过点C作交的延长线于点E．求证：；
(3)在等腰内部有一点P，连接、、，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，请直接写出的值．
18．（2024·重庆·模拟预测）已知为等边三角形，，分别为线段，上一点，，与交于点．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，为射线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，若，证明：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，为线段上的动点，，随着的运动而运动，连接，当取得最大值时，直接写出的面．
19．（2024·陕西咸阳·模拟预测）问题提出
（1）如图1，在连接平面内A，B两点的所有线中， 号最短（从上到下依次为①，②，③，④号线）；
问题探究
（2）如图2，在中，已知，以AC为边向上作等边三角形ADC，连接BD，求BD边长的最大值；
问题解决
（3）如图3，某住宅区内有一块三角形空地ABC，物业公司现计划在三角形空地内部找一点P，并分别向空地的三个顶点铺设PA，PB，PC三条步行道，已知，且，为了尽可能降低施工经费，请你帮物业公司求出的最小值并找出点P的具体位置．（参考数据：，）
20．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】
（1）如图1，在菱形中，，，点E是菱形的对称中心，点F、M、N分别是边、、的中点，连接，点P是线段上的动点，连接、，求的最小值；
【问题解决】
（2）如图2，某市有一块未开发的四边形绿地，经测量，，，，，，点D处有一个水塘，绿地中有两条弧形小路劣弧和劣弧，点G、H分别在边、上，所对的圆心角为，．现计划沿、修建景观水渠，并沿的三边乔木类的树木方便市民纳凉，点E、F、M、P分别是、、、上的动点．为节约成本要求值最小，同时要求的周长最小．请你求出的最小值以及此时周长的最小值．
形式
一般式：
顶点式
的符号
开口方向
开口向上
开口向下
开口向上
开口向下
对称轴
，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。
，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边，
最值
当时取得最小值
当时取得最大值
当时取得最小值
当时取得最大值
顶点坐标