上海市延安中学2024-2025学年高一下学期3月调研 数学试题（含解析）

这是一份上海市延安中学2024-2025学年高一下学期3月调研 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根号下的数非负以及分母不为0，两个原则，即可求函数定义域.
【详解】且，得且，则函数定义域为
故答案为：
2. 已知角的终边经过点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得的值．
【详解】设坐标原点为，
由题意可得：，
故.
故答案为：.
3. 已知，，那么第______象限角
【答案】四
【解析】
【分析】根据正切和余弦的正负得到为第四象限角.
【详解】，则为第二或第四象限角，
，则为第一或第四象限角，综上，为第四象限角.
故答案为：四
4. 扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．
【详解】根据扇形的面积公式得，．
故答案为：4
5. 方程，的解集是___________
【答案】
【解析】
【分析】利用可得，，结合角的范围即可求解
【详解】由，得，，
又由得或，
方程，的解集是
故答案为：
6. 已知角是第四象限角，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由，利用平方关系求，再由商的关系求.
【详解】因为，角是第四象限角，
所以，又，
所以，
又，所以.
故答案为：.
7. 已知，，用，表示______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知直接利用对数的运算性质以及换底公式求解.
【详解】因为，，， ，
所以，，
.
故答案为：.
8. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由即可求解；
【详解】，
故答案为：
9. 已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求解绝对值不等式，由是的充分不必要条件，可得，列出不等式组，求解即可
【详解】
记
由是的充分不必要条件，可得，且
故，且等号不同时成立，解得
故答案为：
10. 已知，则的最小值为______．
【答案】-3
【解析】
【分析】分，和分类讨论，结合函数单调性求出最小值.
【详解】当时，令，
当时，，
当时，单调递减，最小值为，
综上，的最小值为-3.
故答案为：-3
11. 若是的内角，且，则等于______.
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式求得，即可求出.
【详解】由题意知，，即，
∴，
又，∴.
【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，属基础题．
12. 若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意在数范围内有解，令，，则问题转化为与有交点，求出的值域，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为关于的方程在实数范围内有解，
即在实数范围内有解，令，，
则问题转化为与有交点，
因为与在定义域上单调递增，所以在上单调递增，
又，所以，
则.
故答案为：
13. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（0，a）、C（a，0）（），OABC是正方形.函数与线段交于点，函数与线段交于点.当最小时，a的取值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，表示出，利用基本不等式求出最值，即可求解.
【详解】因为、（），是正方形，函数与线段BC交于点P，
所以.
因为函数与线段交于点，所以.
因为，所以=（当且仅当，即时“=”成立）.
所以当时最小.
故答案为：.
14. 已知，若函数，恰有两个零点，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】令，对两根的来源进行分析，对分类讨论，分别求出对应的范围.
【详解】当时，令可得：或，均无解，不符合题意；
当时，令可得：或
若，由解得：符合题意.
因为函数恰有两个零点，所以只有一解，
所以符合题意，此时.
即.
若或时，无解；
要使函数恰有两个零点，则有两解，
所以需，解得：.
综上所述：.
所以a的取值范围是.
故答案为：
二．选择题（每小题3分，共12分）
15. 已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数单调性判断D.
【详解】对于A，B，a，，，则,一定成立；
对于C，取，满足，则，
当时，，故C中不等式不一定成立；
对于D，由，由于在R上单调递增，则成立，
故选：C
16. 角是第四象限角，其终边与单位圆交点，把角顺时针旋转得角，则角终边与单位圆焦点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数的定义得到，再利用诱导公式求解.
【详解】解：由题意知：，
则，
，
所以角终边与单位圆焦点的坐标为，
故选：B
17. 已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数奇偶性可得不等式等价于，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.
【详解】因为为奇函数，所以等价于，即；
当时，，即，解得；
当时，，可得，所以，
解不等式，可得，
综上可得集合可表示为.
故选：D
18. 函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列5个结论：
①函数的定义域为；
②；
③函数的图像关于直线对称；
④当时，函数的最大值为；
⑤方程有四个不同的实根；
其中正确结论的个数为（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式分母不为零可求得定义域判断①；利用解析式可求得判断②；通过判断③；分别在和的情况下得到，判断④；利用数形结合判断⑤.
【详解】对于①，由得：，的定义域为，①错误；
对于②，，，②正确；
对于③，，，，
不关于直线对称，③错误；
对于④，当时，，此时；
当时，，此时；
综上所述：当时，，④正确；
对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的大致图象，
由图象可知与有四个不同交点，
方程有四个不同的根，⑤正确.
所以正确的个数为3.
故选：B.
三．解答题（共46分）
19. 已知全集为，集合，，求.
【答案】或
【解析】
【分析】根据指数函数的性质及一元二次不等式的解法求出集合，根据绝对值不等式的解法求出集合，进而根据补集及交集的定义求解即可.
【详解】由，则，
则或，解得或，即或，
由，则或，
解得或，即或，
则，所以或.
20. 已知，求下列各式值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)两角和正切展开求解.
(2)两角和的正余弦展开合并同类项，再运用两角和的正余的逆运用转化为正切求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
又
21. 已知函数；
（1）判断函数的奇偶性，并按定义证明：
（2）判断函数，的单调性，并按定义证明；
【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析
（2）函数在减函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据函数奇偶性的定义即可证明；
（2）根据单调函数的定义即可证明.
【小问1详解】
函数为奇函数，
由，所以函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数；
【小问2详解】
函数在为减函数，
对任意的，且，
，
因为，在上为增函数，
所以，3x2−3x1>0,3x1−13x2−1>0，
所以，
所以函数在为减函数.
22. 某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一块面积为（单位：平方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（，k为常数）万元．记y为该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和．
（1）求k的值，并写出函数的表达式；
（2）求y的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x．
【答案】（1），()；
（2）38万元，安装的太阳能板的面积为36平方米.
【解析】
【分析】(1)根据每年的燃料费计算可得k值，进而写出函数的表达式.
(2)利用(1)中函数表达式结合均值不等式即可计算最小值及所对x值.
【小问1详解】
依题意，当时，，解得，
于是得该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和，，
所以，函数的表达式为，.
【小问2详解】
由(1)知，，，
当且仅当，即时取“=”，
所以y的最小值是38万元，此时所安装的太阳能板的面积为36平方米.
23. 已知，；
（1）当时，解方程；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；
（3）若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求的取值范围；
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用对数函数的单调性，求不等式的解集即可；
（2）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求出答案.
（3）对任意，函数在区间上总有意义，得对恒成立，求得.
根据题意得出，即任意恒成立，利用二次函数在区间上恒成立求得的范围.
【小问1详解】
当a＝1时，不等式化为，
∴，且，
∴，解得或（舍去）；
【小问2详解】
由，得，
即，所以，
当时，则，解得，经过验证此时满足题意；
当时，①若，则，此时解得．经过验证满足题意；
②若时，方程有两不等实根，
设为，显然，
由，得，因为，所以，
即
所以都满足，所以此时不满足题意.
综上可得或；
【小问3详解】
因为对任意，函数在区间上总有意义，
所以对恒成立，
因为在上为减函数，故只需对任意恒成立，
所以只要，故，解得
对任意，函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上最大值为，最小值为，
所以，所以，
即任意恒成立，
令
当时，，
当时，，矛盾；
当时，在上单调递增，
所以时，取得最大值，且最大值为，
所以当时不满足.
当时，对任意恒成立，
有以下三种情况：
①，解得，结合得.
②，由得 ，而，故此情况无解.
③，解得，此时无解.
所以实数的取值范围是．